精品解析：山东省济南第一中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

济南一中2025级高二上学期10月学情检测 数学试题 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、单项选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 在三棱锥中，（    ） A. B. C. D. 2. 已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，，若，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 下列三点在同一条直线上的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 已知三点不共线，点在平面外，点P满足，则当点共面时，实数（ ） A. B. C. D. 6. 经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 如果直线经过直线与直线的交点，那么b的值等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 在平面直角坐标系中，若点，，，则的面积为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 9. 如图，将的菱形ABCD沿对角线BD折起，使得平面平面CBD，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，点，直线（其中，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（ ） A. ， B. ，， C. ，， D. ， 二、多项选择题（本题共4小题，每小题6分，共24分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 11. 关于直线，下列说法正确的有（ ） A. 斜率为 B. 倾斜角为 C. 一个方向向量为 D. 直线不经过第一象限 12. 已知空间向量，则下列结论正确的是（ ） A. 当实数时， B. 当实数时，使得 C. 若与垂直，则 D. 若与平行，则 13. 如图，正方体的棱长为1，E是的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与平面所成的角为60° C. 三棱锥的体积为 D. 直线平面 14. 在三棱柱中，，分别是，上的点，且，.设，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 15. 直线 和直线间的距离是_____. 16. 已知向量，，则向量 在向量 上的投影向量的坐标是______. 17. 已知点，直线，则点关于直线的对称点的坐标为___________ 18. 已知直线和直线互相平行，则的值为_____. 19. 已知向量，且，则____________． 20. 过点且斜率为的直线l与x，y轴分别交于点P，Q，过点P，Q作直线的垂线，垂足分别为R，S，则四边形PRSQ面积的最小值为________． 四、解答题（本大题共3小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． （1）求F点到的距离； （2）求点F到平面的距离. 22. 已知的顶点，边的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求A的坐标； （2）求点A到直线的距离． 23. 如图，在多面体中，平面，，，为中点， （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面ADE夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南一中2025级高二上学期10月学情检测 数学试题 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、单项选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 在三棱锥中，（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线的位置关系，设直线，再代入点，求直线的方程. 【详解】直线与直线垂直，设直线的方程为， 直线经过点，，即. 直线的方程为. 故选：C 3. 已知空间向量，，若，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据数量积的坐标运算解得，进而结合模长公式以及向量夹角公式运算求解. 【详解】由题意可得：，解得，即， 可得，则， 且，可得， 所以与的夹角为. 故选：C. 4. 下列三点在同一条直线上的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据各项的坐标，应用两点斜率公式判断点是否共线即可. 【详解】A：，故三点不共线，错； B：，故三点共线，对； C：三点的横坐标都相等，斜率不存在，故三点共线，对； D：三点的纵坐标都相等，斜率为0，故三点共线，对. 故选：BCD 5. 已知三点不共线，点在平面外，点P满足，则当点共面时，实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，列出方程，即可求解. 【详解】由点四点共面，且， 根据共面向量的基本定理，可得，解得． 6. 经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由题意分截距为0与截距不为0两种情况求解即得. 【详解】当直线经过原点时，此时直线方程可设为， 代入点，解得，所以直线方程为即； 当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为， 代入点，解得，所以直线方程为. 综上，经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是或. 故选：C. 7. 如果直线经过直线与直线的交点，那么b的值等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】求出两直线的交点坐标，代入含参数的直线方程可得参数值． 【详解】由，解得，所以，． 故选：D． 【点睛】本题考查求直线的交点坐标，由直线方程联立方程组，解方程组可得交点坐标． 8. 在平面直角坐标系中，若点，，，则的面积为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将三角形ABC拆分为三角形ABD和三角形ACD，由两点式计算BC所在直线，计算直线与轴的交点，分别求出三角形的底和高，公式求面积即可. 【详解】解：因为，， 所以所在直线为,即，设直线与轴的交点为D，过点C做轴的垂线，垂足为E，则， 则 故选：A 9. 如图，将的菱形ABCD沿对角线BD折起，使得平面平面CBD，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取BD中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求线线角即可. 【详解】 如图，取BD中点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 令，，，，， 则，， ， ，所成角的余弦值为. 故选：. 10. 已知点，点，直线（其中，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（ ） A. ， B. ，， C. ，， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线恒过定点，求出，与定点的斜率，即可得到的取值范围； 【详解】解：由题意，（其中， 则，， ，解得：， 直线所过定点； 点，点，设直线所过定点为，则的坐标； ，， 直线与线段有公共点， 当时，直线，与线段有公共点， 当时，直线的斜率， 或，解得，或， 综上所述：的取值范围为，， 故选：． 【点睛】关键点睛：本题考查直线恒过定点，解答本题的关键是先求出直线所过定点，然后由或求解，属于中档题． 二、多项选择题（本题共4小题，每小题6分，共24分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 11. 关于直线，下列说法正确的有（ ） A. 斜率为 B. 倾斜角为 C. 一个方向向量为 D. 直线不经过第一象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：化为斜截式方程可知结果；B：根据斜率与倾斜角的关系可求结果；C：一个方向向量为，根据的关系可判断结果；D：根据斜率与纵截距可知结果. 【详解】对于A：，所以斜率为，故错误； 对于B：设倾斜角为，因为斜率为，所以，所以，故正确； 对于C：直线的一个方向向量为，即，显然共线，故正确； 对于D：在轴上的截距为，且斜率，所以直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故正确； 故选：BCD. 12. 已知空间向量，则下列结论正确的是（ ） A. 当实数时， B. 当实数时，使得 C. 若与垂直，则 D. 若与平行，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】由空间向量模长、数量积的坐标运算判断A、B，由空间向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数判断C、D. 【详解】由，则，A对， 由，则，B对， 若与垂直，则，可得，C对， 若与平行，则，显然，不存在使等式成立，D错. 故选：ABC 13. 如图，正方体的棱长为1，E是的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与平面所成的角为60° C. 三棱锥的体积为 D. 直线平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，ABD利用空间向量法一一验证，C选项利用等体积法求解即可. 【详解】以点为原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，，， 对于A，，， 所以，所以，故A选项正确； 对于B，，易知平面，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面的夹角为， 则，所以，故B选项错误； 对于C，，所以C选项正确； 对于D，，， 设平面的法向量为， 则，即，令则， 所以，又， 所以，所以，又平面， 所以平面，故D正确； 故选：ACD 14. 在三棱柱中，，分别是，上的点，且，.设，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解A；利用数量积的运算律及模的运算求解判断B；利用数量积是否为0判断向量是否垂直判断C；根据空间向量夹角余弦公式求解判断D. 【详解】对于A，根据题意可得，又，， 所以可得， 即，正确； 对于B，由（1）知， 所以， 所以，B正确； 对于C，易知， 此时， 所以与不垂直，即C错误； 对于D，由选项C可得，且，即； ， 即； 所以可得，即D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 15. 直线 和直线间的距离是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用平行线间的距离公式可求得答案. 【详解】易知直线 和直线平行， 这两条直线间的距离为. 故答案为：. 16. 已知向量，，则向量 在向量 上的投影向量的坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义计算． 【详解】向量 在向量 上的投影向量的坐标为, 故答案为：． 17. 已知点，直线，则点关于直线的对称点的坐标为___________ 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，利用与直线垂直，中点在直线上，建立方程关系，即可求解； 【详解】设点的坐标为，依题意得 ，解得，即， 所以点坐标为， 故答案为：. 18. 已知直线和直线互相平行，则的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】 根据两直线平行可得出关于实数满足的等式与不等式，由此可解得实数的值. 【详解】由于直线和直线互相平行，则，解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用两直线平行求参数值，考查计算能力，属于基础题. 19. 已知向量，且，则____________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算求得求出，根据空间向量模的公式列方程求解即可. 【详解】因为， 所以， 可得， 因为，解得，故答案为3. 20. 过点且斜率为的直线l与x，y轴分别交于点P，Q，过点P，Q作直线的垂线，垂足分别为R，S，则四边形PRSQ面积的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】设出直线 l的方程，即可分别求出点、的坐标，进而求出直线PR和QS的方程，接着可求出点和点到直线的距离以及直线和直线的距离，最后利用梯形的面积公式即可得到四边形PRSQ面积的表达式，利用基本不等式即可求最值. 【详解】由已知得直线 l的方程为，则，， 由此可得直线PR和QS的方程分别为和， 点到直线的距离为，同理， 直线和直线的距离为， 故 , 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：. 四、解答题（本大题共3小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． （1）求F点到的距离； （2）求点F到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用点到直线距离公式进行求解； （2）求出平面的法向量，利用点到平面的向量距离公式进行求解. 【小问1详解】 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长为，则，，， 可得，， ，，， 设点到的距离为， 则； 【小问2详解】 设平面的法向量为，，，， 则，. 设， ，令，解得，，所以， 又，，， 点到平面的距离为. 22. 已知的顶点，边的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求A的坐标； （2）求点A到直线的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由求出直线的斜率与方程，再联立直线与中线的方程，求出点的坐标； （2）先设出中线上点的坐标，利用中点坐标公式表示出点的坐标，再结合点在直线上求出参数，确定坐标与直线方程，最后用点到直线的距离公式计算结果. 【小问1详解】 ，， 由得直线： 又在中线：上， 联立，解得 【小问2详解】 在直线：上，设 是中点，， 在直线：上， ，解得 由、，得直线： 点到直线的距离：. 23. 如图，在多面体中，平面，，，为中点， （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面ADE夹角的余弦值． 【答案】（1）连结CF，因为，所以， 所以四边形为平行四边形，因此； 因为 F为BD中点，，所以. 因为平面，平面，所以. 又因为平面，，所以平面. 又因为，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一和平面分别得到，，再根据线面垂直的判定定理证得平面，再根据即可证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法表示直线与平面所成角的正弦值即可求得BA长，再利用向量法求平面与平面ADE夹角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，又因为， 所以以C为原点，所在直线分别为轴、轴，过C作与平行的线为轴，建立空间直角坐标系. 所以， 设，则. 设平面的一个法向量， 则，令，则 ，所以. ， 因此直线与平面所成角的正弦值为， 解得. 所以. 设平面的一个法向量，， 则， 令，则，所以. 设平面的一个法向量，， 则， 令，则，所以. 平面与平面ADE夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $