福建莆田第一中学2026-2027学年上学期高一年段10月月考数学试卷

莆田一中2026-2027学年上学期高一年段10月月考数学试卷 (考试时间：120分钟) 一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 1．命题“”的否定是（       ） A． B． C． D． 2．不等式解集为（       ） A． B． C． D． 3．设集合，，若，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 4．如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（     ） A． B． C． D． 5．设，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知，，若集合，则（       ） A．0 B．1 C．-1 D．1或-1 7．若一元二次不等式（）的解集为，则的最小值为（     ） A． B． C．2 D．4 6．设，q：x满足（为常数），若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（        ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题是真命题的为（     ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 10．某校高一年级组织趣味运动会，有跳远、球类、跑步三项比赛，一共有28人参加比赛，其中有16人参加跳远比赛，有8人参加球类比赛，有14人参加跑步比赛，同时参加跳远和球类比赛的有3人，同时参加球类和跑步比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则（       ） A．同时参加跳远和跑步比赛的有4人 B．仅参加跳远比赛的有8人 C．仅参加跑步比赛的有7人 D．同时参加两项比赛的有10人 11．已知正实数满足，则下列结论不正确的是（） A．的最大值为 B．的最大值为4 C．的最小值为 D．的最小值为4 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．若，则的取值范围_____________． 13．已知命题：“≥0”是假命题，则实数的取值范围是__________. 14．已知集合，集合满足：①每个集合恰有8个元素②.若集合中元素最大值与最小值之和称为的幸运数，记作，则的最大值为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.(本小题13分)已知函数， (1)当时，解不等式<0; (2)当时，解不等式≥0. 16.(本小题15分)某企业为响应国家节水号召,决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. (1)求与的关系式； (2)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； (3)设备占地面积为多少时，的值最小? 17.(本小题15分）已知命题，，命题，． (1)若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 18.(本小题17分）已知a，b为正实数． (1)证明：； (2)若，求的最小值． 19.(本小题17分)设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质. (1)试判断集合，是否具有性质？并说明理由； (2)若集合，证明A不可能具有性质； (3)若集合且具有性质和，求A中元素个数的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $莆田一中2026-2027学年度上学期10月月考试卷 数学参考答案 1-4:DBAC,5-8:ACDD 9.BCD 10.ACD 11.ABD 12.x5<x<10} 13.{a-1<a≤0} 14.123 15解：（1)当a=-2时，不等式为x2-2x-8<0,……1分 即(x+2)(x-4)<0,所以-2<x<4……2分 所以不等式的解集为{x-2<x<4}:……3分 (2)方程x2-(a+a2)x+3=0的两个实数根是a,a2,……4分 当① a<d即a>1时，不等式的解为x≤a或x之d:…6分 a>0 a=d2即a=1时，不等式恒成立：…8分 a>0 ② {a>d即0<a<1时，不等式的解为x≤a2或x≥a…10分 a>0 综上所述：当0<a<1时，不等式的解集为{xx≤a2,或x≥a}:……11分 当a=1时，不等式的解集为R;……12分 当a>1时，不等式的解集为{xx≤a,或x≥a}……13分 16解：（1)由思意得y=0.2x+80 (x>0),……2分 x+5 令y≤7.2即0.2x+ 80≤7.2，…4分 x+5 整理得x2-31x+220≤0，……5分 即(x-11)(x-20)≤0，……6分 所以解得11≤x≤20，……7分 所以设备占地面积x的取值范围为[11,20]……8分 (2)v=02xt8055+512545-1=216-1=71分 X. V5x+5 当且仅当x+5、80 5x+5 ,……13分 即x=15时等号成立，……14分 所以设备占地面积为15m时，y的值最小.……15分 解：(1)若命题p为真命题，即命3x∈{x6≤x≤20，x<2a,…1分 所以6<2a,所以a>3,……2分 若命题9为真命题，即x∈R,x2+2x-a>0,……3分 所以△=22+4a<0,……4分 解得a<-1,……5分 因为命题P和命题一9有且只有一个为假命题， a≤3 当命题卫为假，命题一9为真时 a≥-1’……6分 解得-1≤a≤3；……7分 a>3 当命题p为真，命题一9为假时 a<-1’…8分 所以a∈☑：……9分 所以a的取值范围是{a-1≤a≤3}……l0分 a≤3 (2)若命题P和命题9都为假命题，则 a≥-1…12分 即-1≤a≤3；……13分 因为命题p和命题9至少有一个为真命题，所以a>3或a<-1,……14分 即a的取值范围是{aa<-1,或a>3}.…15分 18解：(1)证明2a3+a2-2a-1=2a3(1-a+(a+1)(a-l）…1分 =（-2a3+a+1(a-）=（1-a3+a-a2)(a-)…2分 ={[l-a(1+a+a2）+a1-a01+aj]小(a-l）…3分 =(1-a)1+2a+2a2)(a-1)=-（1+2a+2a2）(a-1…4分 A+c-分 因为a>0,所以(a-1)}2≥0，当且仅当a=1时取等号，……6分 所以2a3+a2-2a-1≤0，即2a3+a2≤2a4+1；……8分 (2)法-：因为a>0,b>0,a2+b2=4-2ab, 即(a+b)2=4,所以a+b=2,…2分 所以1。+11 11,1 a+2b 2a+b a+b+b a+a+b 2+b a+2 ……4分 -642小a+26+2-268年号*26 +2 2 3……7分 当且仅当a+2_b+2 即a=b=1时取等号，……8分 2+ba+2 即1 41 2 a+2b 2a+b 的最小值为写：9分 法二因为a>0,b>0,a2+b2=4-2ab,即(a+b)2=4,所以a+b=2,…2分 〔2n-m m=a+2b Q=- n=2a+b'则 令 3 ，……3分 2m-n b=1 3 Q+b=2=2n二m±2h=h2h，…4分 3 防以十，=++）m+小一5分 a+2b 2a+b m n 6m n +只小222小号分 当且仅当”=m,即m=n=1时取等号，…8分 m n 1 即 1,的最小值为 a+2b 2a+b ·…9分 19.解：(1)B={1,2,4,5不具有性质P(2),……1分 C={1,5,6具有性质P(2),……2分 理由：4-2=2，.B不具有性质P(2)……3分 5-1≠2,6-1≠2,6-5≠2，.C具有性质P(2):……4分 (2)证明：将集合{1,2，…，20}中的元素分为如下10个集合， {1,6,{2,7,{3,8},{4,9},{5,10},{11,16},{12,17},{13,18,{14,19},{15,20.…6分 所以从集合{1,2，…，20}中取11个元素，那么这10个集合至少有一个集合要选2个数，存在两个元素其差为5，… …8分 A不可能具有性质P(5)……9分 (3)先说明连续11项中集合A中最多选取5项，以1,2,3.，11为例将这11个数分为1,8}，{2,9}，{3,10， {4,11},{5},{6,{77个集合，……10分 ①5,6,7同时选，因为具有性质P(4)和P(7),所以选5则不选1,9；选6则不选2,10；选7则不选3,11： 则只剩4,8.故1,2,3..，11中属于集合A的元素个数不超过5个. ……11分 ②5,6,7选2个，若只选5,6，则1,2,9,10,7不可选，又{4,11}只能选一个元素，3,8可以选，故1,2， 3.,11中属于集合A的元素个数不超过5个 若选5,7，则只能从2,4,8,10中选，但4,8不能同时选，故1,2,3.，11中属于集合A的元素个数不超过 5个. 若选6,7，则2,3,10,11,5不可选，又{1,8}只能选一个元素，4,9可以选，故1,2,3..11中属于集合A的 元素个数不超过5个.……12分 ③5,6,7中只选1个，又四个集合{1,8，{2,9}，{3,10，{4,11}每个集合至多选1个元素，故1,2,3.，11 中属于集合A的元素个数不超过5个.……13分 由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A的元素至多只有5个，如取1,4,6,7,9.因为1000=90×11+10， 则把每11个连续自然数分组，前90组每组至多选取5项；从991开始，最后10个数至多选取5项，故集合A的 元素最多有91×5=455个.……14分 给出如下选取方法：从1,2,3.，11中选取1,4,6,7,9；然后在这5个数的基础上每次累加11，构造90次.… …15分 此时集合A的元素为：1,4,6,7,9；12,15,17,18,20：23,26,28,29,31：：2014,2017,2019， 2020,2022,991,994,996,997,999共455个元素.……16分 经检验可得该集合符合要求，故集合A的元素最多有455个.……17分