精品解析：广东东莞实验中学2026-2027学年高三上学期阶段测试（一）数学试卷

东莞实验中学2026～2027学年高三阶段性考试（一） 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上方“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡按页码顺序交回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，再由交集的定义求解即可. 【详解】因为或， 所以 2. 对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得； 因为函数是减函数， 所以当时，函数的最小值为. 所以实数a的取值范围是. 3. 已知，则“”是“” 的（ ）条件． A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 【答案】C 【解析】 【分析】结合角的范围和诱导公式计算出角的取值，再根据充分性和必要性用定义法进行判断. 【详解】充分性： 因为，，所以或， 当时，；当时，； 所以由不能必然推出，充分性不成立； 必要性： 因为，，所以，此时， 所以由可以推出，必要性成立； 综上，是的必要非充分条件. 4. 书架共四层，将3本不同的书放入书架，书架恰有一层空着，则不同的放法有（ ） A. 24种 B. 15种 C. 12种 D. 6种 【答案】A 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理即可求解. 【详解】第一步，从四层书架中选一层空着，有种方法； 第二步，将3本不同的书放入剩下的3层书架中，每层一本，有种方法； 则不同的放法总数有种. 故选：A. 5. 已知二项式展开式中第4项与第8项的二项式系数相等．则展开式中含的系数为（ ） A. 480 B. C. 960 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质以及二项展开式的通项公式计算指定项的系数即可. 【详解】由二项式展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， 则，解得：，即二项式为， 又二项展开式的通项公式为：， 令，则展开式中含的系数为：. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，再由同角的商数关系及诱导公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以 7. 若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义计算可得，结合基本不等式中“1”的活用计算即可得. 【详解】，令，则，有， 即，即， 又为正实数，则， 当且仅当，即时，等号成立.， 故的取值范围是. 故选：C. 8. 将4个黑球和6个红球随机排成一列，事件“第k个球是黑球”，则下列正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合独立事件、互斥事件，以及条件概率的计算公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由题意知，事件“第k个球是黑球”，可得， 对于A，事件表示第1和第2个球是黑球，可得， 因为，所以，所以A错误； 对于B，事件表示第1或第2个球是黑球， 可得， 因为，所以，所以B错误； 对于C，由B项知：，所以C正确； 对于D，由条件概率的计算公式，可得，所以D错误. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（    ） A. 样本数据4，4，5，6，5，7，9的中位数为6 B. 经验回归直线一定过样本中心点 C. 若随机变量满足，则 D. 若随机变量X服从正态分布，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据中位数定义判断 A；根据回归直线性质判断 B；根据期望性质判断 C；根据正态分布对称性判断 D. 【详解】样本数据排序：4，4，5，5，6，7，9一共 7 个，中位数是第4个数据，为5，故 A 错误； 经验回归直线一定过样本中心点，故 B 正确； 由期望性质：，故C正确； ，正态曲线关于对称，，， 所以，故D正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 在区间上单调递减 C. 是奇函数 D. 在区间上恰有2个极值点 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，化简函数表达式，结合周期公式验算即可；对于B，由复合函数单调性即可判断；对于C，化简函数表达式，结合三角函数奇偶性即可判断；对于D，由三角函数性质以及极值点的概念即可判断. 【详解】对于A，由题知，，所以最小正周期，是的一个周期，故A正确； 对于B，当时，，令，则作区间上单调递减，在区间上单调递增，故B错误； 对于C，为偶函数，故C错误； 对于D，当时，，令，则在区间上恰有两个极值点，故D正确. 故选：AD． 11. 已知函数，其中表示不超过的最大整数.例如：，，.以下结论正确的有（ ） A. B. 集合的元素个数为9 C. 存在，对任意的，有 D. 对任意都成立，则实数的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】利用给定定义直接判断选项A，利用函数周期性分析得出选项B，结合函数在一个周期内的性质判断选项C，将问题进行转化，然后结合给定定义求解最值即可得出选项D. 【详解】对于A，由， 则，故A正确； 对于B，由， 则的周期为，故讨论即可， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 故该集合元素个数为6，故B错误； 对于C，因为函数的周期为，由B选项知当时，不存在，有， 所以对任意的，不存在，有，故C错误； 对于D，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 而对任意都成立，故恒成立， 令，即， 而，故恒成立，即，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 半径为2的扇形中，圆心角为，该扇形的面积为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据扇形面积公式进行求解，得到答案. 【详解】扇形圆心角为，半径， 由扇形面积公式得. 故答案为： 13. 已知关于x的不等式的解集中恰有个整数，则正整数a =________． 【答案】2 【解析】 【详解】由题意得，为正整数，故， 不等式可化为， 方程的两根为，， 二次函数开口向上， 所以不等式的解集为， 因为解集中恰有个整数，该整数只能是， 所以，又是正整数，故. 14. 设A，B，C是的三个内角，则的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用积化和差公式化简，再结合辅助角公式，求得的最大值. 【详解】依题意，得 ，当且仅当时等号成立，因此最大值为． 故答案为： 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共77分. 15. 已知函数 （1）求函数的最小正周期和最小值； （2）求函数在上的单调递增区间. 【答案】（1）函数的最小正周期是，最小值是； （2）和 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，进而求得函数的最小正周期和最小值； （2）利用正弦函数单调性可求单调递增区间，从而求得函数在上的单调递增区间. 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期； ， 故函数的最小正周期是；最小值是. 【小问2详解】 令， 得， 所以函数在上单调递增. 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 因为，所以的单调递增区间是和． 16. 已知函数． （1）当时，求在上的值域； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2）当时在上单调递减； 当时在上单调递减，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，求出区间端点值，即可得解； （2）求出函数的定义域与导函数，再分和两种情况讨论，分别求出函数的单调性. 【小问1详解】 当时，则， 当时恒成立，所以在上单调递增， 又，， 所以在上的值域为. 【小问2详解】 函数的定义域为， 又， 当，即时恒成立，所以在上单调递减； 当，即时，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上可得：当时在上单调递减； 当时在上单调递减，在上单调递增. 17. 大学毕业生入职某国企需要笔试，笔试题目分为A，B两种类型，且两种类型的题目数量相同，每个笔试者选择2题作答，第1题从A，B两类试题中随机选择1题作答，笔试者若答对第1题，则第2题选择同一类试题作答的概率为，若答错第1题，则第2题选择同一类试题作答的概率为，试题不重复选择．已知甲答对A类试题的概率均为，答对B类试题的概率均为，且每道试题答对与否相互独立． （1）求甲两题均选择A类试题作答的概率； （2）若甲第1题选择B类试题作答，设甲答对的试题数为，求的分布列与期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 数学期望为.【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解； （2）由题可知，的所有可能取值为0，1，2，求出相应的概率，得到的分布列，再结合期望公式求解． 【小问1详解】 若甲第1题选择类试题作答并且答错，则第2题选择类试题作答的概率， 若甲第1题选择类试题作答并且答对，则第2题选择类试题作答的概率， 故甲2题均选择类试题作答的概率； 【小问2详解】 由题可知，的所有可能取值为0，1，2， 则， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 则． 18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积； （3）若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及两角和差的正弦公式化简； （2）利用余弦定理以及求出，再利用面积公式； （3）利用正弦定理将目标化为，根据锐角三角形求出，结合对勾函数求取值范围即可. 【小问1详解】 由及正弦定理得：， 即 ， 又，则，， 又，故； 【小问2详解】 由余弦定理，又，，得， 所以， 又，得， 故的面积； 【小问3详解】 因外接圆直径为，则由正弦定理可知， 故，， 因为是锐角三角形， 所以，得， 所以， 令，， 由对勾函数的性质可知，在上单调递减；在上单调递增； 当时，；当时，；当时，； 因为，所以， 故的取值范围为. 19. 已知函数，若存在及，使得，且（为的导函数），则称为的动力平衡点． （1）若，求的所有动力平衡点及其对应的的值； （2）若存在动力平衡点，求的取值范围； （3）若，判断是否存在动力平衡点，若存在，求出动力平衡点的个数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，2 【解析】 【分析】（1）根据动力平衡点的定义列方程求解即可； （2）根据动力平衡点的定义列式可得到，设。利用导数求出最值，即可求得答案. （3）根据动力平衡点的定义列式整理得，设，利用导数研究其零点情况，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，， 由题意得，① ，② 结合，显然，且，由①得， 代入②，得， 解得，． 【小问2详解】 ，，， 由题意得，③ ，④ 由③④得， 整理得． 设，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又，当时，， 所以的取值范围是． 【小问3详解】 假设存在动力平衡点 , ，，， 由题意得，⑤ ，⑥ 由⑤⑥得， 整理得， 设， 则 ， 所以时，，单调递减，时，，单调递增， 又，，， 所以在区间，上各有一个零点， 所以有2个动力平衡点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞实验中学2026～2027学年高三阶段性考试（一） 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上方“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡按页码顺序交回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，（     ） A. B. C. D. 2. 对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“” 的（ ）条件． A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 4. 书架共四层，将3本不同的书放入书架，书架恰有一层空着，则不同的放法有（ ） A. 24种 B. 15种 C. 12种 D. 6种 5. 已知二项式展开式中第4项与第8项的二项式系数相等．则展开式中含的系数为（ ） A. 480 B. C. 960 D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 将4个黑球和6个红球随机排成一列，事件“第k个球是黑球”，则下列正确的是（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（    ） A. 样本数据4，4，5，6，5，7，9的中位数为6 B. 经验回归直线一定过样本中心点 C. 若随机变量满足，则 D. 若随机变量X服从正态分布，且，则 10. 已知函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 在区间上单调递减 C. 是奇函数 D. 在区间上恰有2个极值点 11. 已知函数，其中表示不超过的最大整数.例如：，，.以下结论正确的有（ ） A. B. 集合的元素个数为9 C. 存在，对任意的，有 D. 对任意都成立，则实数的取值范围是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 半径为2的扇形中，圆心角为，该扇形的面积为_____． 13. 已知关于x的不等式的解集中恰有个整数，则正整数a =________． 14. 设A，B，C是的三个内角，则的最大值为_______． 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共77分. 15. 已知函数 （1）求函数的最小正周期和最小值； （2）求函数在上的单调递增区间. 16. 已知函数． （1）当时，求在上的值域； （2）讨论的单调性． 17. 大学毕业生入职某国企需要笔试，笔试题目分为A，B两种类型，且两种类型的题目数量相同，每个笔试者选择2题作答，第1题从A，B两类试题中随机选择1题作答，笔试者若答对第1题，则第2题选择同一类试题作答的概率为，若答错第1题，则第2题选择同一类试题作答的概率为，试题不重复选择．已知甲答对A类试题的概率均为，答对B类试题的概率均为，且每道试题答对与否相互独立． （1）求甲两题均选择A类试题作答的概率； （2）若甲第1题选择B类试题作答，设甲答对的试题数为，求的分布列与期望． 18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积； （3）若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 19. 已知函数，若存在及，使得，且（为的导函数），则称为的动力平衡点． （1）若，求的所有动力平衡点及其对应的的值； （2）若存在动力平衡点，求的取值范围； （3）若，判断是否存在动力平衡点，若存在，求出动力平衡点的个数；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $