精品解析：福建宁德市福安市第一中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

福安一中2026-2027学年第一学期高一第一次月考 数学试卷 （满分：150分 完成时间：120分钟） 一、单选题（每小题5分，合计60分）， 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知一元二次方程的两个根分别为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 据《焦点访谈》2026年9月28日报道，第48届世界技能大赛在上海举办，共有个国家和地区参赛，名选手同台竞技．设集合，，则下列判断正确的是：（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 6. 集合，将集合分别用如下图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（ ） A. B. C. D. 7. 设，，则（ ） A. B. C. D. 或 8. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 若，则的最小值是（       ） A. 4 B. C. D. 10. 下列结论成立的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 12. 若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（每小题5分，合计20分） 13. 已知，则的值为___________． 14. 不等式的解集为___________． 15. 若不等式在上恒成立，则的取值范围为________； 16. 若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为_____. 三、解答题（6题，共70分） 17. 已知，，其中． （1）比较A与B的大小； （2）在解决比较两个代数式大小的问题时，作差法是最核心的通法．结合本题，请总结“作差法比较大小”的标准三步流程，并说明每一步的核心操作． 18. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求的值． 19. 已知集合，． （1）分别求，； （2）已知集合，若，求实数的取值范围． 20. 已知不等式 的解集为. （1）求，的值； （2）解不等式 . 21. 某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前年的总盈利额为万元． （1）写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利； （2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理； 问哪种方案较为合理？并说明理由． 22. 已知函数. （1）求证：函数的图像与轴恒有两个不同的交点、，并求此两交点之间距离的最小值； （2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福安一中2026-2027学年第一学期高一第一次月考 数学试卷 （满分：150分 完成时间：120分钟） 一、单选题（每小题5分，合计60分）， 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】“，”的否定为：，. 2. 已知一元二次方程的两个根分别为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦达定理可直接得到结果. 【详解】由韦达定理知：. 故选：B. 3. 据《焦点访谈》2026年9月28日报道，第48届世界技能大赛在上海举办，共有个国家和地区参赛，名选手同台竞技．设集合，，则下列判断正确的是：（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】，所以. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由完全平方公式、立方和公式、立方差公式、两数差立方公式逐项分析即可. 【详解】因为完全平方公式． 立方和公式； 立方差公式； 两数差立方公式．故C正确. 故选：C. 5. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， ， 所以. 6. 集合，将集合分别用如下图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用图象求得正确答案. 【详解】， 所以: A选项，阴影部分表示，不符合题意. B选项，阴影部分表示，符合题意. C选项，阴影部分表示，不符合题意. D选项，阴影部分表示，不符合题意. 故选：B 7. 设，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】联立方程组，解出x，y，再结合交集的定义，即可求解． 【详解】联立，解得， 故. 故选：C． 8. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 利用充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】如，，满足，但不满足“”， 所以由得不出”， 若”，则， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 9. 若，则的最小值是（       ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式计算直接得出结果. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为4. 故选：A. 10. 下列结论成立的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【详解】对于， ，又， ，故不成立 对于，由 ，又， ，故正确 对于，当时，则不成立； 对于，当，时，不成立 故选 11. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】当时，不等式显然成立；当时，由题意有，求解不等式组即可得答案. 【详解】解：当时，恒成立，符合题意； 当时，由题意有，解得， 综上，. 故选：B. 12. 若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】含参分类讨论解不等式即可. 【详解】由可得，显然此时不等式无解； 若，此时不等式解集为，要满足题意需该区间有且仅有整数，则； 若，此时不等式解集为，要满足题意需该区间有且仅有整数，则； 综上或. 故选：C 二、填空题（每小题5分，合计20分） 13. 已知，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 14. 不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据解不等式的步骤，移项，通分，解一元二次不等式即可. 【详解】由，得，所以， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 15. 若不等式在上恒成立，则的取值范围为________； 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数性质分类讨论即可得. 【详解】当，即时，有，解得，不符，舍去； 当，即时，有，解得，故； 当，即时，有，解得， 即； 综上可得，的取值范围为. 16. 若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为_____. 【答案】 【解析】 【分析】分“鲸吞”或“蚕食”两种情况分类讨论求出值，即可求解 【详解】当时，，此时满足， 当时，，此时集合只能是“蚕食”关系， 所以当集合有公共元素时，解得， 当集合有公共元素时，解得， 故的取值集合为. 故答案为： 三、解答题（6题，共70分） 17. 已知，，其中． （1）比较A与B的大小； （2）在解决比较两个代数式大小的问题时，作差法是最核心的通法．结合本题，请总结“作差法比较大小”的标准三步流程，并说明每一步的核心操作． 【答案】（1） （2）作差法比较大小的三步流程： Step1：作差：计算两个代数式的差（注意加括号，避免符号错误）； Step2：变形：对差值进行化简（如因式分解、配方、通分等），转化为易判断符号的形式； Step3：定号：根据变形结果（如完全平方式、二次函数图象、因式符号等），判断差值与0的大小关系，进而得出原代数式的大小 【解析】 【详解】（1） . （2）略 18. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】(1)求出集合A，把代入求出集合B，再利用并集的定义即可求解； (2)由已知可得，把代入集合B的约束条件求出a，再验证即可得解. 【详解】（1）依题意，， 当时，， 所以； （2）因为，则，于是得，即，解得或， 当时，，则，不符合题意， 当时，，则，符合题意， 综上得，的值是. 19. 已知集合，． （1）分别求，； （2）已知集合，若，求实数的取值范围． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】 （1）首先求出集合，再利用集合的交、并、补运算即可求解. （2）讨论或，根据集合的包含关系即可求解. 【详解】（1）， ，所以， ， （2）①当时，，此时； ②当时，，则； 综合①②，可得的取值范围是． 【点睛】本题考查了集合的基本运算、由集合的包含关系求参数的取值范围，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 20. 已知不等式 的解集为. （1）求，的值； （2）解不等式 . 【答案】（1）， （2）当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求参数； （2）代入参数后因式分解，分类讨论两根大小求解含参一元二次不等式. 【小问1详解】 由题意知， 和是方程 的两个实根， 由韦达定理得，，解得. 【小问2详解】 将代入不等式得，即. 方程的两根为， . 当时，解集为或； 当时，不等式为，解集为； 当时，解集为或. 21. 某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前年的总盈利额为万元． （1）写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利； （2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理； 问哪种方案较为合理？并说明理由． 【答案】（1），该设备从第2年开始实现总盈利； （2） 方案二更合理，理由如下： 方案一：由（1）知，总盈利额， 当时，取得最大值160， 此时处理掉设备，则总利润为万元； 方案二：由（1）可得， 平均盈利额为 ， 当且仅当，即时等号成立； 即时，平均盈利额最大，此时， 此时处理掉设备，总利润为万元． 综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适． 【解析】 【分析】（1）根据题意，直接求得，令，结合的取值范围，即可求得结果； （2）分别求得两种方案下的总利润，结合使用年限，即可判断. 【小问1详解】 由题意可得， 由得，又，所以该设备从第2年开始实现总盈利． 【小问2详解】 略 22. 已知函数. （1）求证：函数的图像与轴恒有两个不同的交点、，并求此两交点之间距离的最小值； （2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)2;(2) 【解析】 【分析】（1）要证函数的图像与轴恒有两个不同的交点,,只需证,利用根与系数关系把两交点之间距离表示成函数,并求其最小值; （2）在区间上恒成立,分离参数,得到恒成立,设,利用基本不等式求出的最小值，即可求出的取值范围. 【详解】（1）,, , 所以函数的图像与轴恒有两个不同的交点、. 设、,则, 所以两交点之间距离的最小值. （2）若在区间上恒成立, 则恒成立, 分离参数得, 恒成立, 设 , 当且仅当,等号成立, 【点睛】本题考查一元二次方程的根判别式的运用,考查二次函数的性质的应用,考查应用基本不等式求最值, 体现等价转化数学思想,属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $