精品解析：广东省深圳市宝安区南方科技大学附属中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

南科大附中2026年秋季学期高三年级十月质量监测 数 学 命题人：文思敏 审题人：白晨 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，且，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合B中元素都属于A求解，注意进行检验特别是元素的互异性. 【详解】若，则，此时，不合题意， 若，则或，时，不合题意，时，满足题意. 所以，从而的取值集合为. 2. 已知双曲线（）的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据离心率列方程，求得，进而求得，从而求得双曲线的渐近线方程. 【详解】因为，，所以，所以，故. 所以渐近线方程为. 3. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 4. 已知向量，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，则， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 5. 已知，则三者大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对利用换底公式进行变换，可比较出与的大小，再将和与进行比较，从而得出答案. 【详解】，而， 所以，即， ， 而，所以， 综上：. 6. 已知函数（）在区间上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】当时，， 的递增区间为， 取，由得 ， 解得，于是， 故最大值为. 7. 已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设等差数列的公差为． 由，得①， 由得，得②， 联立①②，，解得， 所以． 则， 则，所以 ． 8. 已知函数，，若的零点恰为的零点，则的最大值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出两个函数的零点集合，根据两集合相等的条件，结合正弦函数的有界性求解整数的最大值. 【详解】 设 ， ，由题意得， 求解集合：由，可得，显然恒成立； 求解集合：由，得，即，， 要满足，需不存在使得（且）， 利用正弦函数有界性：对任意，，故， 要使区间内不存在非零的整数倍，需满足， 由于，且，因此整数的最大值为3. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A项，，故A错误； 对于B项， 由于，所以，故B正确； 对于C项，，故C正确； 对于D项，，故D错误. 10. 下列结论正确的有（ ） A. 公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种 B. 展开式的系数和为0 C. 若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等． D. 若X是随机变量，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用分步乘法原理，明确是10个乘客每人独立面临5种选择，得出总方式为种， 对于B，利用赋值法，直接令多项式中的变量，即可计算出展开式的全部系数之和，对于C，利用等差数列的对称性，说明其平均数和中位数在数值上必然重合并等于首末两项和的一半，对于D，利用方差非负的性质，结合方差计算公式移项即可证明. 【详解】对于A， 由分步乘法原理得乘客下车的可能方式有种，故A错误， 对于B，令得，故B正确， 对于C，对于等差数列，其平均数为， 若项数为奇数，设为正整数，此时中位数为， 则，即，整理得，此时中位数等于平均数， 若项数为偶数，设，此时中位数为， ，代入中位数得中位数为， 此时中位数等于平均数，故C正确， 对于D，因为，即，故D正确. 11. 已知函数的图象与直线的交点分别为，，且，点，设直线，的倾斜角分别为，，则（ ） A. 实数的取值范围是 B. C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A通过求导判断函数的单调性及最小值可得；对B只需证明，再令（），通过求导判断函数单调性判断可得；对C由斜率公式，再令，用导数和极限思想判断函数的值域可得；对D通过极限思想分别判断当和时的值可得. 【详解】由函数，所以函数的定义域为， ​. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以函数的极小值（也是最小值）为，当和时，. 选项A ：因为函数与有两个不同交点， 等价于，即，A正确； 选项B：要证只需证. 因为，且，所以，得. 又因为函数在上单调递增， 所以只需证明，且，因此只需证明. 令（）， 则， 所以， 所以在上单调递减，且， 所以当时，，因为，所以， 即，B正确； 选项C：直线的斜率，其中； 令，， 令，， 所以函数在上单调递增，且，所以. 所以，函数在上单调递增， 由洛必达法则：当时，， 当时，. 所以，即，C正确； 选项D：因为直线，的倾斜角分别为，，且, 所以，因此. 当时，，无限靠近点，,， 所以，因此可以无限接近. 当时，， 由C选项分析知，，所以当时，， 因此当时，，. 综上所述，，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线 被圆 截得的弦长为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的标准方程，结合弦心距公式求解即可. 【详解】圆 的圆心 ，半径 . 圆心到直线的距离 . 所以所求的弦长 . 13. 已知等比数列的各项都为正数，且，则的值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】利用等比数列下标和性质，将前四项倒数和整理为与前四项和相关的形式，求出两项乘积后即可得到四项总乘积. 【详解】设等比数列的公比为q，由数列各项都为正数得. 根据等比数列性质：若，则，可得， 记，则， 所以，所以. 14. 已知为边长为2的等边三角形，动点在以为直径的半圆上，半圆与在的异侧.若，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，得到点坐标，设点坐标，由向量的数量关系解得，然后通过辅助角公式求得表达式，由三角函数的图象求得范围. 【详解】如图，取的中点，连接， 在等边三角形中 以为坐标原点，为轴建立直角坐标系， 所以， 设 则， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设等差数列满足，. （1）求的通项公式. （2）设，求数列的前项和的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列，先将化为基本量，的形式，求出和，从而求出通项公式； （2）利用裂项相消法求出，再根据函数的单调性求出的取值范围. 【小问1详解】 由数列为等差数列，设首项为，公差为，则， 解得，所以的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）知，则， 所以， 易知，当时，单调递减，所以单调递增，因此，当时，取最小值，即， 当时，，，所以的取值范围为. 16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，点在线段上，，且平面． （1）证明：平面； （2）证明：； （3）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1）因为底面是矩形，由矩形对边平行的性质可得：， 又因为 平面，平面，所以平面. （2）由平面，平面，因此. 在底面矩形中，，，， ，， 因此，由勾股定理逆定理得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，因此. （3） 【解析】 【分析】 （1）由线面平行的判定定理即可证明； （2）先把问题转化为证明平面，只需证明和，利用线面垂直的性质可证明，利用勾股定理逆定理可证明； （3）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，利用二面角的空间向量公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 以为原点，以的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 结合可得各点坐标： ，，，， 由（2）知是平面的一个法向量； 设平面的法向量为，，， 令，，即，取得. 设二面角的平面角为，则  ， 因此二面角的正弦值为 .​​ 17. 在锐角中，角所对的边分别为．向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，为边的中点，求线段的长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行得，用正弦定理边化角，化简得，结合锐角三角形，即可求出角； （2）由中线向量公式得，结合余弦定理，得，再用正弦定理表示，由锐角条件求其范围，即得范围. 【小问1详解】 因为，所以． 在中，由正弦定理得：， 展开得：，即． 因为，得．又，故． 【小问2详解】 因为点是边的中点，由向量中线公式：， 两边平方得：，即． 因为，，由余弦定理得：， 则，故． 所以． 因为，所以，即． 因为是锐角三角形，所以有，则． 又， 则 ． 由，得，故， 所以，， 故的长的取值范围为． 18. 某仓库中同一型号的智能巡检机器人由甲、乙两厂供货．已知甲厂产品的次品率为0.05，乙厂产品的次品率为0.10．从仓库中随机抽取一台，发现其为次品的概率为0.07． （1）设甲厂在仓库中的供货占比为，求的值； （2）若已知抽到的产品是次品，求它产自甲厂的概率； （3）基于上述供货占比，质检员对这批机器人进行有放回的随机抽检，每次记录其生产厂．一旦累计抽到2台甲厂产品，或抽取次数达到5次，立即停止，记停止时已抽取的总次数为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） （3）的分布列为 2 3 4 5 ． 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式，列式求出的值即可；（2）根据条件概率公式直接求解即可；（3）先写出变量可能的取值，再求出各自变量对应的概率，最后写出概率分布列，利用数学期望的公式计算即可. 【小问1详解】 设甲厂在仓库中的供货占比为，则乙厂在仓库中的供货占比为， 设从仓库中随机抽取一台，该产品是甲厂产品为事件；该产品是乙厂产品为事件；该产品是次品为事件． 则，所以； 【小问2详解】 由题意得，所以若已知抽到的产品是次品，则它产自甲厂的概率为； 【小问3详解】 由题意知的可能取值是2，3，4，5， ，， ，， 故的分布列为 2 3 4 5 所以． 19. 已知函数，． （1）若在定义域上单调递增，求m的取值范围； （2）若有两个极值点a，b，证明：； （3）若，关于x的方程在上有两个不同的实数根，，证明：． 【答案】（1） （2）证明：由题意得，． 因为有2个极值点a，b，则有两个正根a，b． 则，解得． 所以 ． 设，，则． 因为，所以，则， 所以在区间上单调递增． 即， 所以． （3）设， 当时，．又恒成立，则在上单调递减； 当时，．又恒成立，则在上单调递增． 因为方程在上有2个不同的根，， 又时，，如图所示： 所以，． 又在处的切线方程为，设，． 当时，恒成立，所以在区间上单调递增，则． 即当时，． 与，的两个交点的横坐标分别为与， 则有，同时． 过点和的直线方程为， 该直线与的交点的横坐标为，同理可证：， 所以． 综上所述，成立． 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，根据函数单调性得到恒成立，参变分离，结合基本不等式可得答案； （2）根据极值点情况可得不等式，得到，，故，设，，求导，得到的单调性，得到，证明出结论； （3）设，求导，得到的单调性，画出的图象，数形结合得到，．又在处的切线方程为，设，求导，得到的单调性，得到，并得到过点和的直线方程为，该直线与的交点的横坐标为，同理可证，所以，可得成立． 【小问1详解】 的定义域为，． 因为在上单调递增，所以恒成立． 则，即在上恒成立，所以． 因为，当且仅当时，等号成立． 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】极值点个数的判断问题，一般转化为方程根的个数，求导后若可以化为二次函数，可以利用根的判别式及韦达定理求解，若不是二次函数，则研究函数的单调性，借助函数图象研究，在完成此类题目时，往往会将多元问题转化为一元问题进行解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南科大附中2026年秋季学期高三年级十月质量监测 数 学 命题人：文思敏 审题人：白晨 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，且，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线（）的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 已知向量，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则三者大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（）在区间上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则（ ） A. B. 0 C. D. 8. 已知函数，，若的零点恰为的零点，则的最大值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的有（ ） A. 公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种 B. 展开式的系数和为0 C. 若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等． D. 若X是随机变量，则 11. 已知函数的图象与直线的交点分别为，，且，点，设直线，的倾斜角分别为，，则（ ） A. 实数的取值范围是 B. C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线 被圆 截得的弦长为______. 13. 已知等比数列的各项都为正数，且，则的值为______. 14. 已知为边长为2的等边三角形，动点在以为直径的半圆上，半圆与在的异侧.若，则的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设等差数列满足，. （1）求的通项公式. （2）设，求数列的前项和的取值范围. 16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，点在线段上，，且平面． （1）证明：平面； （2）证明：； （3）若，求二面角的正弦值． 17. 在锐角中，角所对的边分别为．向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，为边的中点，求线段的长的取值范围． 18. 某仓库中同一型号的智能巡检机器人由甲、乙两厂供货．已知甲厂产品的次品率为0.05，乙厂产品的次品率为0.10．从仓库中随机抽取一台，发现其为次品的概率为0.07． （1）设甲厂在仓库中的供货占比为，求的值； （2）若已知抽到的产品是次品，求它产自甲厂的概率； （3）基于上述供货占比，质检员对这批机器人进行有放回的随机抽检，每次记录其生产厂．一旦累计抽到2台甲厂产品，或抽取次数达到5次，立即停止，记停止时已抽取的总次数为，求的分布列和数学期望． 19. 已知函数，． （1）若在定义域上单调递增，求m的取值范围； （2）若有两个极值点a，b，证明：； （3）若，关于x的方程在上有两个不同的实数根，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $