精品解析：新疆昌吉州第一中学2026-2027学年第一学期9月质量监测高二数学试题

昌吉州第一中学2026-2027学年第一学期9月质量监测 高二年级数学试题卷 考试时长：120分钟 满分：150 分 一、单选题 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 6. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 7. 若“”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，满足在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 设向量，满足，且，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 向量夹角为60° 10. 如图，正方形的中心与圆的圆心重合，是圆上的动点，则下列叙述正确的是（ ） A. 是定值 B. 是定值 C. 是定值 D. 是定值 11. 已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 若平面上的三个单位向量、、满足，，则的所有可能的值组成的集合为________． 13. 袋子中有四个小球，分别写有“中､华､民､族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中､华､民､族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为____________. 14. 与多面体的每条棱都相切的球称为该多面体的棱切球．已知四面体ABCD满足， ，且四面体ABCD有棱切球，则AC的长为________． 四、解答题 15. 已知的三个内角满足：. （1）求的值； （2）求角的大小. 16. 已知函数. （1）若，求的值. （2）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围. 17. 一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”. （1）用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间； （2）分别求事件A，B，C发生的概率； （3）求事件A，B，C中至少有一个发生的概率. 18. 函数的部分图像如图所示， （1）求函数的解析式和单调递增区间； （2）将函数的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图像，若时，的图像与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求的值. 19. 如图，在扇形中，半径，圆心角.是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，记. （1）将矩形的面积表示成关于的函数的形式； （2）求的最大值，及此时的角. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌吉州第一中学2026-2027学年第一学期9月质量监测 高二年级数学试题卷 考试时长：120分钟 满分：150 分 一、单选题 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式化简求解. 【详解】因为. 故选：D. 2. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出幂函数解析式，由待定系数法可得. 【详解】因为为幂函数，， 又因为图象过，所以，即，得. 故选：C. 3. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦函数，指、对函数的单调性可得. 【详解】. 故选：D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用奇函数的定义判定是奇函数，根据奇函数图象关于原点对称排除AB；再根据当时，，排除D，即可得解 【详解】因为恒成立，所以函数的定义域为， 又，则是奇函数， 其图象关于原点对称排除A，B. 当时，，排除D. 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】分子分母同时除以可得. 【详解】. 故选：A. 6. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数型复合函数的单调性可解. 【详解】∵函数的定义域为， 又因为外层函数在定义域上单调递减，二次函数在上递增，结合函数的定义域，得到函数的单调递减区间为. 故选：B. 7. 若“”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由存在命题的否定得到真命题，再分和两种情况结合二次函数的性质讨论可得. 【详解】是假命题， 是真命题， 首先当时，显然成立； 当时，需要满足 综上所述得到. 故选：B. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，满足在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由偶函数及其单调性确定的取值，再解一元二次不等式，然后可得. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，满足函数在上单调递增，且， 所以函数在上单调递减，且， 所以当； 当；当；当 时，成立. 故选：D. 二、多选题 9. 设向量，满足，且，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 向量夹角为60° 【答案】AC 【解析】 【分析】运用向量的垂直，模长，夹角相关公式，结合数量积定义可解. 【详解】，又因为，所以，故，所以A正确，D不正确； ，故，所以B不正确，，所以，正确． 故选：． 10. 如图，正方形的中心与圆的圆心重合，是圆上的动点，则下列叙述正确的是（ ） A. 是定值 B. 是定值 C. 是定值 D. 是定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意建立以为原点的坐标系，设正方形边长为，圆的半径为，点坐标为，对选项中的表达式进行化简可得选项ABD中的表达式可写成只含有和的式子，结果为定值，而C选项中的结果最终含有，即与点位置有关，不是定值. 【详解】根据题意，以为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示： 不妨设正方形边长为，圆的半径为，点坐标为； 则可得，且； 易知； 所以对于A选项，，为定值，即A正确； 对于B选项， ，为定值，所以B正确； 对于C选项，易知表达式中不能表示成只含有边长和半径的式子， 即与有关，故其不是定值，所以C错误； 对于D选项， ，为定值，故D正确； 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于建立适当的直角坐标系，将向量坐标化，再由向量数量积的坐标表示求解是否为定值. 11. 已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说故错误； 故选：AC 三、填空题 12. 若平面上的三个单位向量、、满足，，则的所有可能的值组成的集合为________． 【答案】 【解析】 【分析】不妨设，，，其中、，根据平面向量数量积的坐标运算可得出、的值，求出的值，再利用平面向量数量积的坐标运算结合两角差的余弦公式可求得的值. 【详解】不妨设，，，其中、， 则，所以，或， ，所以，或， 所以，， 因为， 当时，； 当时，； 当时，. 所以，的所有可能的值组成的集合为. 故答案为：. 13. 袋子中有四个小球，分别写有“中､华､民､族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中､华､民､族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型的随机数法求解. 【详解】由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有，共4组随机数， 所以恰好抽取三次就停止的概率约为， 故答案为： 14. 与多面体的每条棱都相切的球称为该多面体的棱切球．已知四面体ABCD满足， ，且四面体ABCD有棱切球，则AC的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】设球心，和相应的切点，根据题意结合切线长性质可知相应的长度关系，结合题中棱长关系分析运算即可. 【详解】设棱切球的球心为，与棱分别切于点， 可知， 由题意可得：，解得， 所以. 故答案为：4. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是切线长相等，结合棱长列式求解即可. 四、解答题 15. 已知的三个内角满足：. （1）求的值； （2）求角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数基本关系式可求的值. （2）先求出，再利用两角和的正切公式及诱导公式可求，故可求角的大小. 【小问1详解】 ， 因为， ，故为锐角且. 所以. 【小问2详解】 因为，，故为锐角且， 故，故， 而，故. 16. 已知函数. （1）若，求的值. （2）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先进行三角恒等变形，使化为的形式，求出的值，再利用与的关系进行求值； （2）先利用余弦定理求出角,化简，利用的范围进行求解. 【详解】（1） 由可得：. . （2）由余弦定理得：，整理可得：， ，， 又，，， ，则， ，即的取值范围为. 【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数和解三角形知识的综合应用问题，涉及到三角函数关系式的化简、边角关系式的化简、三角函数值的求解与诱导公式的应用、正弦型函数值域的求解等知识，是对于三角函数部分知识的综合考查，属于常考题型. 17. 一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”. （1）用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间； （2）分别求事件A，B，C发生的概率； （3）求事件A，B，C中至少有一个发生的概率. 【答案】（1） （2），， （3） 【解析】 【分析】（1）根据事件的定义列出样本空间即可； （2）根据古典概型概率计算公式计算即可； （3）根据古典概型概率计算公式计算即可. 【小问1详解】 样本空间，共有12个基本事件； 【小问2详解】 事件A的基本事件为：共6个基本事件，所以， 事件B的基本事件为：共3个基本事件，所以， 事件C的基本事件为：共4个基本事件，所以， 【小问3详解】 事件A，B，C中至少有一个发生的基本事件为：共9个基本事件， 所以. 18. 函数的部分图像如图所示， （1）求函数的解析式和单调递增区间； （2）将函数的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图像，若时，的图像与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求的值. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的最低点求得的值，根据图象得到函数的周期，并求得的值，代入点求得的值，由此求得函数的解析式；再利用余弦函数的性质，即可求出函数的单调增区间； （2）令，则，利用的图象可得，，又，从而得到，再利用，即可求得结果. 【小问1详解】 由图易知，，得到，所以， 又图象过点，所以，故，得到， 又，所以，故函数的解析式为， 由，得到， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 由题知，又因为，所以， 令，则， 由的图象知，，且， 得到，又由图知，所以 又，得到， 所以， 又因，所以. 19. 如图，在扇形中，半径，圆心角.是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，记. （1）将矩形的面积表示成关于的函数的形式； （2）求的最大值，及此时的角. 【答案】（1）（） （2）时，取得最大值 【解析】 【分析】（1）借助三角函数定义及几何性质即可求解； （2）借助三角函数性质即可求解. 【小问1详解】 在中，，， ，， ， ， （）； 【小问2详解】 ， ， ， 因为， ， 当，即时， 取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $