精品解析：山西省太原师范学院附属中学2026-2027学年高三上学期第二次月考数学试题

2026~2027学年第一学期高三年级第二次月考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 若，其中a，，i为虚数单位，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知向量，满足，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，角与的终边关于直线对称，的终边经过点，则的值为（ ）. A. B. C. D. 4. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知 的内角，， 的对边分别为，，，，，，则 （ ） A. B. C. D. 6. 已知，都是第二象限角，且，，则（ ） A. B. 1 C. D. 7. 函数在其定义域的一个子集内存在极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中，真命题是（ ） A. 若，则 B. 函数的最大值是 C. 中，是的充要条件 D. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 10. 已知函数，其中，，、为图象上的两点，且的最小值为，是的一个对称中心，将图象上的所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ） A. B. 函数在上有个极值点 C. 函数在区间上的最大值为，最小值为 D. 函数在区间上单调递增 11. 设 ，则（ ）． A. 当 为奇函数时， 不是单调函数 B. 当 为奇函数时， 的值域为 C. 当 为偶函数时， D. 当 为偶函数时， 的最小值为 -1 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ___________． 13. 已知，且，则__________． 14. 已知函数 ，，设 ，若 有三个零点，则 的取值范围是_____． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围． 16. 已知函数. （1）若，求的值； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在，求出，的值，并证明：当时，. 条件①：； 条件②：当时，的最小值为； 条件③：图象关于直线对称. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 已知函数. （1）若关于的方程在上有实数解，求的取值范围； （2）设，若对任意的，，都有，求的取值范围. 18. 在中，角所对边分别为，且满足. （1）求角A的大小； （2）若D是线段的中点，且，，求； （3）若为锐角三角形，，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）若，求函数在上的最值； （2）若，对，求证：； （3）若是函数的极小值点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期高三年级第二次月考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 若，其中a，，i为虚数单位，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以 ，，所以 . 2. 已知向量，满足，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义式和运算律化简已知式，结合向量夹角的范围即可. 【详解】已知，，设与的夹角为， 由， 解得，则与的夹角． 故选：C 3. 在平面直角坐标系中，角与的终边关于直线对称，的终边经过点，则的值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为角与的终边关于直线对称，的终边经过点， 所以的终边经过点， 由三角函数定义可得， 所以. 4. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件得到，再由基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，又， 所以， 当且仅当，即，也即时取等号. 故选：B. 5. 已知 的内角，， 的对边分别为，，，，，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，故， 由正弦定理得，即， ∴，即． 6. 已知，都是第二象限角，且，，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系和余弦和角公式得到，结合角的范围，得到. 【详解】，即， 所以，， 又，都是第二象限角，故， ，故， 所以 故选：A 7. 函数在其定义域的一个子集内存在极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数唯一的极值点，再根据极值点落在开区间内、区间整体属于函数定义域的双重约束列不等式，精准求解参数范围. 【详解】的定义域是，， 令，得， 当，单调递减，当，单调递增， 所以是唯一的极值点，且是极小值点， 由题意得开区间里面要包含，则 ，得，所以. 8. 已知函数的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数周期性得到函数周期为6，然后利用周期性对已知条件进行化简，找到不等式关系，最后得到，再判断选项即可. 【详解】∵， ∴①，将换成可得 ②，将②式代入到①式， 化简得，将换成，则， 再将换成可得， 即函数的周期为6，∴，， ，∵，， ∴，⑴，又∵， ，⑵，依次回代可以得到 ，同理可得， ∵，⑶，联立⑴⑵⑶得到 ，解得， 又∵，故C正确，D错误， ，∴可能大于0， 也可能不大于0，AB错误. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中，真命题是（ ） A. 若，则 B. 函数的最大值是 C. 中，是的充要条件 D. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 【答案】CD 【解析】 【详解】选项A：当时，，A错误. 选项B：当时，函数的最大值是，B错误. 选项C：充分性，在中，由，，由正弦定理得， 是的充分条件. 必要性，在中，，由正弦定理得，， 是的必要条件.是的充要条件，C正确. 选项D：设扇形的弧长为，由扇形的面积公式得，， ，，，.D正确. 10. 已知函数，其中，，、为图象上的两点，且的最小值为，是的一个对称中心，将图象上的所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ） A. B. 函数在上有个极值点 C. 函数在区间上的最大值为，最小值为 D. 函数在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合五点法作图求出函数的解析式，进而求出函数的解析式，再利用正弦函数的性质逐项求解判断. 【详解】依题意，函数的最小正周期，解得，A正确； 由是的一个对称中心，得，则 而，则，，， 将图象上的所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象， 则， 对于B，当时，， 由， 得函数的极值点，因此函数在上有个极值点，B错误； 对于C，由，得， 当时，即当时，， 当时，即当时，，C正确； 对于D，当时，， 因此函数在区间上单调递增，D正确. 11. 设 ，则（ ）． A. 当 为奇函数时， 不是单调函数 B. 当 为奇函数时， 的值域为 C. 当 为偶函数时， D. 当 为偶函数时， 的最小值为 -1 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数研究函数的奇偶性、单调性、值域等性质，逐项计算判断即可. 【详解】当为奇函数时，， ，为单调（递增）函数，故A错误； 且时，，时，，故的值域为R，故B正确； 当为偶函数时，，， 故，故C错误； 对于D，设，则， 故， 当时，取得最小值，故D正确． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ___________． 【答案】## 【解析】 【详解】. 13. 已知，且，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】∵ , ∴ , 解得 . 又∵ , ∴ , , 即 . ∵ , ∴ . 14. 已知函数 ，，设 ，若 有三个零点，则 的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】分，，时三种情况，结合和的零点求解. 【详解】的定义域为，， 注意到，， 由的定义知，，， 的零点首先必为或的零点． 由于时，，，故在内无零点； 时，，，若，则；若，则； 时，，故在内的零点即为的零点； 由于在内的零点即为的根（最多2个）， 所以：要使得有三个零点，这三个零点的构成为0，，， 其中，为的两个正根，故． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）实数的取值范围是 【解析】 【分析】（1）解分式不等式，即可求得集合，当时得到集合，然后由补集的定义求得，再由并集的定义求得； （2）由交集的结果得到集合之间的关系，讨论集合是否为空集，结合条件列不等式组后得到实数的取值范围． 【小问1详解】 由，可得 ， ，即， ． 时，， 或， 或． 【小问2详解】 当时，即， ①，即，； ②，此时 ，解得. 综上，． 16. 已知函数. （1）若，求的值； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在，求出，的值，并证明：当时，. 条件①：； 条件②：当时，的最小值为； 条件③：图象关于直线对称. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 若选择条件①：则不存在；选择条件②③：，； 证明：因，当时，， 则当时，取最大值，故. 【解析】 【分析】（1）化简函数为，进而求得的值； （2）先化简得到，根据题意，分别选择①②，②③和①③，结合三角函数的图象与性质，列出方程求解，即可得到答案. 【小问1详解】 解：若，可得， 所以. 【小问2详解】 由 ， 若选择条件①： 由，可得，所以，因为，可得不存在； 故只能选择条件②③： 由，由且的最小值为， 可得，可得，可得，所以， 此时， 又由图象关于直线对称，可得， 即，所以，可得， 因为，可得； 所以，当时，， 时，取最大值， 所以，. 17. 已知函数. （1）若关于的方程在上有实数解，求的取值范围； （2）设，若对任意的，，都有，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）函数先去绝对值，再代入方程，然后分离参数得到新函数，新函数是一个二次函数，通过二次函数的性质即可解得的取值范围. （2）函数先去绝对值后取得在区间上的最小值，再将其与一同代入不等式中，对不等式进行转化即可解得的取值范围. 【小问1详解】 当时，，故， 代入，得： 分离参数，得：， 又因为函数开口向下且其对称轴为， 所以， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 当时，， ， 因为在上单调递减， 所以； 当时，， ， 因为在上单调递增， 所以， 所以； 又因为， 所以，， 所以且， 的取值范围为. 18. 在中，角所对边分别为，且满足. （1）求角A的大小； （2）若D是线段的中点，且，，求； （3）若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求出角； （2）把中线长转化为中线向量，再利用向量运算结合余弦定理即可求出面积； （3）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变形，利用锐角三角形确定角的范围，问题即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理得:， 因为，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，，，代入可得:， 因为为线段的中点，所以， 则，即， 由上面两式相减可得:，解得:， 所以； 【小问3详解】 由正弦定理得:，所以，， 即 ， 因为为锐角三角形，所以，解得:， 则，所以，即， 因为，所以，即的取值范围为. 19. 已知函数. （1）若，求函数在上的最值； （2）若，对，求证：； （3）若是函数的极小值点，求的取值范围. 【答案】（1）在上的最小值为，最大值为 （2） 法一：若， 令， 则， 令，则， 令，则， 则在上单调递增，所以， 即，则在上单调递增，所以， 即，则在上单调递增，所以， 所以当时，，即. 法二：若， 故在上单调递增，所以当时，，即. 令， 则， 故在上单调递增，所以， 即当时，，即. （3） 【解析】 【分析】（1）求导分析的单调性从而得到给定区间上的最值. （2）法一：构造函数，通过依次求导分析得到在上单调递增，从而，即可证明结果； 法二：对求导得到在上单调递增，从而当时，，构造函数，求导并利用求出在上单调递增，所以，即可证明结果. （3）分和进行讨论，当时，设，得到在上恒成立，从而当时，；当时，.对求导并分析单调性可得是函数的极小值点.当时，设，可得存在，使得，从而时，，，对求导可得在上单调递减，从而不是函数的极小值点，最终可得的范围. 【小问1详解】 若， 故当时，单调递减； 当时，单调递增； 而， 故在上的最小值为，最大值为. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由题意得，，. 当时，不妨设， 因为，故在上恒成立，单调递增. 又，所以当时，； 当时，. 又，则， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增， 故是函数的极小值点. 当时，不妨设，故存在，使得， 且当时，，故在上单调递减， 故当时，， 故在上单调递减，故不是函数的极小值点. 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $