精品解析：河南省开封市通许县丽星高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025—2026学年高二上数学12月月考 一、单选题（共40分） 1. 双曲线 的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则点到直线的距离为（ ） A. 3 B. 2 C. 5 D. 3. 如图，在三棱锥中，，，，点在线段OA上，且，为线段BC的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 经过点，且倾斜角是的直线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上存在四个点A，B，C，D满足，在线段上，在线段上，，，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 在正三棱锥中，是侧棱的中点，.若是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面内两点，若在直线上存在点，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，若的外心在轴上，则直线的斜率等于（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 若直线m被两平行直线与所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是（ ） A. B. C. D. 10. 设直线的方向向量为，平面的法向量为，为空间中的三个点，若为直线与平面的公共点，且存在实数，使得，则下列说法正确的是（ ） A. 点在直线上 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则直线 11. 在平行六面体中，，点是上靠近的三等分点，设，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（共15分） 12. 设直线与圆相交于两点，且，则___________． 13. 若圆的面积为，则实数的值为__________. 14. 连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为____． 四、解答题（共77分） 15. 已知圆 经过 两点． （1）若圆 的圆心在直线 上，求圆 的方程； （2）已知点 ，当圆 的面积最小时，求过点 的切线方程． 16. 如图，正方体的棱长为分别为的中点. （1）求直线和所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离. 17. 如图，在四棱锥中，为矩形，底面，，，为棱的中点，为棱上一点，且，连接，，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面与四棱锥的棱交于点，求的值. 18. 已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，． （1）求的方程； （2）求证：的值为定值． 19. 已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）若动直线l与曲线C交于，两点（其中），点A关于x轴对称的点为A'，且直线BA'经过点． （ⅰ）求证：直线l过定点； （ⅱ）若，求直线l的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高二上数学12月月考 一、单选题（共40分） 1. 双曲线 的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线方程的求法求得正确答案. 【详解】由，解得， 也即双曲线的渐近线方程为. 故选：B 2. 已知，，则点到直线的距离为（ ） A. 3 B. 2 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】点到直线的距离，即为到的垂直线段的长度，利用向量垂直，数量积为零，求得垂足的坐标，再利用坐标法求模长即可. 【详解】由题设由. 过点作垂直于于点，设， 所以，； ，所以，即，解得； 所以，； 故选：. 3. 如图，在三棱锥中，，，，点在线段OA上，且，为线段BC的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量线性运算直接求解即可. 【详解】. 故选：B 4. 经过点，且倾斜角是的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由及直线的点斜式直线方程求解即可. 【详解】因为，所以． 故选：D 5. 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上存在四个点A，B，C，D满足，在线段上，在线段上，，，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，设，由对称性可知，，然后利用椭圆的定义及勾股定理列式求得， ，即可求解离心率. 【详解】连接，设，，由对称性可知， 则，，， 因为，则分别在Rt和Rt中， 有，解得，， 化简得，故． 故选：B 6. 在正三棱锥中，是侧棱的中点，.若是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件证明出两两垂直，再通过向量法求解出异面直线与所成角的余弦值. 【详解】设在平面内的射影点为点，连接， 因为平面，平面，所以， 因为为的中点，且，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，所以， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为几何体是正三棱锥，所以两两垂直； 以为原点，分别以方向为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，不妨设， 则，所以， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为， 故选：B. 7. 已知平面内两点，若在直线上存在点，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由题意和题中条件求出点的轨迹方程，由题意得直线与圆相交，由此能求出实数的取值范围，进而得到最大值． 【详解】设，在直线上存在点，满足， 可得，化简整理得点P的轨迹方程为：， 由题意得直线与圆相交，所以， 化简可得，即得．故的最大值为. 故选：C． 8. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，若的外心在轴上，则直线的斜率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，分别联立抛物线与外接圆的方程，消去后得关于的方程，由两方程得出，解出即可得解. 【详解】由焦点为知，，故， 不妨设，联立l与C的方程得，① 再设外心，则外接圆的方程为， 联立l与外接圆的方程得，② 由①②得，解得， 所以直线l的斜率为， 故选：A 二、多选题（共18分） 9. 若直线m被两平行直线与所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为，再结合两平行直线的距离公式，以及直线斜率和倾斜角之间的关系，即可求解. 【详解】设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为， 两平行直线与的距离为： ， 因为直线m被两平行直线与所截得的线段长为 所以 所以 因为直线的斜率为：，倾斜角为 所以直线m的倾斜角可以是或 如图所示： 故选：BD. 10. 设直线的方向向量为，平面的法向量为，为空间中的三个点，若为直线与平面的公共点，且存在实数，使得，则下列说法正确的是（ ） A. 点在直线上 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则直线 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的运算得到，根据题意即可判断A；根据，可得到可判断B；通过举反例可判断C；证明点均在平面内可判断D. 【详解】对于A，由得，即，因为为直线的方向向量，且点在直线上，所以点也在直线上，故A正确； 对于B，因为，则，又因为，则，则，故B正确； 对于C，因为，所以，即，根据，无法得到与一定平行， 故直线不一定垂直于平面，例如点在平面内，满足，此时，故C错误； 对于D，因为，则，因为且为平面的法向量，则，同理，因为， 则，则，故D正确. 故选：ABD. 11. 在平行六面体中，，点是上靠近的三等分点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项通过空间向量的加减法，将向量按向量减法法则变形为，利用向量与基底的关系得到表达式；对于B选项根据空间向量的线性运算，通过选取路径，结合三等分点的向量表示，得出结果；对于C选项，展开向量平方并代入已知模长与夹角的内积公式，综合运用空间向量数量积的运算法则；对于D选项，通过计算其数量积是否为零来实现，再次利用已知夹角与向量内积的性质. 【详解】对于A选项，在平行六面体中，，故A正确； 对于B选项，因为点是上靠近的三等分点，所以， 又，所以，故B正确； 对于C选项，因为，， ， 所以，所以，故C错误； 对于D选项，，所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（共15分） 12. 设直线与圆相交于两点，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】求圆心到直线的距离，根据弦长结合垂径定理列式求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 由题意可得，即，解得. 故答案为：. 13. 若圆的面积为，则实数的值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，再根据圆的面积推出半径，列出方程即可得解. 【详解】由题意得圆的方程可以化为， 又因为圆的面积为，所以圆的半径为3， 可得，解得. 故答案为：2. 14. 连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为____． 【答案】 【解析】 【详解】总事件数为， 目标事件：当第一颗骰子为1,2,4,6，具体事件有 ，共8种； 当第一颗骰子为3,6，则第二颗骰子随便都可以，则有种； 所以目标事件共20中，所以． 四、解答题（共77分） 15. 已知圆 经过 两点． （1）若圆 的圆心在直线 上，求圆 的方程； （2）已知点 ，当圆 的面积最小时，求过点 的切线方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件求出和线段的中点坐标，进而可根据垂直关系求出圆心坐标，进而求得半径，最后求得圆的方程. （2）根据圆的面积最小确定圆的方程，然后根据切线的斜率不存在和存在两种情况求出切线方程即可. 【小问1详解】 因为圆经过两点，所以线段的斜率为． 因为圆的圆心在直线上，所以设圆的圆心为， 线段的中点为，所以， 解得，所以，. 故圆的方程为． 【小问2详解】 当圆的面积最小时，为直径，则， 所以圆的方程为． 设切点为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时直线与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 则圆的圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为． 综上，切线的方程为或． 16. 如图，正方体的棱长为分别为的中点. （1）求直线和所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间坐标系利用异面直线夹角的余弦公式计算. （2）利用点到平面的距离公式计算. 【小问1详解】 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为分别为的中点，所以， 所以. 设直线和所成角为， 则， 即直线和所成角的余弦值为. 【小问2详解】 由（1）知， 设是平面的法向量， 则即 令，则，所以是平面的一个法向量， 设点到平面的距离为， 则， 即点到平面的距离为. 17. 如图，在四棱锥中，为矩形，底面，，，为棱的中点，为棱上一点，且，连接，，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面与四棱锥的棱交于点，求的值. 【答案】（1）证明：因为底面，底面，所以， 又底面为矩形，所以， 又平面，平面，且、相交于点， 所以平面，又平面，所以， 又，为棱的中点，所以， 又平面，平面，且、相交于点， 所以平面，又平面，所以； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明出底面，进而根据线面垂直的性质推断出，然后根据线面垂直的判定定理，证明出平面，所以； （2）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，先求得平面的法向量，再结合线面角的向量求法，即可求得直线与平面所成角的正弦值； （3）设，由（2）所建的直角坐标系，得，因为点是平面与四棱锥的棱的交点，所以，即可求得的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，，，， 所以，以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，解得，，即平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，则； 【小问3详解】 因为平面与四棱锥的棱交于点， 设，则， 设，则，，则， 所以，所以， 由（2）得，平面的法向量为， 所以，即，解得， 所以的值为. 18. 已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，． （1）求的方程； （2）求证：的值为定值． 【答案】（1） （2） 证明：由（1）得，若直线与直线的斜率一个为0，另一个不存在时， 假设AB斜率为零，DE斜率不存在， 则，，（或）， 此时； 同理，当DE斜率为零，AB斜率不存在时，同样有； 若直线与直线的斜率都存在时，如图， 设直线的方程为，， 由，得， 所以， 所以 ， 因为，将换成，得， 所以； 综上所述，的值为定值． 【解析】 【分析】（1）根据题目条件求得a、b的值即可； （2）分两种情况，一种当两条直线的斜率一个为0，另一个不存在时，直接求出的值即可；另一种当两条斜率都存在时，设直线的方程为，则DE为，根据弦长公式求出弦AB和DE的长，代入题中表达式化简即可． 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，则由题意得， 解得，所以， 所以的方程为． 【小问2详解】 略 19. 已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）若动直线l与曲线C交于，两点（其中），点A关于x轴对称的点为A'，且直线BA'经过点． （ⅰ）求证：直线l过定点； （ⅱ）若，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明如下： 设直线l的方程为（显然l与x轴不平行）， 与联立，得， 由题意知，，，即， 由韦达定理得，． 因为点A与A'关于x轴对称，不妨设A，B分别在第一、二象限，如图所示． 易知， 即， 化为， 即，化为， 当m变化时，该式恒成立， 所以，故直线l过定点（-3，0）． （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据动圆M与圆相切，由，利用双曲线的定义求解； （2）（ⅰ）设直线l的方程为（显然l与x轴不平行），与联立，由求解；（ⅱ）由（ⅰ）知，当时，，，然后由求解. 【小问1详解】 圆的圆心坐标为，半径． 动圆M与圆相切有两种情况，即内切或外切， 所以， 所以点M在以，为焦点的双曲线上，且该双曲线的实轴长为，， 所以， 所以曲线C的方程是． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）知，当时，，． 由， ， ， ， 化为，解得或（舍去）， 故， 此时直线l的方程为． 【点睛】关键点点睛：本题（ⅱ）的关键是由直线BA'经过点，结合点A关于x轴对称的点为A'，得到 ，从而将，转化为，结合韦达定理而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $