精品解析：新疆乌鲁木齐市第四中学2026-2027学年度第一学期高二第一次月考数学试卷

2026-2027学年高二数学上学期第一次阶段性检测 一、单选题 1. 在平面直角坐标系中，过点和点的直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，已知点，点关于坐标平面对称的点为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间中、、、四点共面，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，且与垂直，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四面体中，，，.点在棱上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离和分别为6米和8米，的长为21米，的长为23米，则水库底面与水坝斜面所成二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知空间向量，向量，其中，则的最小值为（　　） A. 1 B. C. D. 2 二、多选题 9. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 存在，使得 C. 若，则 D. 若，且，则 10. 下列说法不正确的有（ ） A. 若两条直线与互相平行，则实数a的值为 B. 若直线不经过第三象限，则点在第二象限 C. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 D. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为或 11. 如图，正方体的棱长为a，E是棱CD上的动点，且．则下列结论正确的是（ ） A. B. 点E到直线的距离为 C. 直线AE与所成角的范围为 D. 二面角的大小为 三、填空题 12. 若直线必过一定点，则该定点坐标是__________． 13. 已知平行四边形的顶点，边所在直线方程是，对角线的交点为，则边所在直线方程为______． 14. 如图，在四棱锥中，已知平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的最大值是______． 四、解答题 15. 已知向量. （1）求向量的坐标； （2）求与夹角的正弦值. 16. 已知的顶点坐标为，，． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求线段的垂直平分线的方程． 17. 如图，在三棱锥中，两两垂直， （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的余弦值． 18. 如图，在平行六面体中，，，，，是的中点，设，，． （1）试用，，表示向量，并求向量的长度； （2）求； （3）求异面直线与所成角的余弦值． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，． （1）证明：平面平面； （2）求三棱锥的体积； （3）在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次阶段性检测 一、单选题 1. 在平面直角坐标系中，过点和点的直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由已知直线过点和点， 则直线斜率， 则直线的倾斜角满足， 又，故. 2. 在空间直角坐标系中，已知点，点关于坐标平面对称的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到点的坐标，再利用两点间距离公式计算即可． 【详解】关于坐标平面对称的点为， 由可得． 3. 已知空间中、、、四点共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得，，， 因为、、、四点共面，且、不共线，设， 即， 所以，解得. 4. 已知向量，且与垂直，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可知：，则， 又与垂直， 则，得. 5. 如图，在四面体中，，，.点在棱上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用多边形法则即可求解. 【详解】，因为在棱上，且，所以， 又为中点，所以， 故， 故选：A 6. 已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 7. 如图所示，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离和分别为6米和8米，的长为21米，的长为23米，则水库底面与水坝斜面所成二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法1：利用向量的加法法则和向量数量积的运算律列出等式，进而根据向量数量积的定义求出二面角的余弦值；方法2：利用几何法，作辅助线，确定是二面角的平面角，然后根据余弦定理求出二面角的余弦值. 【详解】方法1： 根据向量的加法法则，， 则， 所以. 设向量与的夹角为， 则就是水库底面与水坝斜面所成的二面角的平面角，因此， 所以，故所求二面角的余弦值为. 故选：A. 方法2： 在平面内过作的平行线，且使得，连接， 因为，所以，所以四边形是矩形，且是二面角的平面角. 因为，，且，平面，所以平面. 又因为，所以平面，因为平面，所以. 在直角中，可得. 在中，由余弦定理可知，所以所求二面角的余弦值为. 故选：A. 8. 已知空间向量，向量，其中，则的最小值为（　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】证明出四点共面后，根据当平面时，有最小值，求出平面的一个法向量，利用点到面的距离公式求解即可． 【详解】设， 因为，所以， 所以四点共面，当平面时，有最小值． ，， 设平面的一个法向量，则， 取，则，所以为平面的一个法向量， 所以到平面的距离， 故选：B． 二、多选题 9. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 存在，使得 C. 若，则 D. 若，且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平面的法向量和直线的方向向量，逐项进行判断即可. 【详解】若，则，即，解得，，则，故A正确. 若，则，即，因为，所以不存在，使得，故B错误. 若，则，所以，解得，故C正确. 若，则，所以，所以.当时，，故D错误. 故选:AC. 10. 下列说法不正确的有（ ） A. 若两条直线与互相平行，则实数a的值为 B. 若直线不经过第三象限，则点在第二象限 C. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 D. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为或 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A，两条直线平行时，两条直线的斜率相等，求值即可；对于选项B，举出直线，判断即可；对于选项C，举出直线，判断即可；对于选项D，先判断直线过定点，再利用斜率公式结合图象求实数k的范围即可. 【详解】对于A，若两条直线与互相平行， 其中直线的斜率为，则直线的斜率存在且为， 得，解得或， 舍去，此时两条直线与重合， 故实数a的值为，选项A正确； 对于B，当时，直线不经过第三象限，此时点是坐标原点，不在第二象限，选项B错误； 对于C，当直线过原点时，直线经过点，即直线也满足题意，选项C错误； 对于D，将直线化为， 所以直线恒过定点，且直线的斜率为， 其中，， 结合图象，若直线与线段相交，可得或， 选项D正确． 故选：BC. 11. 如图，正方体的棱长为a，E是棱CD上的动点，且．则下列结论正确的是（ ） A. B. 点E到直线的距离为 C. 直线AE与所成角的范围为 D. 二面角的大小为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知构建合适的空间直角坐标系，应用向量法证明线性垂直、求异面直线所成角判断A、C；根据正方体的结构特征及二面角的定义判断B、D. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 对于A：， 因为，所以，即，正确； 对于B：由正方体的结构特征知，且四边形为矩形， 所以E到的距离为，正确． 对于C：， 设直线AE与所成角为，则， 显然在中，随的变大而变小， 当时，最大等于，此时最小为， 当时，最小等于0，此时最大为， 所以，即直线AE与所成角的范围为，不正确； 对于D：二面角，即二面角， 平面平面， 所以即为二面角的平面角， 在正方形中，则二面角的大小为，正确. 故选：ABD 三、填空题 12. 若直线必过一定点，则该定点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将直线变形成为，令参数的系数为0,剩余部分为0,解出关于的二元一次方程组,即可得定点. 【详解】由得， 要是恒成立，只需，解之得， 所以过定点. 故答案为： 13. 已知平行四边形的顶点，边所在直线方程是，对角线的交点为，则边所在直线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形中，可设平行直线系方程，结合中点坐标公式求出点坐标，求得. 【详解】 由，可设直线且， 设点的坐标为，又，为对角线的中点， 所以，即，则， 由点在直线上，故， 解得，所以． 故答案为：. 14. 如图，在四棱锥中，已知平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的最大值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】首先的轨迹是过点的一条线段，再构建合适的空间直角坐标系，延长交于点，设，标出相关点坐标，求出平面、平面的法向量，结合二面角的大小及面面角的向量求法列方程求参数，进而确定面积最大值. 【详解】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图． 因为二面角的平面角大小为，所以的轨迹是过点的一条直线， 又因为是四边形内部一点（包括边界），所以的轨迹是过点的一条线段． 延长交于点，设， 由题意得，，，， 所以，，． 因为平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则，令，则． 因为二面角的平面角大小为， 所以，解得， 所以当在线段上时，面积最大，最大值为． 故答案为：4 四、解答题 15. 已知向量. （1）求向量的坐标； （2）求与夹角的正弦值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行坐标关系，可求得m，n值，即可得坐标，根据向量垂直坐标关系，可求得k值，即可得坐标. （2）由（1）得与坐标，根据向量夹角公式，结合同角三角函数关系，即可得答案. 【小问1详解】 因为，且， 所以，解得，所以； 因为，所以， 解得，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 则， ， 所以， 所以. 16. 已知的顶点坐标为，，． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求线段的垂直平分线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据点斜式求得边上的高所在直线的方程. （2）根据中点和斜率求得线段的垂直平分线的方程． 【小问1详解】 直线的斜率为，所以边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的方程为. 【小问2详解】 线段的中点为，直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为. 17. 如图，在三棱锥中，两两垂直， （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立坐标系，求出平面法向量，利用线面角的向量公式可得答案； （2）求出两个半平面的法向量，利用向量夹角公式可求二面角. 【小问1详解】 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系； ，,； 设平面的一个法向量为，则， 令，得，即， 设直线与平面所成角为，则. 即直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 由（1）知平面的一个法向量为， 易求平面的一个法向量为， 设二面角的大小为，易知为锐角，则， 所以二面角的余弦值为. 18. 如图，在平行六面体中，，，，，是的中点，设，，． （1）试用，，表示向量，并求向量的长度； （2）求； （3）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1），长度为； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据平行六面体的性质，结合已知条件，运用向量加法表示向量，再结合已知条件求出向量的模； （2）利用向量数量积的运算规则计算求解； （3）先求出向量数量积，再分别求出向量的模，最后利用向量夹角余弦公式求解． 【小问1详解】 由平行六面体的性质可知， 是的中点， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 ，， ， 又， ， ， 异面直线与所成角的余弦值为． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，． （1）证明：平面平面； （2）求三棱锥的体积； （3）在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1）设中点，连接， ，，，所以， 因为，所以有，则， 因为，为中点，所以， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2） （3）在棱上存在点，为上靠近的三等分点. 【解析】 【分析】(1) 依托面面垂直性质得到高线，结合勾股逆定理证，证明垂直平面内两条相交直线，使用面面垂直判定定理完成证明； (2) 利用等体积转换，作为三棱锥的高，求出底面三角形面积后代入锥体体积公式直接计算； (3)建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，设，分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式列出方程，求得即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，平面，因为，所以， 则. 【小问3详解】 在棱上存在点，使得平面与平面的夹角为30°，为上靠近的三等分点.，证明如下： 由（1）得平面，因为平面，则， 过作的平行线，则以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图， 由题意得，则, 因，则，故， 则， 设，由题可知， ， 设平面法向量为， 则，令，则，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 因为平面与平面的夹角为30°， 所以， 化简得，即，又，则， 所以为上靠近的三等分点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $