精品解析：山西省晋中市平遥县第二中学校2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

平遥二中高三10月质检数学试题 一､单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 式子的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据根式的性质运算即可得解. 【详解】， 故选：A 2. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论. 【详解】，得， 即，解得或（舍去）， 又. 故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 3. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据是定义在上的奇函数，由求解． 【详解】由题知，，因为是定义在上的奇函数， 所以． 故选：D． 4. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式； 解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式. 【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象， 根据已知得到了函数的图象，所以， 令,则, 所以,所以； 解法二：由已知的函数逆向变换， 第一步：向左平移个单位长度，得到的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， 即为的图象，所以. 故选：B. 5. 函数，若存在，使有解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围. 【详解】若存在，使得有解，即． 设，，则． 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 故的取值范围为． 故选：A 6. 设是上的奇函数，且在上是减函数，又，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析出函数在、上的单调性，以及，化简得出，结合图象可得出关于实数的不等式组，由此得出原不等式的解集. 【详解】因为是上的奇函数，则， 由于函数在上是减函数，则该函数在上也为减函数， ，则，作出函数的大致图象如下图所示： 由，可得， 由，可得或，此时； 由，可得或，解得. 因此，不等式的解集是. 故选：B. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 7. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】易知，且函数为偶函数，再由指数函数图象性质可求出的值即可. 【详解】由函数过原点可知，即可得，即； 又函数定义域为，且满足，可知函数为偶函数， 易知当时，趋近于0，所以函数趋近于, 因此可得，所以； 即. 故选：B 8. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长，利用它们的算术平均数作为的近似值可得出结果. 【详解】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆心角为，每条边长为 ， 所以，单位圆的内接正边形的周长为， 单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为， ， 则. 故选：A. 【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 二､多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 设，则下列说法正确的是（ ） A. B. ，使得 C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】CD 【解析】 【分析】利用特殊值法或基本不等式法，注意检验“一正”条件，可判断A选项；利用对勾函数在给定区间的单调性，可判断B选项；解不等式看集合的包含关系可判断C选项；解不等式结合基本不等式法，判断充分必要性，即可判断D选项. 【详解】对于选项A，因为，当时，例如，则. 只有在时，由基本不等式才有，故A错误. 对于选项B，当时，函数为增函数， 所以.即对于任意，都有，故B错误. 对于选项C，必要性：当时，由于， 且函数在上单调递增，所以，必要性成立. 充分性：解不等式，即，也就是. 利用穿根法解得.所以推不出. 因此“”是“”的必要不充分条件，故C正确. 对于选项D，充分性：当时，显然， 由基本不等式成立（当且仅当时取等号），充分性成立. 必要性：要使得成立，只需即可，故必要性不成立. 因此“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 10. 已知函数则下列说法中正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 任意，存在，使得恒成立 C. 若方程恰有两个不等实根，则 D. 若方程恰有三个不等实根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】计算可得，可判断A；分，两种情况，由恒成立可求得，判断B；由方程有两个不等正实根，可求得，判断C；在内单调递增，可得只有一个负根，进而结合C可得结论判断D. 【详解】对于A，，即，所以不为奇函数，故A错误； 对于B，当时，由对恒成立， 得，可得对恒成立，故， 当，由对恒成立，得， 所以对恒成立，故， 所以对任意，存在，使得恒成立，故B正确； 对于C，若方程恰有两个不等正实根， 则有两个不等的正根，所以有两个不等的正根， 则，解得时有两不等的实根，且，故C正确； 对于D，当时，在内单调递增，且，所以只有一个根，故时，恰有两个不等的正根时，有三个不等的实根， 由C可知当时，有两个不等的正根，不妔设此两正根为，且， 所以， 若第三个根为，由题意可得，所以， 解得，所以，故D正确； 故选：BCD. 11. 已知函数，其导函数为，则（ ） A. 直线是曲线的切线 B. 有三个零点 C. D. 若在区间上有最大值，则的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】对求导，根据二次函数的性质计算判断C，根据导函数求出函数的单调性及极值点B；利用导函数求出导数值为即可确定过该点的切线方程，即判断A；根据图象及函数有最大值列式计算即可判断D． 【详解】因为，则，，所以，C正确； 因为，令，得，解得或， 当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 且， 图象如图所示： 故有两个极值点，三个零点，故B正确； 设切点的坐标为，则切线斜率为， 则，所以不存在斜率为的切线， 直线不是曲线的切线，故A错误； 因为，所以若在区间上有最大值， 则，所以，故D错误． 故选：BC． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则_________. 【答案】## 【解析】 【详解】. 13. 设函数，其中.若恒成立，则_________. 【答案】 【解析】 【详解】，且， 由穿根法， 得当或时，； 当或时，. ， 因为，所以， 由穿根法， 得当或时，； 当或时，. 由恒成立， 得，所以. 14. 一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后秒内列车前进的距离为米，若列车刹车后30秒车停下来，则刹车过程中列车前进了________米． 【答案】405 【解析】 【分析】求的导数，即得速度v的表达式，令即可求得m的值，即可求得答案. 【详解】由题意得，即， 故令， 故（米）， 故答案为：405 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算过程. 15. 已知， （1）化简 （2）若，求的值 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）由（1）可得的值，然后利用同角三角函数的基本关系将目标式转化为用表示，再代入的值计算即可. 【小问1详解】 由题意得. 【小问2详解】 由题意得，则， . 16. 已知函数 求曲线在点处的切线方程 若函数，恰有2个零点，求实数a的取值范围 【答案】(1) x+y-1=0. (2) . 【解析】 【分析】(1)求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程； (2) 函数恰有2个零点转化为两个图象的交点个数问题，数形结合解题即可. 【详解】（1）因为，所以. 所以 又 所以曲线在点处的切线方程为 即.（5分） （2）由题意得，， 所以. 由，解得， 故当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以. 又，， 若函数恰有两个零点， 则解得. 所以实数的取值范围为. 【点睛】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解. 17. 已知. （1）的周期是，求，并求此时的解集； （2）已知，，，求的值域. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦函数的周期公式求出，再求出方程的解集即得. （2）利用二倍角公式及辅助角公式求出，再利用正弦函数性质求出值域即可. 【小问1详解】 依题意，，则，由，得，所以或，即或，所以的解集为 【小问2详解】 时，，. 所以的值域为 18. 设函数． （1）判断的奇偶性并证明； （2）当时，求的值域. 【答案】(1)见解析；(2) . 【解析】 【分析】（1）先求得函数的定义域，结合函数的解析式可得与的关系，即可求解； （2）将函数的解析式变形，可得，结合的范围分析可得，即可求得的取值范围，得到答案. 【详解】（1）由题意，函数的定义域为，关于原点对称， 又由， 所以函数为定义域上的奇函数； （2）根据题意，函数，变形可得， 又由，则，即， 解得，即函数的值域为. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定与证明，以及函数值域的求解，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义，以及合理变形，结合指数函数的性质求解函数的值域是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 19. 已知函数. （1）求函数在区间上的最小值； （2）证明函数只有一个零点. 【答案】（1） （2）证明：函数的定义域为，由可知，函数在上的最小值为， 又当时，，即，则函数在上没有零点； 当时，，则在上单调递增， 又， 则函数在存在一个零点，即函数在定义域上只有一个零点. 【解析】 【分析】（1）通过二阶导数判断一阶导数的单调性，结合零点存在定理定位极值点，再比较端点函数值得到闭区间上的最小值； （2）采用分段论证的思路，分别证明内有唯一零点、上函数恒正无零点，共同推导出函数仅有一个零点. 【小问1详解】 易知，令，在上恒小于，故在上单调递减， 且， 所以函数在上存在唯一零点，设为， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又，，所以函数在区间上的最小值为； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平遥二中高三10月质检数学试题 一､单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 式子的值为（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 4. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数，若存在，使有解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设是上的奇函数，且在上是减函数，又，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）． A. B. C. D. 二､多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 设，则下列说法正确的是（ ） A. B. ，使得 C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是“”的充分不必要条件 10. 已知函数则下列说法中正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 任意，存在，使得恒成立 C. 若方程恰有两个不等实根，则 D. 若方程恰有三个不等实根，则 11. 已知函数，其导函数为，则（ ） A. 直线是曲线的切线 B. 有三个零点 C. D. 若在区间上有最大值，则的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则_________. 13. 设函数，其中.若恒成立，则_________. 14. 一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后秒内列车前进的距离为米，若列车刹车后30秒车停下来，则刹车过程中列车前进了________米． 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算过程. 15. 已知， （1）化简 （2）若，求的值 16. 已知函数 求曲线在点处的切线方程 若函数，恰有2个零点，求实数a的取值范围 17. 已知. （1）的周期是，求，并求此时的解集； （2）已知，，，求的值域. 18. 设函数． （1）判断的奇偶性并证明； （2）当时，求的值域. 19. 已知函数. （1）求函数在区间上的最小值； （2）证明函数只有一个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $