5.1.4 用样本估计总体-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第二册人教B版 5.1.4用样 学习目标 1.会利用样本的众数、中位数、平均 数、方差估计总体的众数、中位数、平均 数、方差 2.能通过样本的频率分布表或频率分布 直方图对数据作出总体估计. 3.通过样本和总体的关系，体会部分和 整体的辩证统一的关系，体会统计在生产和 生活中的应用. 要点精析 要点1用样本的数字特征估计总体的 数字特征 众数、中位数、平均数与频率分布表、 频率分布直方图的关系： (1)众数：众数一般用频率分布表中频 率最高的一小组的组中值来表示，即在样本 数据的频率分布直方图中，最高矩形的底边 中点的横坐标。 (2)中位数：在频率分布表中，中位数 是累计频率（样本数据小于某一数值的频率 称为该数值点的累计频率)为0.5时所对应 的样本数据的值，而在样本中有50%的个体 小于或等于中位数，也有50%的个体大于或 等于中位数.因此在频率分布直方图中，中 位数左边和右边的直方图的面积应该相等. (3)平均数：平均数在频率分布直方图 中等于每个小矩形底边中点的横坐标与小矩 形的面积的乘积之和， 44)学 本估计总体 思考如何根据频率分布直方图求样 本中位数？ 例1某校从参加高二年级学业水平测 试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均 为整数)的频率分布直方图如图5-1-7所示. 频率 组距 0.030上 0.025 0.020 0.015 0.005 405060708090100分数 图5-1-7 (1)求这次测试数学成绩的众数； (2)求这次测试数学成绩的中位数； (3)求这次测试数学成绩的平均分； (4)试估计80分以上的学生人数. 分析本题利用频率分布直方图估计 总体的数字特征 B变式训练① 为增进全体党员干部职工对党史的了 解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以 支部为单位参加比赛.现将50名党员的成绩 绘制成频率分布直方图如图5-1-8，根据图 中数据回答下列问题： 频率 组距 0.030F 0.024 0.016 889:1 405060708090100成绩/分 图5-1-8 (1)求a的值： (2)求这50名党员成绩的众数、中位 数及平均数； (3)试估计此样本数据的第90百分位数. 川要点2用样本的分布估计总体的分布！ (1)用分层抽样下样本的数字特征估计 总体的数字特征： 以分两层抽样的情况为例.假设第一层 抽取m个数，分别为x1,x2,…,xm,平均 数为x,方差为s2;第二层抽取n个数，分 别为y1,2,…,y,平均数为y,方差为只 第五章统计与概率。 如果记样本均值为a,样本方差为b2,则可 以计算出： a1/ 2+∑ mx+ny mtn i mtn b2=ms2+(x-a)2]+n[+(y-a)21] m+n =1(ms2+nt2)+m(x-y）)2. mtn l m+n (2)样本分布与总体分布的关系： ①在简单随机抽样中，我们常用样本分 布特征去估计总体分布特征. ②一般情况下，如果样本的容量恰当， 抽样方法又合理的话，样本的特征能够反映 总体的特征.特别地，样本平均数（也称为 样本均值)、方差（也称为样本方差）与总 体对应的值相差不会太大 思考能否举出一个生活中“用样本 估计总体”的具体事例？ 例2考查某中学的学生身高时，采用 分层抽样的方法，得到了男生身高的平均数 为170，方差为16：女生身高的平均数为 165,方差为25.如果知道抽取的样本中， 男生有20人，女生有15人，估计总体的平 均数与方差 分析本题利用分层抽样下样本的数 字特征估计总体的数字特征公式即可计算. 学(45 N 高中数学必修第二册人教B版 仔变式训练2 在一次文艺比赛中，8名专业人士和12 名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选 手打分.在给某选手的打分中，专业人士打 分的平均数和标准差分别为47.4和3.7，观 众代表打分的平均数和标准差分别为56.2 和11.8，试根据这些数据计算这名选手得分 的平均数和标准差. 例3某市2025年4月1日至30日对 空气污染指数的监测数据如下（主要污染物 为可吸入颗粒物)： 617670568191929175 81886710110395917786 81838282647986857571 4945 (46)学 N (1)完成频率分布表。 (2)作出频率分布直方图. (3)根据国家标准，污染指数在0~50 之间时，空气质量为优；在51~100之间时， 空气质量为良；在101~150之间时，空气质 量为轻微污染；在151~200之间时，空气质 量为轻度污染.请你依据所给数据和上述标 准，对该市的空气质量作出一个简短评价， 分析列出频率分布表，进而画出频 率分布直方图，通过直方图对本月污染天 数进行估计 变式训练3 抽样调查30个家庭某月的水电费用， 得到如下数据（单位：元）： 404444556430380420500 430420384420 404424340 424412388472358476376 396428444366436364438 330426 (1)取组距为60，起点为320，列出样 本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图： (3)估计该月水电费用在[440,560] 内的家庭所占的百分比， 第五章统计与概率。 反思感悟 1.样本平均数与总体平均数的关系： (1)在简单随机抽样中，我们常用样 本平均数y去估计总体平均数Y (2)一般地，大部分样本平均数离总 体平均数不远，在总体平均数附近波动.样 本量越大，波动幅度越小 2.计算样本平均数、样本方差直接利 用公式，在按比例分配分层随机抽样中， 我们可以用样本平均数和样本方差估计总 体平均数和总体方差 3.众数、中位数分别是频率分布直方 图中最高的小矩形的中间值、累计频率为 0.5时所对应的样本数据的值，平均数为每 个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面 积的乘积之和 数学文化 例解放战争中，国民党军队拥有过多 辆各型坦克，编成了1个装甲兵团（师级编 制).我军为了知道这个装甲兵团的各型坦克 的数量，采用了两种方法：一种是传统的情 报收集，一种是用统计学的方法进行估计. 统计学的方法最后被证实比传统的情报收集 更精确.这个装甲兵团对各型坦克从1开始 进行了连续编号，在解放战争期间，我军把 缴获的这些坦克的编号进行记录，并计算出 这些编号的平均值为112.5，假设缴获的坦 克代表了所有坦克的一个随机样本，则利用 你所学过的统计知识估计这个装甲兵团的各 型坦克的数量为 分析本题考查用样本估计总体. 学(3)这20名工人年龄的平均数x=(19+28x3+29x3+ 30x5+31×4+32x3+40)÷20=30. s20×[(30-19P+3x(30-2843x30-29245x(30- 30)2+4×(30-31)2+3×(30-32)24(30-40)2]=12.6. 例4D【解析】在频率分布直方图中，中位数是频率 为0.5的分界点的横坐标，由频率分布直方图可知前2 组的频率和为(0.02+0.06)×5=0.4，因此中位数出现在第 3组.设中位数为x,则(x-25)×0.08=0.1,=26.25,∴A 正确；众数是指样本中出现频率最高的数，在频率分布 直方图中通常取纵坐标最高的一组区间的中点，.众数 为25+30-27.5，B正确；仰卧起坐次数超过30次的频 率为0.04×5-0.2，.频数为1600×0.2=320（人），.C正 确；仰卧起坐的次数少于20次的人数约有0.02x5x1600= 160(人)，.D错误.故选D 变式训练3 解：(1)样本容量是10÷0.1=100. (2)①50②0.10所补频率分布直方图如图中阴 影部分所示. 频率 组距 0.1 0.06 0.02- 510152025购票用时/min 变式训练3答图 100×(0x04 (3)设旅客平均购票用时为tmin,则有， 5×10+10×10+15×50+20×30)≤t< 100×(5x0+10x10+15× 10+20×50+25×30),即15≤t<20,.旅客购票用时的平 均数可能落在第四组 数学文化 解：(1)该市一天的空气质量等级为1,2,3,4 的概率估计值如下表： 空气质量等级 1 2 3 概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09 (2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为 参考答案。 0×10x20430x35+50x45)=350. 5.1.4用样本估计总体 要点精析 例1解：(1)由图知众数为70+80=75. 2 (2)设中位数为x,由图知，前三个矩形面积之和 为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3+0.4>0.5，因此中位 数位于第四个矩形内，.0.1=0.03(x-70),x≈73.3. (3)由图知，这次数学成绩的平均分为40+50× 2 0.005x10+50+60x0.015×10+60+70×0.02×10+70+80× 2 2 2 0.03×10+80490x0.025x10490+100x0.005×10=72. 2 2 (4)[80,90)分的频率为0.025×10=0.25，频数为 0.25×80=20;[90,100]分的频率为0.005×10=0.05， 频数为0.05×80=4..估计80分以上的学生人数为20+4= 24. 变式训练1 解：(1)根据频率分布直方图得(0.004+0.006+a+ 0.030+0.024+0.016)×10=1,解得a=0.020. (2)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数， .众数为70+80=75.0.004×10+0.006x10+0.020x10=0.3, 2 ∴.前三个小矩形的面积的和为0.3，而第四个小矩形的 面积为0.030x10=0.3,0.3+0.3=0.6>0.5,..中位数应位于 [70,80)内，中位数=70+0.503x10-=230≈76.7 0.3 3 平均数为45×(0.004×10)+55×(0.006x10)+65×(0.020× 10)+75×(0.030x10)+85×(0.024×10)+95×(0.016x10)=76.2 (3)前5个小组的频率之和是(0.004+0.006+0.020+ 0.030+0.024)×10=0.84,.第90百分位数在第六小组 [0,10]内，为009284x10-5-9875 4 例2解：代入公式可以算出，总体的平均数可以估计 为167.86，总体的方差可以估计为25.98. 变式训练2 解：把专业人士打分样本记为x,x2,…,x8,其平 均数记为元，方差记为；把观众代表打分样本记为， y2,…,y,其平均数为y,方差记为s;把总体数据的 平均数记为云，方差记为s2 39 高中数学必修第二册人教B版 则总休的平均数为员x474+号562-5268（分）。 20 总体的方差为2=1 20 (x-z)2]+12[s+y-z)2]} 20×8x[3.74(474-5268]+12x [11.82+(56.2-52.68)2]}=107.6,总体的标准差s≈10.37. .这名选手得分的平均数为52.68分，标准差约为 10.37. 例3解：(1)频率分布表 分组 频数 频率 分组 频数 频率 [41,51) 2 30 [81,91) 10 10 30 [51,61) 1 0 [91,101) 5 [61,71) 4 「101,1111 2 2 30 30 [71,81) 6 6 (2)频率分布直方图 4频率 1 30 组距 60 0 A 415161718191101111空气污染指数 例3答图 (3)答对下述两条中的一条即可：①该市一个月中 空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的5： 有26天处于良的水平，占当月天数的号：处于优或良 的天数共有28天，占当月天数的普说明该市空气质量 基本良好.②该市一个月中空气质量为轻微污染的有2 天，占当月天数的5污染指数在80以上的接近轻微污 染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17 天，占当月天数的只，超过50%.说明该市空气质量有 30” 待进一步改善 变式训练3 解：(1)由题中数据可得，频率分布表如下： 40 分组 频数 频率 [320,380) 6 0.20 [380,440) 18 0.60 [440,500) 4 0.13 [500,560] 0.07 合计 30 1.00 (2)频率分布直方图如图： 频率 组距 0.01 0.0033 88▣ 0.0022F 320380440500560月水电费用/元 变式训练3答图 (3)该月水电费用在[440,560]内的家庭所占的 百分比为0.13+0.07=0.2=20%. 数学文化 24【解析】由题意，得1+24机1125，解得m=224 n >m5.2概 率 5.2.1样本空间与事件 要点精析 例1解：(1)掷一个质地均匀的骰子，其点数有可能 出现16，点数是不能确定的，因此是随机现象 (2)抽出的2个产品中有可能全部是正品，也有可 能是1个正品1个次品，还有可能是2个次品，故是随 机现象 变式训练1 解：由题意知①中事件可能发生，也可能不发生， 所以是随机事件；②中事件一定会发生，是必然事件； 由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之 和最小是2，不可能小于2，所以③中事件不可能发生， 是不可能事件 例2D【解析】三个球分为两组，有两种情况，1+2和 3+0,.①是正确的命题：任意实数x都有x≥0，②是 正确的命题；“明天全天要下雨”是随机事件，.③是