山东济南市历城第二中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

2026-2027学年济南历城二中 高二(上)第一次月考(款学卷)202610 一、进择题:本题共8小题,每小题5分,共40分. 1.已知{8,5,为空间的一组基底,能与a+6,。-6组成基底的向最是() A.a B.6 C. D.8+26 2.已知点P(0.-),2(2,1),且线段P2是圆M的直径,则圆M的方程为() A.(x-02+y2=2 B.(x-1)+y2=8 C.x2+(y-1)2=4 D.x2+(y-12=8 3.已知向量a(,-L,3).6=(-,4,-2).c=(,5,x),若a,6,c共面,则() A.存在无数个实数x符合题意 8.存在唯一的正整数x符合题意 C.不存在正整数x符合题意 D,不存在任何实数x符合题意 4.在三校台ABC-48C中,=BC=2,6=4岛=l,且∠M0C-受若照上平面BC, 则点B到直线AC的距腐为( ) A.3 c. D. 26 5.空间四边形0ABC中,i=a,成=b,花-c,且OM=号OA,BN=NC,则MN=5 A. a-号+B+b-:C-+号+0D-号+安+ 2 6.如图,平行六面体ABCD-A民C,中,以A为项点的三条棱长均为2,且两两之间的夹角都是 D 60 ,则D=() A.4B.25C.26.25 7.己知点P1-∈R,点B是避+y=上的动点,点F是圆 (x-驴+0+=?上的动点,则P-P的最大值为:) A.4 B.3 C.5 D.2 8.如图,圆锥的轴裁面PAB是等边三角形,C是底面微周上一幼点,D是PA的中点,则直线 CD与PB所戒角的余弦值的取值范甩是() A别[哥c9n[ 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分. 9.下列说法正确的是( B- A.直线mx一y+1-m=0必过定点(L.) B.过点P,2)且在y轴战距互为湘反数的直线方程为x一y+1=0 C,已知直线3x+4y-1=0与直线6x+y-12=0平行,则平行线间的距离是1 D.若直线:r+y-1=0与直袋4:4m-3)x+州y-3=0互相平行,则实数m=1或3 10.圆g,:x2+y2-2x=0和图g2:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B,则有() A.公共弦AB所在直线的方程为x-y=0 B.线段AB中垂线方程为x+y-1=0 C.公共弦铅的长为号 D.P为圆2上一动点,则P到直线B矩离的最大值为点, 1.在棱长为3的正方体4BCD-A,G2,中,乐=4码,则下列说法正确的是() A.过AF,B,的平面截正方体所符截面图形的周长为2而+3W反 B.1为异面48F内的直线,若4C,与所成角的最小角为8,则如0 分 C.N为正方体ABCD-AB,C,D,内一动点(含达界),总满是AN⊥B,F且IAN=1,则N的轨迹的 长破为湖 D.三凌锥G-低F的外接球衣面积为25 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分, 2.已知一束光线通过点A(-3,2),经直线x+y-1=0反射,如果风射光线道过点B(1,-6),则反 射光线所在直线的一般式方程为 13.若圆锥有三条母线互根垂直,则其轴线与母线夹角的正切值为 14.定义:己知(名,),(x2,乃),若x+=为+片,则称A,B两点兵有性质X.已知点M在 以原点0为圆心,2为半径的圆上,点N(2√互,),若M,N两点其有性质X,则ONI的取值范围 为 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15已知圆C:x2+y2=4,直线1过点4(-2,). (0)当1与图C相切时,求1的方程: (2)已知B是圆C上一动点,点M满足2A =MB,求点M的轨迹方程,并说明点M的轨迹 I6.如图,在三技柱ABC-ABG中,D为BC的中点,BC=DC=2,二面角C~AD-C的平面 C 角∠GDC的大小为60 . (1)证明:ABM平面ADC: (2)证明:CC⊥平面ABC: (3)求点4到平面4DC的距离. 17.设4,B是平面上两个定点,则满足 PA PB =数(中为常数,k≠0且k≠1)的点P的轨迹是 一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故被称为邻阿波罗尼斯圆,简称啊氏 圆.已知A(0,2),B(0,-),且k=2,此时,点P的航迹记为圆C. (I)求圆C的方程: (2)若宜线(22+1)x+(2-)y+1-3元=0. ()证明:直线/恒过定点: (i)若点M在圆C上,直线1与圆C交于E,F两点,当弦EF的长度最短时,求MEF面积的 最大值。 18.如图,在平面四边形ABCD中,aABC为等腰直角三角形, ACD为正三角形, ∠ABC=90,AB=2,现将aDAC沿AC翻折至 SAC,形成三校锥S-ABC,其中S为动点. (I)证明:AC⊥SB: (2)若SC⊥BC,三校雏S-ABC的各个顶点都在球O的球面上,求球心O到平面SAC的距离; (3)求平面SMC与平面SBC夹角余弦值的放小值. 19.曼哈倾距离是由十九世纪的梦尔曼 闵可夫斯基所创问汇,是一种使用在几何度最空间的几何 学用语,用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和,例如:在平面直角坐标系中,若 A(x,y),B(x,),两点之间的受哈顿距离d(4,B)=名一x+-:在空间直角坐标系中,若 (x,),B(x,,),两点之间的受哈顿距离(A,)=:一+y~+2- (1)已知点4(0,4),B(L,-),求d(AB)的值: (2)已知点P(1,0),点0是直线:y=2x+2上任总一点,求d(P,Q)的最小值: (3)已知在空间直角坐标系中,A(2,2,2),动点P满足d(AP)=1,求动点P围成的几何体的表面 积. 济南历城二中高二上学期第一次学情调研数学答案 一、选择题:1-8 CABCD DAC 2026-10 3.因为向量 =(1-1,3),6=(-1,4,-2),=(1,5x), 若a,6,共面,则存在唯一实数入,4,使得=行+b=(-4,-入+44,3以-2, [元-4=】 =3 则{-1+4H=5,解得{4=2,所以存在唯一的正整数x符合题意.故选B 31-2H=x x=5 6.【详解】由题知AB=AD=A4=2,∠BAD=∠BAA=∠DAA=60 , 又BD=BA+D=D+A-AB, 则8D”=(D+4-=D++A+2而.-2D.-2B, =4+4+4+2 2 2c0s60 -2 2 2c0s60 -2 2 2cos60 =12-4=8,以BD=22. 1.【详解】如图: 依题意得点P,4-),1∈R在直线y=x-1上,点E关于直线. y=-1对称的点E,点公在图+少=关于直线y=x-l对 称的图Q:x-+0+=上,则PA=Ps,设图 x-列+0+=号的圆心为0, 因为PE12lPO-Eo,PFS PO+lFOl, 所以PF-lPE=lPF-PE1≤dPo+FO,D-QPOl-lE0D=PO-lPOl+2s1o,Ol+2=4,当 P,E,F,O,O五点共线,E在线段PO上,O2在线段PF上时“=”成立. 因此,PF-PE的最大值为4. 8.【详解】法一:取底面圆心为O,连接OD,OC,PO,作DE⊥AB,垂足为E,连接CE; 因为D是PA的中点,O为AB的中点,故ODIIPB: 则∠CDO即为直线CD与PB所成角: 设底面半径为r,则oC=,OD=PB=r,OP=V5r: 2 因为DE L AB,OP1B,放D8=号OP=5, 2 2r 由余弦定理可知cos∠CD0=CD+0D'-0C CD .c2 2xCD OD 2r CD2r 由cD=De+E=+cE, 因为C是底面圆周上一动点,故CE∈ 则 c0-层产+ced.代入写0c0罗店 法二: 取AB的中点O,连接OP,O与AB的中点, 由圆锥的垂直关系可知OP垂直于底面,O与AB的中点的连线垂直于直径AB: 故以O为原点,O与B的中点的连线为x轴,OB为y轴建立空间直角坐标系: 因为圆锥的轴截面PAB是梦边三角形,设AB=2,则OP=√5: 故4a-o.Paa同j.8euo.o0-号} 设C(cos0,sin6,0): 则m-ak-同).而-cos8方na} 3 则osP丽,C⑦= PB.CD -sin0- -2-sin0 -√2+sin0 2 V2+sin0 2 则直线CD与PB所破角的余弦值为os吸.网=2+nd 因为8eR,则sin8e-l,, 9.AC【详解】对于A,由mx-y+1-m=0=m(x-)-(y-l),显然x=l时,y=1恒成立, 即该直线恒过定点(1,),故A正确:对于B,若截矩均为0,则该直线为y=2x: 若酸距不为0,可设该直线方程为兰+上=1,代入点P(,2列可得上_2=1=-」 a-a aa 0 即a=-1,∴,x-y+1=0,故B错误:对于C由两直线平行可知3洲=4 6,“m=8,此时方程 6x+y-12=0可化为3江+4y-6=0,故两直线距离为d上-1.故C正跳 V32+4 m2=4m-3 m=1或m=3 对于D,因为4/2,所以 -3m+(4m-3到20 m*3,所以册=1.放D错误 10.【答案】ABD11.【答案】ABD 【详解】以D为原点,DA,DC,DD分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,那么 D0.0.0),43,0,0),F(2,0,3),B(3,3,3,C(0,3,3).A孤=(0,3,3.AF=(-1,0.3),AC=(-3,33) 对于A:平面AFB截正方体所得截面为aAFB,aAFB的周长为 AF+A8+B,F=VAM4+4F+V4+4B+V4B+4F2=20+3N2,故A正确: 对于B:1为平面A8F内的直线,AC与l所成角的最小角0为:直线AC,与直线AC在平面AB,F内 射影所成角即直线AC与平面ABF所成角, 设平面AB,F法向量为n=(x,y,z),则 n A8=0∫3y+3z=0∫y=-2 n.AF=0-x+3z=0x=3z1 取z=1,则n=(3,-1,1)为平面ABF的一个法向量, sin0=kos元4网= -9-3+3 33 9+1+1 9+9+911 故B正确: 对于C:作AG⊥BF交CD于点G,由于AM⊥BF,AM∩4G=A, 所以,BF⊥平面AMG,又N为正方体ABCD-ARC,D内一动点(含边界),总满足ANLBF, 所以,点N在 MAG内运动(含边界),又|4N上1, 所以,点N的轨迹为以A为球心,半径为1的球与 4G的公共部分弧, 由于4上4G,所以,颈长为,故C错误: 对于D:设三棱推C-ABP的外接球心O(a,b,c),由于B,C⊥平面MBB,ABc平面AMBB,所以 B,G1B,所以, B,G为直角三角形,设线段4C中点为M,则M(号22, ,333、 3-+3-司=0 [h+c=3 那么 OM.AB=0 3,由OA=OF可 OM.B.C=0 a= 2 3 d= V3-a+62+c=v2-a+62+3-cy 2 得b+c=3 b= 6 3 2 C=- 6 所以, o若3,球半径R=043-得旧=a-空,敢0正确 12【答案】5x+y+1=0 的 13.【答案】√反【详解】如图所示: 24 记三条母线为OA,OB,OC,不妨设OA=OB=OC=1,则aABC为等边三角 卷,,a0,.B0L,o,c00,0.记aABc的中心为G,则cG5号》 得点 G G为圆锥底面圆的圆心,则OG⊥圆锥底而,得圆锥的轴线所在的向量为 母线所在的向量为OA-(1,0,0), 记医维的轴线与母线夹角为0.则0-m(反,O列- 0G.0A 3 6 得s0=-c0s26 6 3 2 则tan0=in0」 3 3 14.【答案】[22,2W10)【解析】设M(2cos8,2sin),日∈[0,2r],则2cos0+t=2sin0+22, 则1=2s0-2cos0+25=25sm0-}25,则/e04w,故1oN5+Fa2反.2i网- 15.【详解】(1)已知圆C的圆心是0(0,0),半径是2, 当直线【的斜路不存在时,直线!的方程为x=-2,符合题意;(2分) 当直线1的斜率存在时,设直线的方程为y-I=k(x+2),即-y+2k+1=0, 2+ 则圆心0到直线1的距离为 =2,解得k=三,故直线1的方程为3x-4y+10=0,(5分) 综上,直线1的方程为x=-2或3x-4y+10=0.(6分) x+2=多+2 (2)设点M.B6,为,则由点M满足2诚=M得m=3B即 3 少1=龙1 3 所以 %=3y-20.图为点B在圆C上运动,所以6+g=4@, =3x+4 将0代入②得(3x+4)2+(3y-2)=4,(11分) 化商周发山的方程是(+(一-引)-号 所以点M的迹为以N一)为盟心,子为半径的圆13分) 16.【答案】(I)如图,连接AC与4C交于点O,莲接OD,由三棱柱性质得O为AC的中点,又因为 D为BC的中点,所以ODI4B.又因为AB文平面ADC,ODc平面ADC, 所以AB∥平面ADC.(4分) (2)因为∠C,DC是二面角C-AD-C的平面角,所以AD⊥DC,AD⊥DC.又 因为DC∩DC=D,DC,DCc平面CCD,所以AD⊥平面DCC. 又因为CC,c平面DCC,所以AD⊥CC.在 CDC中,CD=2, CD=号C=1,∠CDC=60,由余弦定理得CG=2+P-2x2x1x=3.所以CD2+CC=CD, 得CD⊥CC.又因为ADOCD=D,AD,CDc平面ABC,所以CC⊥平面ABC.(9分) (3)油(2)知AD⊥DC,CC⊥平面ABC,CC=V5,如图,以D为原点,建立空间直角坐标系. 而CD=BD=1,则D(0,0,0),B(01,0),C(0,-l,0),G(0,-l,5),设A(a0,0(a>0,则 4(a0,月.所以Da=(a0,0).DC=(0,-l5): i.Da=m 0 设平面ADC的法向量为元=(x,y,),所以 i DC=-y+5z=0 令z=1,得i=(0,5,小,又因为=(0,0,),(13分) 所以点A到平面ADC的距离为 :网5 .(15分) 同2 17【件】0设%小.奥由骑-期-0 =2, (x-0+(y+1) 整理得x2+y2+4y=0,即圆C的方程为x2+y2+4y=0.(4分 (2)(i)由直线1:(2+1)x+(2-)y+1-32=0,可得 (x+2y+)+2(2x-y-3)=0, 所以直线1恒过直线x+2y+1=0与直线2x-y-3=0的交点, [x+2y+1=0 由 2x-y-3=0解得 化即直锁福过定点-:了分) (i)由(1)圆C的方程为x2+y2+4y=0,即x2+(y+2)=4,圆心C(0,-2),半径r=2. 设直线1恒过的定点(L,-)为N,则当CW⊥I时,弦EF最短, 由k=2=1,所以直线的斜率为-1方程为y- =-k-功,即+y=0《10分) 1-0 此时圆心C到直线1的距腐d=0-=反,弦长=2尸-=2V4=2=22.(12分) 又点M到直线/的最大距离为d+r=2+2,(14分) 所以(.r=r(+r月=x25 5+2小-2+22(15分) I8.【详解】(1)取AC的中点E,连接SE,BE, 因为AB=BC,SA=SC,且AC的中点为E,所以SE⊥AC,BE⊥AC 又SEBE=E,SE,BEc平面SBE,枚AC⊥平面SBE,由于SBc平面 SBE,故AC⊥SB.(4分) (2)当SC⊥BC时,.由 CBS=aABS,则SA⊥BA; 取BS的中点O,连接OA,OC,故O到A,B,C,S四点的距离相等, 故O为三棱锥S一ABC外接球的球心, 因为B=BC=2,4S=CS=22,故SE √6,SB=25,EB=V反, 设$到平面ABC的距离为片,B到平面SAC的距离为, 由等体积法可得%e-s 式rXM=片故场,而c0s∠8B= 3 由于∠SB(0,,故如∠S8=后,所以A=S8xm(k-∠SE8)=V6x写 2, 从而免 25,救0到平面5C的距离为5.(9分) 3 (3)以B为原点,BC,BA,BZ分别为x,y2轴建立空间直角坐标系B-2, 过点S作平面ABC的垂线,垂足为Q, 设∠SE0=日为翻折过程中所旋转的角度,则QE=V6cos0h=S2=6sin0,OB=互+V6cs0, 故B(0,0,0).C(2,0,0,A(02,0),2l+5cosa,1+5cos8,0,S+5cos0,1+V3cosa,6sin0, 则8C=(亿,0,0.B函=+5cos0,1+5cos8,6sim0),(11分) 设平面SBC的法向量为分=(名,),则 m.BC=2x=0 BS=(1+3cos0+(1+3cos0+(sing)z=0 取y=√6im0,云=-(+3os0,m=(0,W6sin0,-1-5cos0),(12分) 设平面5Mc的法向量i=(32,马h.C西=(1+5cos8,1+5cos8W6sin0),4C-(2,-2,0), 元-AC=2x2-2y2=0 n.否-(-1+3cos0)5+(5cosg+y+(W6sino4,=0 取元.=in8,则h=sin8∴i=(sin8,sin0,-v2co9p),.(13分) 设平面SBC与平面SMC的夹角为a, V2小5+co80 故osa-ko(m,=同同万-30or0+2万co0xv5 cos28+2V3co90+3 V7-300s20+2v3cos6 1.8 3c0s0+2 cosa= ,(15分) 337-3c0s20+25cos0 18 令5cos0+2=1,2-5<1<2+5,故osa= 33 由于12故0 18 6-+ 行了当且仅当1=1,即es0=-5时取等号, 3 故平面S4C与平面8C夹角余弦值的最小值为5,此时c0s日=-5.(17分) 3 19.【详解】(1)由题意可得d〔4,B)=l-0+1-4=6,所以(4,B)=6.(3分) (2)因为动点(xy)为直线1上一点,则y=2x+2,所以d(P,2)=-1+2x+2斗, 3x+1x21 即d〔P,2)=x+3,-1<x<l,当x21时,d(P,2)24:当-1<x<1时,2<dP2)<4: -3x-1,xs-1. 当x≤-1时,d(P)22.综上,当x=-1时,d(P,2)的最小值为2.(9分) (3)动点P围成的几何体为八面体,每个面均为边长为互的等边三角形, 其表面积为8x宁x5x万x号-48.(1分) 证明如下:不妨将A平移到'(0,0,0)处,设P(x,2),若d4,P)=1,则时++以=1.(13分) 当x,y,z≥0时,即x+y+z=1(0≤x,yz≤),设M(L,0,0),M2(01,0),M(0,0,1), 则M,P=(x-山y,z)=(-y-乙,z)=yMM2+zMM,所以P,M,M2,M四点共面, 所以当xy,z20时,P在边长为√2的等边三角形MMM,内部(含边界). 同理可知等边三角形内部任意一点(x,y,),均满足x+少+2=1, 所以满足方程x+y+z=(0≤x,y,2≤1)的点P,构成的图形是边长为√反的等边三角形内部(含边界) 由对称性可知,P围成的图形为八面体,每个面均为边长为√2的等边三角形, 故该几何体表面积S=8 5xW2Y=45.(17分) 4