26.4 第2课时 商品利润最大问题（教学设计）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

第2课时　商品最大利润问题

1.能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型．

2.会用二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象和性质解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题．

1.用二次函数的知识分析解决有关利润的实际问题．（重点）

2.通过问题中的数量变化关系列出函数解析式．（难点）

知识链接：

利润=收入－　成本　；总收入=销售单价×　销量　；总成本=进货单价×　销量　；

总利润=销售单价×销量－进货单价×销量=　（销售单价－进货单价）　×销量=　单利润　×销量．

　探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每件每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

 

思考：

总利润=（销售单价－进货单价）×销量=单件利润×销量

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　60　　　　40　　　　　　　20　　300

涨价　　　60＋1　　　　　　　　　　　20＋1　300－10

降价　　　60－1　　　　　　　　　　　20－1　300＋20

涨价销售

①设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元，填空：

	单件利润（元）	销售量（件）	每星期利润（元）
正常销售	20	300	6000
降价销售	20＋x	300－10x	（20＋x）（300－10x）

 

所得利润y=（20＋x）（300－10x）=－10x2＋100x＋6000.

②自变量x的取值范围如何确定？

营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要x及销售量非负就可以，故300－10x≥0，且x≥0，故自变量的取值范围是0≤x≤30.

③每件涨价多少元时，利润最大？最大利润是多少？

y=－10x2＋100x＋6000=－10（x－5）2＋6250（0≤x≤30）．当x=5，即每件涨价5元（销售单价为65元）时，有y最大值=6250.∴当销售单价为65元时，该店每星期能获得最大利润6250元．

想一想：降价销售时每一步应该怎么做？

①设未知数，用含未知数的代数式表示相关量

	单件利润（元）	销售量（件）	每星期利润（元）
正常销售	20	300	6000
降价销售	20－x	300＋20x	（20－x）（300＋20x）

 

解：设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元，则单件利润为（20－x）元，每星期可卖出（300＋20x）件．则y=（20－x）（300＋20x）=－20x2＋100x＋6000.

学生自行完成解答过程，教师点评．

归纳总结：求解最大利润问题的一般步骤：

（1）建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=单件利润×总销量”或“总利润=总售价－总成本”；

（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；

（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式法求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出．

变式：一水果店售卖一种水果，以8元/千克的价格进货，由往年销售经验可知：以12元/千克售卖，每天可卖60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克，但售价不低于成本价．设该商品的售价为x元/千克时，一天的销售总量为y千克．

（1）求y与x的函数关系式．

（2）若水果店货源充足，每天以固定价格x元/千克销售（x＞8），试求出水果店每天的利润W（元）与单价x的函数关系式，并求出当x为何值时，利润达到最大．