4.5 增长速度的比较 知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

4.5 增长速度的比较　知识清单 人教B版（2019）　必修第二册　第四章 用同一个标准，把几类函数的快慢放在一起比较 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 理解平均变化率的意义，会用它刻画一段区间上函数值变化的快慢； ② 会计算具体函数在给定区间上的平均变化率，并能比较大小； ③ 掌握一次函数、指数函数、对数函数、幂函数四类模型的增长特点； ④ 知道自变量足够大时 、、 的大小次序，会根据实际问题的变化方式挑选模型。 重点 平均变化率的计算与比较；四类函数模型的增长特点。 难点 理解「平均变化率越大，函数值增加越快」这句话的范围；体会指数函数先慢后快、终将反超幂函数的过程。 二、情境引入：三种不同的变化 看三个日常现象。 第一个：出租车起步价 8 元，之后每行驶 1 千米收 2 元。行驶 x 千米应付的钱是 。每多走 1 千米，车费总是多 2 元，涨得不快也不慢。 第二个：一个细胞每小时分裂一次，1 个变 2 个，2 个变 4 个，4 个变 8 个。经过 x 小时后细胞个数是 。第 1 小时只多 1 个，第 5 小时却要多出 16 个，越往后越猛。 第三个：背单词，第一天能记住 30 个，第二天再记 20 个，到第十天可能只多记住 2 个。同样的努力，收获却越来越小，这种变化可以用对数函数来近似描述。 三个函数的图象都在上升，可上升的方式完全不同：一个匀速，一个越来越快，一个越来越慢。只说「都在增长」显然不够，要想比较快慢，得有一把能算出来的尺子。这把尺子就是平均变化率。 三、平均变化率的概念 1. 定义 对于函数 ，在它的定义域内取两个不相等的数 、，记 ，　 其中 Δx 称为自变量的改变量，Δy 称为函数值的改变量。把两者相除，就得到函数 在区间 [, ]（或 [, ]）上的平均变化率： 2. 三条要点 ① 分子是函数值的改变量，分母是自变量的改变量，上下必须对应同一个顺序：分子用 减 ，分母就得用 减 ；顺序一颠倒，结果的符号就反了。 ② 分母 Δx 可正可负，但不能为 0。 与 是两个不相等的数，正因为如此，这个比值才有意义。 ③ 分子 Δy 可正可负，也可以为 0，所以平均变化率同样可以是正数、负数或 0：函数值增加时为正，减小时为负，一段区间上不增不减时为 0。 3. 意义 平均变化率的实质是「自变量每增加 1 个单位，函数值平均增加多少个单位」。它把一段区间上的全部变化「摊平」成每单位自变量的平均效果，所以数值越大，说明这一段上函数值变化得越快。 为什么强调「平均」？同样一段区间，函数可能一会儿快一会儿慢。平均变化率只反映整段的平均水平，并不表示区间内每一点都按这个速度变化。比如先慢后快的指数函数，在 [1, 2] 上的平均变化率并不等于它在 x=2 处的变化速度。 四、平均变化率的几何意义 设 A(, )、B(, ) 是函数图象上两个不同的点，过这两点作一条直线。在图上把 A 到 B 的横、纵两个改变量画成直角三角形的两条直角边，就会看到：平均变化率恰好是「竖直边 ÷ 水平边」，也就是这两点连线的陡峭程度。 图 1　平均变化率就是两点连线的陡峭程度 由此得到三条读图结论：连线越陡，平均变化率越大；连线水平（两点等高），平均变化率为 0；连线下降，平均变化率为负。 要注意，这里量的是 A、B 之间这一整段的陡峭程度。同样的两条边，取的点不同，陡峭程度就不同——这正是「同样长的区间，指数函数的后一段总比前一段陡」的原因。 五、用平均变化率比较增长速度 先看教材的例子。取函数 ，在 [1, 2] 上： 在 [2, 3] 上： 两段区间长度相同，后一段的平均变化率却是前一段的 2 倍。换一句话说：左端点的值越大，函数值增加得越快。 用同样的办法再算两个函数，把结果列成下表： 函数 在 [1, 2] 上 在 [2, 3] 上 增长速度 2 4 越来越快 1 1 保持不变 1 ≈0.585 越来越慢 这张表把三类函数的「命运」摆得很清楚：一次函数每一段的平均变化率都一样，是匀速；指数函数一段比一段大，越来越快；对数函数一段比一段小，越来越慢。 还要说明一点：平均变化率的大小是相对区间而言的。同一个函数，换一段区间，平均变化率可能变大也可能变小；两个函数比快慢，必须在同一段区间上比较，否则没有意义。 六、四类函数模型的增长特点 把常用的函数整理成四类模型，它们各自的增长方式如下表： 函数模型 解析式 增长速度 图象特征 典型情境 一次函数模型 （） 保持不变 直线上升，不陡不缓 出租车按里程计费 指数函数模型 （） 越来越快 越来越陡，急剧增大 细胞分裂、复利计息 对数函数模型 （） 越来越慢 越来越平缓 反复练习后提高变慢 幂函数模型 （） 越来越快 越来越陡，后被指数反超 面积随边长增大 指数函数的增长速度常被形容为「爆炸式增长」，看几个数就明白：=1024，≈104.9 万，≈10.7 亿。自变量每增加 10，函数值大约乘 1000 倍。 幂函数 （）也是越来越快，但比指数函数缓和。x 较小时它甚至可能领先，x 足够大之后一定被指数函数反超——这一点下一节用图看清楚。 对数函数的节奏正好相反：x 从 1 增到 2，函数值增加 1；从 2 增到 4，才又增加 1；从 4 增到 8，才再增加 1。自变量要翻一倍，函数值才多 1。 把四类模型放到一起看，可以归纳出一句口诀：「匀速看一次，猛涨看指数，慢涨看对数，居中看幂函数」。 七、三类函数增长的图象对比 先把指数函数、对数函数分别与一次函数放在一起对照，见图 2。两个小图里都画了一条虚线 作参照。 图 2　指数函数与对数函数分别和一次函数对照 左图中，指数曲线一开始还趴在直线下方，x=3 时已经升到 8，而直线才到 3。再往右走，曲线迅速冲出画面——这就是「先慢后快」。右图中，对数曲线起步时还有一点抬升，越往后越贴近横轴上方缓慢爬行，x=8 时才到 3——这就是「先快后慢」。 再把幂函数 也放进来，三条曲线连同直线 画在同一个坐标系中，得到图 3。 图 3　对数函数、一次函数、幂函数与指数函数的增长对比 看图 3，最值得记住的是两个交点。 与 在 (2, 4) 和 (4, 16) 两处相遇： 时 在上方， 时 在上方， 之后 一路领先，越拉越开。而 始终贴在下方，最平缓。 一般的结论是：当 、 时，总存在一个数 ，使得当 时， 也就是说，只要自变量足够大，指数函数的函数值一定最大，幂函数居中，对数函数最小。以 x=10 验算：=1024，=100，≈3.32，确实是 1024>100>3.32。 这条次序反过来告诉我们一件事：拿小范围内观测到的数据去外推，很容易得出相反的结论。x 只取到 3 时， 是 9，反而比 的 8 大；要判断谁最终更快，必须把范围拉大再看。 八、典型例题 例 1　同一个点附近，四个幂函数谁长得快 在 x=1 附近取 ，分别计算 、、、 在 [1, 1.3] 上的平均变化率，并指出哪一个最大。 解：逐个代入平均变化率的式子，依次记作 、、、。 所以 ，平均变化率最大的是 ，最小的是 。 图 4　同一个 Δx 下四个幂函数的平均变化率 四个函数在同一个点附近、取同样长的区间，平均变化率却差了将近 9 倍。规律很清楚：在这一段上，幂指数越大，增长得越快；平方根虽然是增函数，却是四个里最慢的。 例 2　指数函数：区间越靠右，涨得越猛 已知函数 ，分别计算它在 [1, 2] 与 [3, 4] 上的平均变化率，并说明函数值变化的规律。 解：在 [1, 2] 上， 在 [3, 4] 上， 两段区间长度都是 1，后一段的平均变化率却是前一段的 16 倍。所以：自变量每增加 1 个单位，区间的左端点越大，函数值增加得越快，这正是指数函数「越来越快」的表现。 例 3　三类函数在同一段区间上比快慢 已知 ，，，分别计算这三个函数在 [a, a+1]（）上的平均变化率，并比较它们的大小。 解：三个区间的长度都是 1，所以平均变化率就等于函数值的改变量，分别算出三个改变量即可： f：； g：； h： 因为 ，所以 ；又因为 ，所以 。 因此在区间 [a, a+1] 上， 的平均变化率最大， 的最小。 例 4　两种涨法，十年后差多少 某公司今年的产值是 1000 万元，为下一步发展提出两个方案。甲方案：每年比上一年多 200 万元；乙方案：每年比上一年增长 20%。 （1）分别写出第 n 年产值 y（万元）与 n 的关系式；（2）算一算第 10 年的产值，比较两个方案；（3）如果看 20 年以后，你建议选哪个方案？ 解：（1）甲方案每年增加的量固定，是一次函数模型： 乙方案每年的产值是上一年的 1.2 倍，是指数函数模型： （2）把 n=10 代入。甲方案：（万元）； 乙方案：（万元）。第 10 年乙方案已经是甲的两倍多。 （3）建议选乙。甲方案的产值在一条直线上匀速上升，乙方案的产值越来越快；n 越大，两条线的距离越拉越开。第 20 年甲是 5000 万元，乙约为 ≈38338 万元，已经是甲的 7 倍多。 图 5　按照增长速度挑选函数模型 四个模型不是随便挑的：先看清函数值是匀速增大、急剧增大还是逐渐平缓，再对号入座。选错了模型，往外推算的预测就会差得很远。 九、易错警示与改错提醒 易错点 错在哪里 正确做法 分子分母顺序不一致 分子写 −，分母却写 −，结果符号反了 上下都按「后减前」， 同序相减 以为平均变化率均为正 只想着函数值增加，忘了它也可以为负或为 0 负值表示这一段整体在减小，0 表示这一段不增不减 把平均变化率当成某一点的速度 用一段区间的平均值去描述区间内每一点的变化 只能说「这一段平均每单位增加多少」 以为指数函数一开始就最大 x=3 时 ，其实比 小 指数函数先慢后快，要看 x 取多大 以为指数函数对任何 x 都最大 只在 x 足够大时才成立，小范围内可能相反 先确定 ，再看 时的大小 改错要改到点上：① 顺序上下一致，分子分母都写「后减前」，别让一个负号毁掉整道题；② 比较两个函数的快慢，必须取同一段区间，区间不同结论没有可比性；③ 说「指数最终最大」，先看 x 是否足够大，小范围里幂函数可能领先；④ 先分清匀速、急剧、平缓，再对应一次、指数、对数三类模型。 十、巩固练习 1. 函数 在区间 [1, 3] 上的平均变化率是（　　）　A. 2　B. 4　C. 8　D. 16 2. 函数 在任意区间上的平均变化率是＿＿＿＿。 3. 函数 在 [0, 1] 与 [1, 2] 上的平均变化率分别为 m、n，则 m 与 n 的大小关系是＿＿＿＿。 4. 函数 在 [2, 4] 上的平均变化率是＿＿＿＿。 5. 已知 ，则 在 [2, 3] 上的平均变化率为＿＿＿＿。 6. 下列函数中，在 (0, +∞) 上增长速度越来越慢的是（　　） A. 　B. 　C. 　D. 7. 函数 在 x=1 附近取 时，平均变化率为＿＿＿＿。 8. 已知 ，，比较 与 、 与 的大小。 9. 函数 在 [0, 1] 上的平均变化率为＿＿＿＿。 10. 某商品价格第一年上涨 10%，第二年又上涨 10%，两年后的价格是第一年的＿＿＿＿倍。 11. 已知 ，则 在 [a, a+1] 上的平均变化率是＿＿＿＿（用 a 表示）。 12. 判断：函数 的图象始终在 的上方。（　　） 13. 比较大小：、、。 14. 已知 ，分别求它在 [0, 1]、[1, 2]、[2, 3] 上的平均变化率，并归纳规律。 15. 某地区森林面积每年比上一年减少 10%，3 年后森林面积是原来的＿＿＿＿（保留两位小数）。 十一、参考答案 1. B。。 2. 3。一次函数在任何区间上的平均变化率都等于 k，这里 k=3。 3. m<n。，。 4. 。。 5. 3。，，。 6. D。对数函数 的增长速度越来越慢； 与 都越来越快。 7. 3.64。。 8. ；。指数函数先慢后快，在 x=3 与 x=5 之间完成了反超。 9. −1。。函数值在减小，所以平均变化率为负。 10. 1.21。。 11. 。因为 ，而分母 ，所以平均变化率就是 。 12. 错。x=3 时 ，而 ，此时指数函数的图象在下面。 13. 。三者分别是 −1、0.25、≈1.414，借 0 与 1 作媒介即可排好次序。 14. 三个区间长度都是 1，平均变化率依次是 1、2、4；后一段总是前一段的 2 倍，说明左端点越大，函数值增加得越快。 15. 0.73。。 十二、方法归纳 步骤 具体做法 ① 求两个改变量 先算 ，再算 ，两者都按「后减前」 ② 写出平均变化率 按「函数值的改变量 ÷ 自变量的改变量」写成竖式分数，上下同序 ③ 比较大小时 先化简再比较；也可与 0、1 这样的中间值比，或用函数的单调性比 ④ 判断增长快慢 同一个函数在不同区间上：平均变化率一段比一段大，就是越来越快；一段比一段小，就是越来越慢 ⑤ 挑选函数模型 匀速用一次函数模型，急剧用指数函数模型，平缓用对数函数模型，居于两者之间用幂函数模型 十三、本节三句话 ① 平均变化率 = 函数值的改变量 ÷ 自变量的改变量。它衡量的是一段区间上的整体快慢，不是某一点的速度。 ② 四类模型四种命：一次函数保持不变，指数函数越来越快，对数函数越来越慢，幂函数越来越快但终被指数函数超过。 ③ x 足够大时必有 （，），所以外推很远时要用指数函数模型。 十四、本节边界 本节比较的是「一段区间上」的平均变化，给出的是一整段的整体结论。至于某一时刻变化得多快，需要另一套工具，将在后续课程中专门研究；本节的所有结论都不涉及那部分内容。 另外，本节只在 、 的前提下讨论增长。底数或指数取其他值时，函数可能不增反减，结论要重新判断，不能照搬。 学科网（北京）股份有限公司 $