精品解析：广西百色市2025-2026学年高一上学期学校期末教学质量调研测试数学试题

2025年秋季学期学校期末教学质量调研测试 高一数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的含义即可得到答案. 【详解】根据交集的含义得， 故选：C. 2. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】函数，则. 3. 把化成弧度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】化成弧度为. 4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平行移动个单位 B. 向右平行移动个单位 C. 向左平行移动个单位 D. 向右平行移动个单位 【答案】B 【解析】 【详解】函数的图象向右平行移动个单位得到函数，故B正确． 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】不等式，解得， 因为“”可以推出“”,“”不可以推出“”, 所以“”是“”的充分不必要条件 6. 已知，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于选项AD：例如，，，满足， 但，，故AD错误； 对于选项B：例如，，，满足， 但，故B错误； 对于选项C：因为，则，所以，故C正确. 7. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】易知函数在上单调递增， 因为，，且在上连续不间断， 由零点存在定理可得在上存在零点. 8. 已知函数，满足对任意都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由不等式判断函数在R上单调递减，再分别对指数段、二次段列递减条件，补充分界点处的衔接约束，解不等式取交集得到a的范围． 【详解】对任意都有成立，等价于是上的单调递减函数， 时，单调递减，则，解得； 时，，开口向下，对称轴， 要在递减，对称轴需在区间左侧，，解得； 时，指数极限值，时，右段的数值为， 是在上的单调递减函数，则，解得， 综上可得实数的取值范围是． 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列结论正确的是（ ） A. B. 集合的真子集个数有个 C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，里不含有任何元素，有一个元素，所以A错误； 对于B，集合有两个元素，所以真子集个数有个，所以B正确； 对于C，两个集合描述的对象均为所有大于或等于1的实数，所以C正确； 对于D，描述的对象为所有大于或等于1的实数， 而描述的对象为函数图象上的点，所以D错误. 10. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 的最小值为 【答案】CD 【解析】 【详解】由题意可得：. 对于选项A：令，，解得，， 所以当，，函数取到最大值2，故A错误； 对于选项B：因为，不为最值， 所以的图象不关于直线对称，故B错误； 对于选项C：因为，所以的一个零点为，故C正确； 对于选项D：令，，解得，， 所以当，，函数取到最小值，故D正确. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数的图象关于轴对称 D. 函数在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【详解】对A：由恒成立，故函数的定义域为，故A正确； 对B：，由，则， 故，则，故B正确； 对C：函数定义域为R，，故关于对称，故C错误； 对D：，由且为减函数， 则为增函数，则在上单调递减，故D正确. 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【详解】． 13. 计算：________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据对数的运算法则及对数的性质计算可得. 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查对数的运算及对数的性质，属于基础题. 14. 用表示非空集合中的元素个数，定义，已知，，记的所有可能取值构成的集合为．若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题以新定义运算为载体，考查含参集合的元素个数问题.关键是先求出定集合的元素个数，再对的构成方程分类讨论参数，重点排查两方程公共根的情况，最后汇总得并求新定义运算的值. 【详解】方程的判别式，故. 由，得或. 易知是方程与的解集的并集. 的解为或； 将代入得，矛盾，故不是两方程的公共根. 当时：要使中只有一个元素，须两个方程共有一个不同的实数解. 先看方程 ，其解为或. 当时，两个解不相等，则集合 的元素个数至少为 2，不可能为 1. 故必须，此时仅有重根（集合中只算一个元素）. 方程 ，要使它不向中新增元素，须该方程无实数解，即，亦即. 当时， 仅有 ，而的判别式，无实根，两条件同时满足，，，故符合题意. 当时：须两个方程的根的个数为 3.分两种情形讨论： 情形一：方程 有两个根，方程 有一个根，且两方程无公共根. 方程 的解为或.须这两个解不相等，即，亦即. 方程 要恰有一个实数解，须，即 ，解得，此时该方程的唯一解为. 验证（因为）不是公共根； 时，两边约去得 ，矛盾，故也不与 重合. 因此两方程的解集无公共元素，中元素个数为 ，符合题意. 情形二：方程有两个根，方程也有两个根，但两方程恰有一个公共根，使并集元素数为. 方程 的解为或.前面已证，将代入得，矛盾， 故 不可能是公共根，因此公共根只能是 . 将代入方程 得，，即，通分得， 即 ，解得，即. 此时，方程的判别式 ，有两个不等实根，其中一个根为， 由根与系数的关系，两根之积为 6，故另一个根为. 验证（因为）不是公共根；若，则，与 矛盾，故也不与 重合. 因此并集为，恰有 3 个元素，符合题意. 综上，，. 故 . 四、解答题：（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知． （1）当时，求的解集； （2）当取何值时，对一切实数都成立？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法进行求解即可； （2）根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可. 【小问1详解】 当时，由， 所以原不等式的解集为； 【小问2详解】 因为对一切实数都成立， 所以不等式的解集为全体实数， 因此有， 所以当时，对一切实数都成立. 16. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先通过同角平方关系求出，再代入正弦二倍角公式直接计算； （2）先用和角公式展开化简分子，将正切化弦统一函数形式，代入的值计算． 【小问1详解】 已知，， ． 【小问2详解】 ． 17. 已知函数，（且）． （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性并予以证明； （3）若一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 【答案】（1） （2）由（1）可得：的定义域为，定义域关于原点对称， 则， 即，因此是奇函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的定义域法则进行计算. （2）先化简函数表达式，再计算，判断与的关系，根据奇偶性定义确定函数奇偶性. （3）由不等式解集确定对应方程的根，利用韦达定理求出，的值，再代入不等式求解. 【小问1详解】 由， 解得. 故函数的定义域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 已知一元二次不等式的解集为， 由韦达定理可得：，解得，， 此时不等式即 则可得，又因为，即， 则得，解得， 因此所求不等式的解集为. 18. 已知函数的最小正周期为． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间； （3）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值． 【答案】（1） （2） （3）最大值为，此时；最小值为，此时 【解析】 【分析】（1）利用正弦二倍角公式、降幂公式、辅助角公式化简函数解析式，再结合正弦型函数的最小正周期公式进行求解即可； （2）运用整体代换方法，结合正弦型函数的单调性进行求解即可； （3）运用整体代换方法，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【小问1详解】 . 因为函数的最小正周期为， 所以，因此函数的解析式为； 【小问2详解】 令， 所以函数的单调递增区间为； 【小问3详解】 当时，， 所以当时，即当时，函数有最大值， 当时，即当时，函数有最小值. 19. 国家提出乡村振兴，建设新农村战略，鼓励农村产业发展．某企业响应国家号召，在农村某地投资生产某种大型农机产品，其每日生产的总成本（万元）与日产量（件）之间的函数关系可近似表示为，且当时，． （1）求的值； （2）计算该企业日产量为多少件时，每日生产的平均成本最低； （3）国家实行惠农政策，每件产品的售价定为2万元，为了使企业可持续发展，政府有两种补贴方案供企业选择．方案一：根据日产量，每件产品补贴1万元；方案二：每日定额补贴3万元．假设每天生产的产品都能销售完，请你计算： ①如果选择方案一，日产量为多少件时，日利润最大？ ②若日产量为5件时，你认为选择哪种方案比较好？ 【答案】（1） （2）3件 （3）①5件；②选择方案一 【解析】 【分析】（1）根据已知并应用待定系数法求参数值即可； （2）根据（1）得，应用基本不等式求最小值，确定取值条件即可得； （3）①应用二次函数的性质求最大利润对应的日产量；②分别求出两种方案对应的利润值，比较大小即可得结论. 【小问1详解】 由题意，当时，， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，每日生产的总成本函数为， 每日生产的平均成本为， 当且仅当，即时等号成立，满足， 当日产量为件时，每日生产的平均成本最低，最低为万元； 【小问3详解】 ①选择方案一：每件产品售价万元，每件补贴万元，故每件实际收入为万元， 日利润，函数图象开口向下，对称轴为， 因为，所以时，取得最大值， 如果选择方案一，日产量为件时，日利润最大， ②若日产量为件： 方案一，此时日利润最大，且（万元）， 方案二：每日定额补贴万元，日利润，则（万元）， 显然方案一的利润更高，故日产量为件时，选择方案一比较好. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期学校期末教学质量调研测试 高一数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 把化成弧度为（ ） A. B. C. D. 4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平行移动个单位 B. 向右平行移动个单位 C. 向左平行移动个单位 D. 向右平行移动个单位 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，满足对任意都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列结论正确的是（ ） A. B. 集合的真子集个数有个 C. D. 10. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 的最小值为 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数的图象关于轴对称 D. 函数在上单调递减 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，则______． 13. 计算：________． 14. 用表示非空集合中的元素个数，定义，已知，，记的所有可能取值构成的集合为．若，则______． 四、解答题：（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知． （1）当时，求的解集； （2）当取何值时，对一切实数都成立？ 16. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 17. 已知函数，（且）． （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性并予以证明； （3）若一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 18. 已知函数的最小正周期为． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间； （3）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值． 19. 国家提出乡村振兴，建设新农村战略，鼓励农村产业发展．某企业响应国家号召，在农村某地投资生产某种大型农机产品，其每日生产的总成本（万元）与日产量（件）之间的函数关系可近似表示为，且当时，． （1）求的值； （2）计算该企业日产量为多少件时，每日生产的平均成本最低； （3）国家实行惠农政策，每件产品的售价定为2万元，为了使企业可持续发展，政府有两种补贴方案供企业选择．方案一：根据日产量，每件产品补贴1万元；方案二：每日定额补贴3万元．假设每天生产的产品都能销售完，请你计算： ①如果选择方案一，日产量为多少件时，日利润最大？ ②若日产量为5件时，你认为选择哪种方案比较好？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $