精品解析：山东省东营市利津县2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试题

2025年12月全县综合素养考试九年级数学试题 （时间：120分钟 分值：120分） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 有下列四个命题:  ①经过三个点一定可以作圆;              ②等弧所对的圆周角相等;  ③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;     ④在同圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦.  其中正确的有(    ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限，则常数m的取值范围是（　　） A. 0＜m＜3 B. m＜3 C. m≤3 D. m＞3 3. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 4. 在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在点A，B的右侧圆弧上取一点C，连接AC，BC，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 5. 如图，四边形的两边与相切于两点，点B在上，若圆的半径为，则所对的弧长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是 （ ） A. 12 π B. 15 π C. 20 π D. 30 π 8. 直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（ ） A. B. 3 C. D. 10. 抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②；③；④方程有两个相等的实数根；⑤（m为任意实数）；其中正确结论的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共8题，11-14题每题3分，15-18题每题4分，共28分） 11. 在中，，则的大小是________． 12. 如图，若圆锥的母线长为12，底面半径为4，则其侧面展开图的圆心角为___________． 13. 已知小丽的身高为，在同一时刻测得小丽和建筑物的投影长分别为和，建筑物的高是________． 14. 如图是一座截面边缘为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面为4米，则当水面下降1米时，水面宽度增加__________米． 15. 如图，在中，的半径为点是边上的动点，过点作的一条切线(其中点为切点)，则线段长度的最小值为____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交反比例函数的图像于两点，轴于点，的面积为6，则的值为______． 17. 设两直角边分别为的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R和r，则________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则_____． 三、解答题（共7题，共62分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，求图中阴影部分的面积． 21. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，且一次函数与x轴，y轴分别交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图像直接写出不等式的解集； （3）若点P为x轴上一点，的面积为10，求出点P的坐标． 22. 某超市以每件10元的进货单价购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价/元 … 12 13 14 … 每天销售数量/件 … 36 34 32 … （1）求出与之间的函数关系式； （2）设销售这种文具每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 23. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量一棵树的高度 测量工具 皮尺，测角仪，水平仪等 模型抽象 如图，是山脚的水平线，树高垂直于水平线于点D． 测量过程与数据信息 1．在点A处测出树顶C的仰角； 2．从点A沿着前进到达B处，即； 3．在B处测出树顶C的仰角． 解决问题 求出这棵树的高度是多少？（精确到）． （参考数据：） 24. （1）【探索发现】 如图1，是一块直角三角形木板，，小亮想从中裁出一个以为内角且面积最大的矩形，经过多次画线、操作、计算发现：当沿着中位线裁出时，所得的矩形的面积最大．通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________； （2）【思维拓展】 如图2，在中，边上的高，矩形的顶点分别在边上，顶点在边上，则矩形面积的最大值为________； （3）【迁移应用】 如图3，一块四边形的木板余料，经测量且，木匠师傅从这块余料中裁出面积最大的矩形，求该矩形的最大面积（写出过程） 25. 如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）若点为线段上一点（不与重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，求的最大面积； （3）在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年12月全县综合素养考试九年级数学试题 （时间：120分钟 分值：120分） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 有下列四个命题:  ①经过三个点一定可以作圆;              ②等弧所对的圆周角相等;  ③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;     ④在同圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦.  其中正确的有(    ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的认识、圆周角定理、三角形外心的性质对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：①经过在同一条直线上的三个点不能作圆，只有三个点不在同一条直线上时才可以作圆，故本小题错误； ②等弧所对的圆周角相等，符合圆周角定理，故本小题正确； ③三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以到三角形各顶点的距离都相等，故本小题正确； ④在同圆中，平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，故本小题错误． 故选：C． 【点睛】本题考查的是命题与定理，熟知圆的性质、圆周角定理、三角形外心的性质及其垂径定理的推论是解答此题的关键． 2. 已知反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限，则常数m的取值范围是（　　） A. 0＜m＜3 B. m＜3 C. m≤3 D. m＞3 【答案】B 【解析】 【分析】由反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限，可得3−m＞0，即可求常数m的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限， ∴3−m＞0 ∴m＜3 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是本题的关键． 3. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移．根据“上加下减，左加右减”的原则，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴平移后的新抛物线为． 故选：D． 4. 在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在点A，B的右侧圆弧上取一点C，连接AC，BC，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理得出，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，求特殊角的正弦值，掌握以上知识是解题的关键． 5. 如图，四边形的两边与相切于两点，点B在上，若圆的半径为，则所对的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、求弧长等知识，连接，由切线的性质可得，结合解得的度数，然后由弧长公式求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴所对的弧长． 故选：C． 6. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：反比例函数，， 反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， 点、、都在反比例函数的图象上， 、在第二象限内，在第四象限内， ，，， ， ， 故选：C． 7. 如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是 （ ） A. 12 π B. 15 π C. 20 π D. 30 π 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三视图、圆锥的侧面积等知识．根据三视图判断几何体为圆锥，再进行计算即可得到答案． 【详解】解：由三视图可知此几何体为圆锥， ∴圆锥的底面半径为3，母线长为5， ∵圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长， ∴圆锥的底面周长圆锥的侧面展开扇形的弧长， ∴圆锥的侧面积． 故选：B． 8. 直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理及正切的定义，求出相关线段的长度并能根据定义准确计算是正确解答此题的关键． 由折叠可得，设，则，根据勾股定理建立方程求出的长度，进而根据正切即可求解． 【详解】解： 根据题意得，，设，则． 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得， 故， 故选C． 9. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形外接圆圆心的确定，勾股定理等知识，确定圆心坐标是关键；确定外接圆的圆心坐标，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，圆心M的坐标， ∵， ∴， ∴的半径为， 故选：C． 10. 抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②；③；④方程有两个相等的实数根；⑤（m为任意实数）；其中正确结论的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数与一元二次方程等知识，掌握这些知识是关键；由抛物线与坐标轴的交点得对应的一元二次方程有实数根，从而由判别式的符号可判断①；由抛物线的对称性再结合函数图象可判断②；由顶点坐标得对称轴，进而得，再把顶点坐标代入函数解析式中即可判断③；由抛物线与直线的交点情况可判断④；根据函数最大值是所有函数值中最大的可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点A在和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间， 即抛物线与x轴有两个不同的交点，对应的一元二次方程有两个不同的实数根， ∴， 故①错误； ∵抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴当时，， 故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 即， ∵抛物线的顶点为， ∴， 即， ∴， 故③正确； ∵直线过抛物线的顶点且平行于x轴， ∴抛物线与直线只有一个交点， 即方程有两个相等的实数根， 故④正确； ∵抛物线的顶点为， ∴当时，函数取得最大值2， 即， 对自变量取任意实数m，函数值为，且， ∴， 故⑤错误； 综上，正确的有②③④三个； 故选：B． 二、填空题（共8题，11-14题每题3分，15-18题每题4分，共28分） 11. 在中，，则的大小是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值，求角的度数，根据，得到，再根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴； 故答案为：． 12. 如图，若圆锥的母线长为12，底面半径为4，则其侧面展开图的圆心角为___________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】根据圆锥的底面周长等于展开后扇形的弧长列出方程求解即可． 【详解】∵圆锥的母线长为12，底面半径为4，设其侧面展开图的圆心角为n， ∴， ∴解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的底面周长等于展开后扇形的弧长． 13. 已知小丽的身高为，在同一时刻测得小丽和建筑物的投影长分别为和，建筑物的高是________． 【答案】##11米 【解析】 【分析】本题考查了投影的性质：同一时刻物长与影长的比相等；据此列出比例式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 即建筑物的高是， 故答案为：． 14. 如图是一座截面边缘为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面为4米，则当水面下降1米时，水面宽度增加__________米． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式，根据题意计算即可． 【详解】建立平面直角坐标系如图： 则抛物线顶点C坐标为（0，2）， 设抛物线解析式y＝ax2+2， 将A点坐标（﹣2，0）代入，可得：0＝4a+2， 解得：a＝﹣， 故抛物线解析式为y＝﹣x2+2， 当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离， 也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离， 将y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2， 解得：x＝±， 所以水面宽度为2米， 故水面宽度增加了（2﹣4）米， 故答案为：（2﹣4）． 【点睛】本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质、正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 15. 如图，在中，的半径为点是边上的动点，过点作的一条切线(其中点为切点)，则线段长度的最小值为____． 【答案】 【解析】 【分析】如图：连接OP、OQ，根据,可得当OP⊥AB时，PQ最短；在中运用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求得AB、AQ的长，然后再运用等面积法求得OP的长，最后运用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图：连接OP、OQ， ∵是的一条切线 ∴PQ⊥OQ ∴ ∴当OP⊥AB时，如图OP′，PQ最短 在Rt△ABC中， ∴AB=2OB=,AO=cos∠A·AB= ∵S△AOB= ∴，即OP=3 在Rt△OPQ中，OP=3,OQ=1 ∴PQ=． 故答案为． 【点睛】本题考查了切线的性质、含30°直角三角形的性质、勾股定理等知识点，此正确作出辅助线、根据勾股定理确定当PO⊥AB时、线段PQ最短是解答本题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交反比例函数的图像于两点，轴于点，的面积为6，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图像特征，可知两点关于原点对称，从而得到的面积等于的面积，然后由反比例函数的比例系数的几何意义，即可求出的值． 【详解】解：∵经过原点的直线与反比例函数相交于两点， ∴两点关于原点对称， ∴， ∴， ∵的面积为6， ∴， 又∵是反比例函数图像上的点，且轴于点， ∴，解得， ∵该反比例函数图像在二、四象限， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比例函数的比例系数的几何意义、反比例函数与一次函数的交点问题，明确反比例函数的比例系数的几何意义是解题的关键． 17. 设两直角边分别为的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R和r，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查求直角三角形的外接圆和内切圆的半径，先利用勾股定理计算斜边长，再根据直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，内切圆半径等于两直角边之和与斜边差的一半，求出R和r，最后求差即可． 【详解】解：∵两直角边分别为的直角三角形， ∴斜边长为， ∵直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点， ∴， ∵直角三角形的内切圆半径等于两直角边之和与斜边差的一半， ∴， ∴； 故答案为：3． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，点坐标规律探索，依次求出各点的坐标，观察出每 3 次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点． 根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出、、、、、，从而得到每 3 次变化为一个循环组依次循环，用 2025除以 3 ，根据商的情况确定出即可． 【详解】解：当时，的横坐标与的横坐标相等为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 由上可知，个为一组依次循环， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共7题，共62分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，涉及零指数幂、负整数指数幂，化简二次根式等知识点． （1）先代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算． （2）分别计算负整数指数幂、零指数幂，代入特殊角的三角函数值，化简二次根式，计算绝对值，再进行二次根式的混合运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 20. 如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接，， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线判定定理、扇形面积与三角形面积的计算，利用弧相等推导圆心角相等，结合直角三角形性质分析线段与角度关系是解题的关键． （1）连接，，由得圆心角，进而得，由得，由得，可得，即可得，又因是的半径即可证明； （2）由，结合得，由勾股定理可得，由即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，且一次函数与x轴，y轴分别交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图像直接写出不等式的解集； （3）若点P为x轴上一点，的面积为10，求出点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）P的坐标是或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数综合应用，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）首先将点代入反比例函数，利用待定系数法确定反比例函数的表达式，再确定点A的坐标，然后利用待定系数法确定一次函数的表达式即可； （2）结合图像即可获得答案； （3）首先确定点C的坐标，设设，则，结合可得关于的绝对值方程并求解，即可获得答案． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数， 可得，解得， 反比例函数的表达式为， 将点代入反比例函数，得， 点A的坐标为． 将点A和点B的坐标分别代入， 得，解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 由图像可知，不等式的解集为或； 【小问3详解】 把代入，得， 解得， ∴点C的坐标是， ∵点P为x轴上一点，可设，则， ∵， ∴， ， ， ∴，解得或， 即P的坐标是或． 22. 某超市以每件10元的进货单价购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价/元 … 12 13 14 … 每天销售数量/件 … 36 34 32 … （1）求出与之间的函数关系式； （2）设销售这种文具每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的应用． （1）设与之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式； （2）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 将、代入得，， 解得，， ∴与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：依题意得，， ， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最大值，， 答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元． 23. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量一棵树的高度 测量工具 皮尺，测角仪，水平仪等 模型抽象 如图，是山脚的水平线，树高垂直于水平线于点D． 测量过程与数据信息 1．在点A处测出树顶C的仰角； 2．从点A沿着前进到达B处，即； 3．在B处测出树顶C的仰角． 解决问题 求出这棵树的高度是多少？（精确到）． （参考数据：） 【答案】这棵树的高度约为10.4米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意，找到三角形的边角关系是关键．设米，在中，利用三角函数求得；在中，利用三角函数求得，根据列出方程即可求解． 【详解】解：由题意得：， 设米， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得， （米）， 答：这棵树的高度约为10.4米． 24. （1）【探索发现】 如图1，是一块直角三角形木板，，小亮想从中裁出一个以为内角且面积最大的矩形，经过多次画线、操作、计算发现：当沿着中位线裁出时，所得的矩形的面积最大．通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________； （2）【思维拓展】 如图2，在中，边上的高，矩形的顶点分别在边上，顶点在边上，则矩形面积的最大值为________； （3）【迁移应用】 如图3，一块四边形的木板余料，经测量且，木匠师傅从这块余料中裁出面积最大的矩形，求该矩形的最大面积（写出过程） 【答案】（1）；（2）300； （3）该矩形的面积为864，过程如下： 如下图，延长交于点E，过点作于点， ∵， ∴， ∴ ∵，且， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴的中点Q在线段上， ∵， ∴， ∴的中点在线段上， ∴的中位线的两端点在线段上， 由（2）可知，矩形的最大面积为， 【解析】 【分析】（1）首先根据中位线的性质可得，，，进而可得四边形是矩形，然后根据三角形面积公式和矩形面积公式求解即可； （2）结合矩形的性质证明，易得，即，设，则，结合矩形面积公式可得矩形的面积，即可获得答案； （3）延长交于点E，过点作于点，首先证明为等腰三角形，并利用三角函数解得，由勾股定理解得，分析确定的中位线的两端点在线段上，结合（2）可知，矩形的最大面积为，即可获得答案． 【详解】解：（1）∵均为中位线， ∴，，， 又∵， ∴四边形是矩形， ． 故答案为：； （2）∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 设，则， 则矩形的面积， ∴当时，矩形面积取最大值，最大值为； （3）略． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的应用、解直角三角形等知识，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题关键． 25. 如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）若点为线段上一点（不与重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，求的最大面积； （3）在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点Q的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质求最值，勾股定理； （1）根据题意将，两点的坐标代入即可求出解析式； （2）求出直线的解析式，设点坐标为，则点坐标为，可表示出的长，则的面积，可用表示出来，根据二次函数的性质可求出面积的最大值； （3）分三种不同的情况进行讨论，勾股定理，建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：将代入，得， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， 将和代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点坐标为，则点坐标为， ， ， 当时，的面积最大，最大值为 【小问3详解】 解：存在， ， 对称轴为直线， 当时， ∴ 由（1）可得 设 ∴,， 当时， ∴，解得：，则点Q的坐标为 当时， ∴，解得：，则点Q的坐标为 当时， ∴，解得：或 ， 则点Q的坐标为或 综上所述，点Q的坐标为或或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $