5.1.3 数据的直观表示知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

5.1.3 数据的直观表示　知识清单 人教B版（2019）　必修第二册　第五章 同一批数，画成图就一眼看懂了 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习目标 ① 能说出柱形图、折线图、扇形图、茎叶图各自适合表示什么； ② 会根据数据的特点，选择合适的统计图把数据画出来； ③ 会读频率分布直方图，知道纵轴取频率与组距的比、小矩形面积等于对应频率、面积之和为 1； ④ 掌握画频率分布直方图的四个步骤，会列频率分布表； ⑤ 理解频率分布折线图与直方图的关系。 重点 四种常用统计图的作用；频率分布直方图的画法与读法（纵轴取频率与组距的比、面积即频率）。 难点 为什么频率分布直方图的纵轴取频率与组距的比而不是频率本身；怎样由直方图估计数据的分布特征。 二、为什么要「直观表示」：一图胜千言 前面用平均数、中位数、方差等数字特征去概括一批数据，它们只给出几个「结论式的数」，却看不出数据的整体形状。例如两批数据的平均数、方差都相同，画出来却可能一个中间高、两边低，另一个两头高、中间低。要把数据「长什么样」直接呈现出来，就要用到统计图，也就是数据的直观表示。 统计图的好处是「一眼看懂」：谁多谁少、随时间怎么变、各部分占多大比例、数据集中在哪里，都能从图上直接读出来。本节先介绍四种最常用的统计图，再重点讲频率分布直方图的画法与读法。 三、四种常用统计图一览 统计图 主要作用 能否保留原始数据 柱形图（条形图） 比较各类别数据的多少 不能，只看到各类的总数 折线图 表示数据随顺序（多为时间）的变化趋势 不能，只看到各点的值 扇形图（饼图） 表示各部分在全部数据中所占的比例 不能，只看到比例 茎叶图 既保留原始数据，又能看出分布（最值、中位数） 能，数据一个不丢 下面逐个来看。柱形图、折线图、扇形图都以「类别」或「时间」为横轴、以「数量」或「比例」为纵轴；茎叶图则把数据本身按位拆开排列，信息量最大。 四、柱形图（条形图）：比较多少 柱形图用一个个「柱子」的高度表示各类数据的数量。横轴放各个类别（如运动项目、科目、地区），纵轴放对应的数量。哪根柱子高，哪一类就多；柱子矮，这一类就少。 图 1　柱形图（条形图）：比较各类别数据的多少（某班 50 名同学最喜爱的球类运动） 从图 1 可以直接读出：乒乓球 15 人最多，篮球 12 人次之，足球 9 人、羽毛球 8 人，排球 6 人最少。柱形图的优点是「比较」特别直观，缺点是只能看到各类的总数，看不到数据内部的分布。 画柱形图时要注意：同一幅图里柱子的宽度要相同、间隔要均匀；纵轴一般从 0 开始，否则会把差距夸大，造成误导。 五、折线图：看变化趋势 把每个数据点按横轴顺序用线段依次连接起来，就得到折线图。折线图最适合表示数据随时间的连续变化——线段往上走表示增加，往下走表示减少，走势平缓表示变化不大。 图 2　折线图：表示数据的变化趋势（某商场 1—6 月月销售额） 从图 2 可见，销售额从 1 月的 12 万元一路升到 5 月的 22 万元，整体呈上升趋势，6 月回落到 20 万元。折线图擅长表现「趋势」和「拐点」，但每个点只代表一个数值，不反映这一时期内部分布是否均匀。 六、扇形图（饼图）：看各部分占多大比例 把一个圆按各部分所占的比例分成若干个扇形，就得到扇形图。整个圆代表全部数据（100%），每个扇形的圆心角与它所占的百分比成正比，所以扇形图特别适合表示「部分与整体」的关系。 图 3　扇形图（饼图）：表示各部分在全部数据中所占的比例（某家庭月支出构成） 从图 3 可见，食品占 30%、教育占 25%、居住占 20%、交通占 15%、其他占 10%，合计 100%，其中食品占比最大。扇形图看比例一目了然，但它不适合类别太多的情况，也无法比较两个总量不同的整体。 七、柱形图、折线图、扇形图怎么选 要看什么 选哪种图 理由 各类别谁多谁少 柱形图（条形图） 用高度直接比大小 随时间怎样变化 折线图 用走势表现增减与拐点 各部分占整体的比例 扇形图（饼图） 用扇形大小表示百分比 一句话记：比多少用柱形图，看变化用折线图，看比例用扇形图。这三种图都会「压缩」数据，只保留汇总后的结果，原始数据一旦画成图，就读不回来了。 八、茎叶图：把数据按位拆开，一个不丢 茎叶图把每个数据拆成「茎」和「叶」两部分：高位（如十位）排成一列当作茎，低位（如个位）写在茎的右边当作叶。同一茎上的叶按从小到大排好，就形成一张像树枝一样的分组表。 图 4　茎叶图：保留原始数据，又能看出分布（茎为十位、叶为个位） 这张茎叶图（图 4）对应 12 名同学体重（kg）：茎 5 的叶子 2、3、5、7 表示 52、53、55、57，茎 6 表示 61、62、64、66，茎 7 表示 70、72、73、75。从图上能直接读出最小值 52、最大值 75，也能看出数据集中在 50 到 70 之间。 茎叶图最大的好处是保留原始数据——每个数字都没被丢掉，既能像直方图那样看分布，又能随时找回具体数值，数据不多时尤其方便。它的缺点是不适合数据量很大的情况，位数太多时也不便绘制。 九、频数分布直方图与频率分布直方图 当数据很多、又分成若干组时，用直方图表示最清楚。把数据分组后，每一组用一个矩形表示：矩形的宽等于组距，矩形的高与这一组的数量（频数）或频率有关。按高表示什么，分两种： ① 频数分布直方图：矩形的高直接表示这一组的频数； ② 频率分布直方图：纵轴取「频率与组距的比」，矩形的高表示频率与组距的比值，而不是频率本身。 为什么要取「频率与组距的比」？因为分组时各组组距往往相同，高与频率成正比，比较高度就等于比较频率；更关键的是，这样取之后，每个小矩形的面积恰好等于该组的频率：面积 =（频率与组距的比）× 组距 = 频率。 若用 表示某一组的频数，用 表示数据总个数（样本容量），则该组的频率为 。各组的频率之和为 1，所以所有小矩形的面积之和也等于 1。 十、画频率分布直方图的四个步骤 以课本 74 页的例 1 为例：45 任美国总统就任时的年龄（单位：岁）如下。 57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，47，70 这 45 个数据挤在一起，看不出门道。按下面四步画直方图。 第一步　求极差 找最大值与最小值：最大值 70，最小值 42，极差 ，即年龄的跨度是 28 岁。 第二步　决定组距和组数 组距取 4 岁（一般取整齐的数），组数 ，正好分成 7 组；再验算 ，恰好覆盖 42 到 70 的全部范围（跨度 28 岁），组距与组数都比较合适。 第三步　分组并统计频数 把数据分成 [42, 46)、[46, 50)、…、[66, 70] 共 7 组，一般「左闭右开」，即含左端点、不含右端点，最后一组含右端点。逐个数数，得到各组的频数。 第四步　算频率、画直方图 用各组的频数除以 45 得到频率，再把「频率与组距的比」作为纵轴的高度，画出 7 个矩形。结果如下表，画出的直方图与折线图见图 5。 分组 频数 频率 [42, 46) 2 0.0444 [46, 50) 7 0.1556 [50, 54) 8 0.1778 [54, 58) 16 0.3556 [58, 62) 5 0.1111 [62, 66) 4 0.0889 [66, 70] 3 0.0667 合计 45 1.0000 由表可见，[54, 58) 一组的频数最大（16 人），是年龄最集中的一段；50 岁到 58 岁两组合计 24 人，约占 24÷45≈53%；再加上 58 到 60 岁这一段，比例就接近六成了，这正是教材「近六成的总统就任年龄在 50 到 60 岁之间」的由来。 图 5　频率分布直方图与频率折线图（例1 美国总统就任年龄，组距 4） 十一、频率分布折线图：把直方图「连」起来 在图 5 中，把每个小矩形上边中点用线段依次连接起来，就得到频率分布折线图（图中的红色折线）。折线图能更清楚地看出分布的形状和走向，也便于把两组数据的分布画在一起比较。 折线的两端要延伸到横轴：左端延伸到第一组左边界的下方，右端延伸到最后一组右边界的下方。这两个交点只是为了把图形「封口」，它们所在的位置并没有实际数据，读数时不要把它们当成真实的数据点。 需要强调：直方图与折线图都压缩了数据——它们只保留每组的频数或频率，原始数据的具体取值已经丢失，无法从图上还原。但它们能清楚显示数据集中在哪里、分布是否对称、有没有异常的高峰。 十二、直方图能读出什么、读不出什么 能读出 读不出 数据集中在哪一组（最高的矩形） 每个数据的具体数值 大致的分布形状（单峰、双峰、对称、偏斜） 原始数据，画成图后无法还原 各组的频率、累计频率 组内数据的具体分布 估计中位数、平均数、众数所在的范围 精确的个别值 十三、典型例题 例 2　读频率分布直方图 为了解居民对某项服务的满意度，随机调查了 60 位路人，按分数分成 [40, 50)、[50, 60)、[60, 70)、[70, 80)、[80, 90)、[90, 100] 六组。画出的频率分布直方图中，后四组的「频率与组距的比」依次为 0.015、0.030、0.025、0.005，并已知低于 50 分的频率为 0.10。求： (1) 低于 50 分的人数； (2) 60 分及以上的频率（用百分数表示）。 解：(1) 低于 50 分的频率是 0.10，人数 = 样本容量 × 频率 = （人）。 (2) 后四组的组距都是 10，频率 = 频率与组距的比 × 组距，故 即 60 分及以上的频率为 0.75，也就是 75%。 把六组的频率补齐，可列成下表（[50, 60) 一组由 1 减去其余各组得到）： 分组 频率÷组距 频率 [40, 50) 0.010 0.10 [50, 60) 0.015 0.15 [60, 70) 0.015 0.15 [70, 80) 0.030 0.30 [80, 90) 0.025 0.25 [90, 100] 0.005 0.05 验证六组频率之和：。从表中可见，[70, 80) 一组频率最大（0.30），说明满意度集中在 70 到 80 分，与直方图面积之和为 1 一致。 例 3　由茎叶图读信息 某小组 12 名同学的体重（kg）的茎叶图如下（茎为十位，叶为个位）： 茎 5：2、3、5、7；茎 6：1、2、4、6；茎 7：0、2、3、5。 求这组数据的最大值、最小值、极差、中位数，并说明有没有众数。 解：把三行叶子依次读出，得到 52、53、55、57、61、62、64、66、70、72、73、75 共 12 个数。 最大值 75，最小值 52，极差 。 12 个数已按从小到大排好，中位数取第 6 个与第 7 个的平均数：。 12 个数各不相同，没有任何一个数出现两次以上，所以这组数据没有众数。 例 4　选择合适的统计图 下列情境分别适合用什么统计图？ (1) 某班同学最喜爱的四类课外活动的人数； (2) 某市近 10 年常住人口的变化； (3) 一个家庭每月各项支出占总支出的比例； (4) 某小组 20 名同学的数学成绩，要保留原始数据并看分布。 解：(1) 比较各类人数多少，用柱形图； (2) 看逐年变化，用折线图； (3) 看各部分占整体的比例，用扇形图； (4) 要保留原始数据又看分布，用茎叶图。 十四、易错警示 易错点 错在哪里 正确做法 矩形高当频率 把高直接当成频率 纵轴是频率与组距的比， 面积才是该组的频率 面积忘乘组距 用高当面积，漏乘组距 面积 =（频率÷组距）× 组距 端点重复计数 相邻两组都含端点 左闭右开，最后一组含右端点 直方图能还原数据 想由直方图反推原值 数据被压缩，无法还原原始数值 折线端点当数据 以为两端交点也有数据 两端交点是延长所得， 没有实际意义 百分比之和不等于 1 各部分比例算错 频率之和应为 1，即 100% 纵轴不从 0 起 断轴把差距夸大 纵轴一般从 0 开始，否则易误导 十五、巩固练习 1. 某班 5 个小组的人数分别为 8、9、10、7、11，用柱形图表示时，哪一组的柱子最高？ 2. 折线图最适合表示数据的什么特征？ 3. 一个扇形图中某部分占 25%，它对应的圆心角是多少度？ 4. 一批数据共 50 个，某组的频数为 10，则该组的频率是多少？ 5. 频率分布直方图中，纵轴表示什么？小矩形的面积表示什么？ 6. 频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和等于多少？ 7. 某组的组距为 5，频率与组距的比为 0.04，该组的频率是多少？ 8. 画频率分布直方图的四个步骤是什么？ 9. 数据 12、15、9、20、18 的极差是多少？若组距取 3，至少分几组？ 10. 茎叶图相比柱形图、折线图、扇形图，最大的优点是什么？ 11. 茎叶图 3：1、2、4；4：0、3；5：2，这组数据共有几个？最小、最大各是多少？ 12. 频率分布折线图是怎样由直方图得到的？两端为什么要延伸到横轴？ 13. 从频率分布直方图能否确定每个数据的具体数值？为什么？ 14. 判断：扇形图适合比较两个总量不同的整体。对不对？ 15. 某组 [10, 20) 的频率为 0.2，组距为 10，求该组频率与组距的比。 十六、参考答案 1. 第 5 组（11 人）的柱子最高。 2. 变化趋势（随时间的增减与拐点）。 3. ，即圆心角为 90 度。 4. ，频率为 0.2。 5. 纵轴表示频率与组距的比，小矩形的面积表示该组的频率。 6. 等于 1（即 100%）。 7. ，频率为 0.2。 8. ①求极差；②决定组距与组数；③分组并统计频数；④算频率、画直方图。 9. 极差 ；，至少分 4 组。 10. 能保留原始数据，信息不丢失。 11. 共 6 个；最小 31，最大 52。 12. 连接各矩形上边的中点得到；两端延伸到横轴是为了封口，交点没有实际意义。 13. 不能；直方图只保留各组的频率，原始数据已被压缩，无法还原。 14. 不对；扇形图看的是各部分占各自整体的比例，不能比较两个总量不同的整体。 15. ，即频率与组距的比为 0.02。 十七、方法归纳 任务 方法 一句话 比较各类多少 柱形图 比高度 看随时间变化 折线图 看走势 看部分占整体 扇形图 看扇形大小 保留原始数据看分布 茎叶图 茎叶拆位，一位不丢 看整体分布 频率分布直方图 纵轴取频率与组距的比，面积即频率 看分布趋势 频率分布折线图 连各矩形上边中点，成折线 十八、本节三句话 ① 想比较多少用柱形图、看变化用折线图、看比例用扇形图、保留原始数据看分布用茎叶图——四种图各有各的用处。 ② 频率分布直方图的纵轴取频率与组距的比，小矩形面积等于对应频率，所有面积之和为 1；画图四步：求极差、定组距与组数、分组统计、算频率画图。 ③ 频率分布折线图由连接各矩形上边中点得到，两端延伸到横轴只是为了封口，交点没有实际意义；直方图压缩了数据，能看分布，不能还原原始数据。 本节边界：本节解决「怎样把一批数据画成图、又怎样从图里读信息」；至于怎样由样本的图去推断总体的规律、以及更复杂的统计图，留到后面章节，本节不作要求。 学科网（北京）股份有限公司 $