精品解析：福建莆田第四中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

2026~2027学年莆田四中高一上学期第一次月考 数学试题 (满分150分 考试时间：120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组对象中，能构成集合的是（ ） A. 非常大的自然数 B. 喜欢运动的人 C. 小于100的素数 D. 的所有近似值 2. 已知命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 是 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知集合，则的子集个数为（ ）个 A. B. C. D. 6. 已知条件，则使得p成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. 或 D. 7. 某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（ ）名 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于实数，，，下列命题是真命题的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 10. 若，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为8 C. 的最小值为9 D. 的最小值不为1 11. 已知集合，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则______． 13. 已知，则的最小值为________． 14. 对于任意非负实数，不等式恒成立，则的取值集合是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，集合 （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 设集合，， （1）若，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. 已知，，满足. （1）求的最大值； （2）从以下三个最值问题中选择一个进行解答． ①的最小值； ②的最大值； ③的最大值． 18. 已知函数，． （1）若的解集为，求实数； （2）求关于的不等式的解集； （3）若命题，，且是假命题，求的取值范围． 19. 记集合的元素个数为，教材阅读与思考”阐述有限集合的基数及容斥原理，即对于有限集合，，，有， （1）若集合，，，求的值； （2）设全集，已知，，，且，，，求； （3）已知全集，，，若设，且，求的最大值，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年莆田四中高一上学期第一次月考 数学试题 (满分150分 考试时间：120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组对象中，能构成集合的是（ ） A. 非常大的自然数 B. 喜欢运动的人 C. 小于100的素数 D. 的所有近似值 【答案】C 【解析】 【详解】集合中的元素必须具备确定性，即给定一个对象，能明确判断它是否属于这个集合. 对于选项A：“非常大”没有明确的客观标准，无法确定一个自然数是否属于该集合，不满足确定性，不能构成集合； 对于选项B：“喜欢运动”因人而异，缺乏明确标准，无法判断一个人是否属于该集合，不满足确定性，不能构成集合； 对于选项C：“小于100”和“素数”都有明确的数学定义，任给一个数，都能明确判断其是否属于该集合，满足确定性，能构成集合； 对于选项D：“近似值”没有指定精确度，无法明确界定哪些值属于“所有近似值”，不满足确定性，不能构成集合. 2. 已知命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】存在量词命题：，的否定是全称量词命题：，. 3. 下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素和集合之间的关系、集合与集合的关系判断即可. 【详解】对于①：因为0是的元素，所以，故①正确； 对于②：因为空集是任何集合的子集，所以，故②正确； 对于③：因为集合的元素为0，1，集合的元素为， 两个集合的元素全不相同，所以之间不存在包含关系，故③错误； 对于④：因为集合的元素为，集合的元素为， 两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误； 综上所述：正确的个数为2. 故选：B. 4. 是 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求解绝对值不等式得到对应解集，通过判断两个条件对应集合的真包含关系确定充分必要性. 【详解】首先解不等式，根据绝对值的运算性质，该不等式等价于： 对不等式三边同时加1，解得： 设集合. 充分性验证：若，则必有； 必要性验证：取，此时，满足，但. 因此“”是“”的充分不必要条件. 5. 已知集合，则的子集个数为（ ）个 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据集合的约束条件求出所有元素，再利用元集合的子集个数公式计算结果. 【详解】由，，可得， 即，且，故的取值为. 将的取值依次代入，可得的对应取值分别为， 因此集合，共含个元素，故的子集个数为. 6. 已知条件，则使得p成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用充分条件与必要条件的定义求解. 【详解】不能推出，能推出，所以是的必要不充分条件，选项A正确； 不能推出，必要性不成立，选项B错误； 不能推出，必要性不成立，选项C错误； 不能推出，必要性不成立，选项D错误. 7. 某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（ ）名 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】画出图，由题意求出分别单独参加物理、数学和化学的人数，即可求出参赛人数，进而求出没有参加任何竞赛的学生. 【详解】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人， 因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛， 参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名， 只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名， 所以单独参加数学的有人， 单独参加物理的有人，单独参加化学的有， 故参赛人数共有人， 没有参加任何竞赛的学生共有人. 故选：D. 8. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，可得， 所以. 又因为，所以， 即，当时等号成立. 因为，所以； 因为，所以. 将两同向不等式相加，得： ， 当时等号成立. 综上所述，的取值范围是. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于实数，，，下列命题是真命题的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对A，取，，则满足且，但，故A选项是假命题； 对B，因为，两边同乘以，则；两边同乘以，则.所以成立，故B选项是真命题； 对C，取，，，，满足，，且，故C选项是假命题； 对D，因为，所以， 即，所以.故D选项是真命题. 10. 若，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为8 C. 的最小值为9 D. 的最小值不为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式可得，利用换元法解不等式得，可得选项A错误；利用可得选项B正确；由得，结合基本不等式可得选项C正确；原式可变形为，根据可得选项D正确. 【详解】由题意可得得，. 令，则， ∴，∴，当且仅当时取得最小值4，选项A错误. ，当且仅当时，取得最小值8，选项B正确. 由得， ∴， 当且仅当，即时取得最小值9，选项C正确. 由得， ∵，∴，无法取到1， 故的最小值不为1，选项D正确. 11. 已知集合，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于集合，不等式：若，则； 若，则恒成立，此时；若，则. 等价于. 取，则，显然成立，即存在实数满足条件，故A正确； 等价于. 同样取，此时，且，成立，故B正确； 由于，假设存在，使得. 若，，要使，需， 解得，与矛盾； 若，，，矛盾； 若，，要使，需， 解得，与矛盾. 所以，对于任意整数，都有，故C正确； 等价于.即对任意的实数x成立. 当时，恒成立， 此时.，. 当时，时，，不满足恒成立. 当时，时，，不满足恒成立. 故不存在自然数a使得，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】已知，则或，结合集合中元素的互异性分情况讨论即可. 【详解】因为， 所以或， 当时，，此时，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，解得或（同上，舍去）， 此时． 综上． 故答案为：. 13. 已知，则的最小值为________． 【答案】6 【解析】 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为6. 14. 对于任意非负实数，不等式恒成立，则的取值集合是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据与的大小关系分类讨论，将不等式恒成立问题转化为求函数在相应区间上的最值问题，从而得到且，解得，最后代回检验即可. 【详解】设，由题意知对任意 ，恒有， 当时，，恒成立； 当时，，要使，必须恒成立， 即对任意恒成立，因为，所以； 当时，，要使，必须恒成立， 即对任意恒成立，因为，由恒成立条件得； 综上可得且，所以， 当时，， 因为，所以，，从而恒成立，符合题意. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，集合 （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解一元二次不等式化简集合A，再根据补集定义计算结果； （2）由得，分为空集、非空两类讨论，结合子集关系列不等式求解的取值范围. 【小问1详解】 化简集合，解不等式，因式分解得， 解得，即. 因为全集，根据补集的定义，得. 【小问2详解】 由，可得，分两种情况讨论： ① 当时，满足，此时区间左端点大于右端点，即， 移项合并得，解得； ② 当时，需满足， 解第一个不等式得，解第二个不等式得， 两个解集无公共部分，故此时不存在符合条件的实数. 综上，实数a的取值范围是 . 16. 设集合，， （1）若，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据分式不等式的解法，和一元二次不等式的解法，根据参数值，求出集合，进而根据交集的概念，求出结果； （2）根据充分不必要条件判断集合的包含关系，根据集合包含关系，求出参数范围. 【小问1详解】 由题意可得，即，解得或，即， 可得，即，解得，或，即， 当时，，则. 【小问2详解】 若是的充分不必要条件，即， 即，可得，解得，即实数的取值范围为． 17. 已知，，满足. （1）求的最大值； （2）从以下三个最值问题中选择一个进行解答． ①的最小值； ②的最大值； ③的最大值． 【答案】（1） （2） ①最小值为； ②最大值为； ③最大值为. 【解析】 【小问1详解】 已知，，， 由基本不等式：， 则，即， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 【小问2详解】 选①：由，得，即， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 选②：由， 由（1）知，则， 所以，当且仅当时等号成立， 则的最大值为. 选③：因为，则， 由（1）知，则， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为. 18. 已知函数，． （1）若的解集为，求实数； （2）求关于的不等式的解集； （3）若命题，，且是假命题，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解集判断二次函数图像形状，进而根据解集判断函数零点，求出参数值； （2）根据一元二次不等式的解法，对参数进行分类讨论，分别判断各种情况下的函数图像，进而求出解集； （3）根据命题的否定为真命题的情况，写出不等式，根据的范围，化简不等式，进而判断参数范围. 【小问1详解】 可知， 由的解集为，可得，. 【小问2详解】 可知不等式为， 当时，函数开口向下，且， 所以不等式解集为； 当时，不等式为，解集为； 当时，函数开口向上，且，所以不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为； 当时，函数开口向上，且，所以不等式解集为. 【小问3详解】 由是假命题可得“”为真命题， 可得，即， 因为，所以，可得， 因为时，，所以时，有恒成立，所以实数的取值范围为. 19. 记集合的元素个数为，教材阅读与思考”阐述有限集合的基数及容斥原理，即对于有限集合，，，有， （1）若集合，，，求的值； （2）设全集，已知，，，且，，，求； （3）已知全集，，，若设，且，求的最大值，并说明理由． 【答案】（1）7 （2）和 （3）设，， 由题可得， 所以， 因为，所以中每个元素至少属于一个集合， 设为只属于一个集合的元素的个数，为恰好属于两个集合的元素的个数， 由题可得，， 解得， 因为，所以， 所以，故的最大值为1521. 【解析】 【分析】（1）分别求出集合，，，，，，，代入公式即可得出答案； （2）根据得到，再由，且得到2和3不能同时出现即可列出满足条件的集合； （3）设，，由公式可得，根据 ，得到中每个元素至少属于一个集合，设为只属于一个集合的元素的个数，为恰好属于两个集合的元素的个数，根据总元素个数及三个集合个数之和可列方程组，，算出与的关系式，由即可求出的最大值，代入的表达式即可求出答案. 【小问1详解】 由题可得， 因为，，， 所以，，，， 所以. 【小问2详解】 因为，， 若，则，那么有，与矛盾， 故， 因为，且，所以集合中2和3不能同时出现， 又，所以集合有3个元素， 综上所述，符合条件的有和. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $