26.4 第2课时 商品利润最大问题（教学设计）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数解决商品最大利润问题，通过知识链接复习利润公式，搭建从基础公式到建立函数模型的学习支架，梳理前后知识脉络。 以商品定价实例驱动探究，引导学生抽象数量关系建立函数模型，体现数学眼光的抽象能力。分涨价、降价情况分析列解析式、定范围、求最值，培养数学思维的推理与运算能力。变式与检测强化用数学语言表达现实问题，助力学生提升应用意识，为教师提供分层教学资源。

第2课时　商品最大利润问题 1.能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型． 2.会用二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象和性质解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题． 1.用二次函数的知识分析解决有关利润的实际问题．（重点） 2.通过问题中的数量变化关系列出函数解析式．（难点） 知识链接： 利润=收入－　成本　；总收入=销售单价×　销量　；总成本=进货单价×　销量　； 总利润=销售单价×销量－进货单价×销量=　（销售单价－进货单价）　×销量=　单利润　×销量． 　探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题  某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每件每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 思考： 总利润=（销售单价－进货单价）×销量=单件利润×销量 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　60　　　　40　　　　　　　20　　300 涨价　　　60＋1　　　　　　　　　　　20＋1　300－10 降价　　　60－1　　　　　　　　　　　20－1　300＋20 涨价销售 ①设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 20 300 6000 降价销售 20＋x 300－10x （20＋x）（300－10x） 所得利润y=（20＋x）（300－10x）=－10x2＋100x＋6000. ②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要x及销售量非负就可以，故300－10x≥0，且x≥0，故自变量的取值范围是0≤x≤30. ③每件涨价多少元时，利润最大？最大利润是多少？ y=－10x2＋100x＋6000=－10（x－5）2＋6250（0≤x≤30）．当x=5，即每件涨价5元（销售单价为65元）时，有y最大值=6250.∴当销售单价为65元时，该店每星期能获得最大利润6250元． 想一想：降价销售时每一步应该怎么做？ ①设未知数，用含未知数的代数式表示相关量 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 20 300 6000 降价销售 20－x 300＋20x （20－x）（300＋20x） 解：设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元，则单件利润为（20－x）元，每星期可卖出（300＋20x）件．则y=（20－x）（300＋20x）=－20x2＋100x＋6000. 学生自行完成解答过程，教师点评． 归纳总结：求解最大利润问题的一般步骤： （1）建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=单件利润×总销量”或“总利润=总售价－总成本”； （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式法求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出． 变式：一水果店售卖一种水果，以8元/千克的价格进货，由往年销售经验可知：以12元/千克售卖，每天可卖60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克，但售价不低于成本价．设该商品的售价为x元/千克时，一天的销售总量为y千克． （1）求y与x的函数关系式． （2）若水果店货源充足，每天以固定价格x元/千克销售（x＞8），试求出水果店每天的利润W（元）与单价x的函数关系式，并求出当x为何值时，利润达到最大． 1.（5分）某超市销售一种商品，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足y=－2（x－20）2＋1558，由于某种原因，销售单价只能为15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（A） A.1558元　　B.1550元　　C.1508元　　D.20元 2.（5分）某超市销售一种商品，每件成本为50元，超市的销售经理经调查发现，该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足函数关系式y=－5x＋550.若设该商品每月所获利润为w（元），则w与x之间化简后的函数关系式为　w=－5x2＋800x－27500　，w的最大值为　4500　． 3.（5分）［教材变式］ 某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30－x）件．若要使利润最大，则每件的售价应为多少元？ 书写通关 解：设　利润为w元　，根据题意得　w=（x－20）（30－x）=－（x－25）2＋25　， x的取值范围为　20≤x≤30　，∴当x=　25　时，利润取得最大值． 答：　若要使利润最大，则每件的售价应为25元　． 4.（12分）某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足：y1=－x2＋10x，y2=2x．若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，求能获得的最大利润． 解：设总利润为w万元，在甲地销售了a辆，则乙地销售了（15－a）辆，则y1=－a2＋10a，y2=2（15－a）．由题意得w=－a2＋10a＋2（15－a）=－（a－4）2＋46， ∴当a=4时，w最大=46.∴能获得的最大利润为46万元． 5.（13分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：y=－2x＋160，且规定商品的销售单价不能低于成本价，但不高于50元． （1）销售单价为多少元时每天能获得800元的利润？ （2）［典型易错］ 要使销售该商品每天获得的利润w（元）最大，销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　易错通关：首先判断顶点横坐标是否在30≤ x≤50区间范围内，再取最值． 解：（1）由题意得（x－30）（－2x＋160）=800，整理得x2－110x＋2800=0，解得x1=40，x2=70.∵商品的销售单价不能低于成本价，但不高于50元，∴30≤x≤50.∴x=40. 答：销售单价为40元时每天能获得800元的利润． （2）由题意得w=（x－30）（－2x＋160）=－2（x－55）2＋1250.∵－2＜0，∴当x＜55时，w随x的增大而增大．∵30≤x≤50，∴当x=50时，w有最大值，此时，w=1200. 答：要使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价应定为50元，最大利润为1200元． 　　 　　 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $