第二十八章 旋转 章末素养试题 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十八章 旋转 章末素养试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册 一、单选题 1．下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．若点关于原点对称的点位于第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，分别过下列图形的对角线的交点作一条直线，不一定能把相应图形分成面积相等的两部分的是（）． A． B． C． D． 4．如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（    ）    A． B． C． D． 6．如图，如果正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可作旋转中心的点共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，在中，，，，过点作直线，将绕点顺时针旋转，当点恰好落在直线上时，得到，则旋转的最小度数为（     ）    A． B． C． D． 8．如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转得到点B，在，，，四个点中，直线经过的点是（    ）    A． B． C． D． 10．如图，已知中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，交于点，交、于点、，则以下结论： ①； ②连接、，则； ③当时，的长度最大； ④当点是的中点时，四边形的面积等于. 其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则_____． 12．已知正方形与正方形，关于某点中心对称，若点A与对应点的坐标分别是，，则对称中心的坐标为_______． 13．如图，为的平分线，且，将四边形绕点逆时针方向旋转后，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是______．    14．如图，菱形的对角线的交点位于平面直角坐标系的坐标原点O，且点，点，则的值为_______． 15．如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为______． 16．如图，在中，，将在平面内绕点A旋转到的位置，使，则旋转角的度数为_________． 17．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB=3，OD=2，则阴影部分的面积之和为______． 18．如图，在矩形中，点P在边上，连接，将绕点P顺时针旋转90°得到，连接．若，，，则_______．    三、解答题 19．如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A的对应点为D，点B的对应点E恰好落在上，延长交于点F． (1)写出相等的角：________，________________； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请你解答下列问题． (1)在坐标系中，画出关于原点中心对称的； (2)在坐标系中，画出绕原点顺时针旋转得到的． 21．如图，已知为正方形内一点，经过旋转后到达的位置． (1)请写出旋转中心及旋转角的度数； (2)若，求的度数和的长． 22．如图所示，在平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A2B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称． （1）直接写出B1，B2，B3，的坐标分别为　 　，　 　，　 　； （2）连接A1B2，求A1B2的长． 23．如图，在的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”．    (1)在图1中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形“关于对称中心点O成中心对称； (2)在图2和图3中再分别涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形（两个图各画一种）． 24．如图，正方形与正方形关于某点中心对称，已知，，三点的坐标分别是，，． (1)求对称中心的坐标； (2)写出顶点，，，的坐标． 25．在中，，，，点在直线上，在边上，且，． (1)如图1，求证：；    (2)如图2，将沿方向平移，使点落在上，得到，求平移的距离；    (3)如图3，将绕点逆时针旋转，使点落在上，得到，求旋转角的度数．    26．【知识技能】（1）利用旋转作辅助线，通常能使分散的条件相对集中起来，如题1图，已知，作，连接，求证：． 【数学理解】（2）如题2图，在正方形中，点是对角线上任意一点（不与点重合），以为边作正方形，点恰好落在射线上． ①当时，求的长； ②直接写出之间的数量关系． 【拓展探索】（3）如题3图，在菱形中，，点在对角线的延长线上，以为边在上方作等边三角形，连接．若，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A C B C A A B D 1．D 本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，进行判断即可．轴对称图形的关键是找对称轴，中心对称图形的关键是找对称中心． 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意． 2．C 根据各象限点的坐标特征列出不等式组，解不等式组即可． 解：关于原点对称的点的坐标为， 位于第二象限， ， 解得：． 3．A 中心对称图形，过对称中心（对角线交点）的任意直线，都可以将图形分成面积相等的两部分；筝形不是中心对称图形，因此过对角线交点的直线不一定平分面积． 解：平行四边形、矩形、正方形都是中心对称图形，对角线交点就是对称中心，过对称中心的任意一条直线，都可以把图形分成面积相等的两部分． A、筝形只是轴对称图形，不是中心对称图形，它的对角线交点不是对称中心，所以过对角线交点的直线不一定把筝形分成面积相等的两部分． B、C、D、平行四边形、正方形、矩形都是中心对称图形，对角线交点就是对称中心，过对称中心的任意一条直线，都可以把图形分成面积相等的两部分． 4．C 本题考查了旋转角的理解，利用定义从图形中准确地找出旋转角是关键．根据题意得出旋转角，进而根据，即可求解． 解：依题意，， 又∵， ∴ 故选：C． 5．B 过点作，由题意可得：，，再利用含30度直角三角形的性质，求解即可． 解：过点作，如下图：    则 由题意可得：，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：B 【点睛】此题考查了旋转的性质，坐标与图形，含30度直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握相关基础性质． 6．C 根据旋转的性质，分类讨论确定旋转中心． 解：如图所示， 以点为旋转中心，顺时针旋转，正方形能与正方形重合； 以点为旋转中心，逆时针旋转，正方形能与正方形重合； 以的中点为旋转中心，旋转，正方形能与正方形重合； 所以平面内可作旋转中心的点共有个． 7．A 根据勾股定理求出的长，再由旋转的性质得：，再结合特殊角的三角函数值得出，即可求解． 解：如图， 在中，，，， ∴， 由旋转的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴旋转的最小度数为． 8．A 解：∵绕点旋转得到， ∴点为、的中点， 设的坐标为， 则，解得， 则点的坐标为． 9．B 根据含角的直角三角形的性质可得，利用待定系数法可得直线的解析式，依次将四个点的一个坐标代入中可解答． 解：∵点，点，    ∴轴，， 由旋转得：， 如图，过点B作轴于C， ∴， ∴， ∴）， 设直线的解析式为：， 则， ∴， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴点不在直线上， 当时，， ∴在直线上， 当时， ∴不在直线上， 当时，， ∴不在直线上． 故选：B． 【点睛】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点B的坐标是解本题的关键． 10．D 根据ASA可证，可判断①正确；求出AF＝AH，∠DFG＝∠CHG，DF＝CH，证明，可得FG＝HG，则AG垂直平分FH，可判断②正确；当AF最小时，DF最长，故可得AD⊥BC时，DF的长度最大，可判断③正确；首先可得当点H是DE的中点时，有AH⊥DE，然后证明，根据进行计算，可判断④正确． 解：①∵， ∴∠B＝∠C， 由旋转得，∠BAF＝∠HAE，∠B＝∠C＝∠E， ∴（ASA），故①正确； ②连接、， ∵， ∴∠AFB＝∠AHE，AF＝AH， ∵∠AFB＝∠DFG，∠AHE＝∠CHG， ∴∠DFG＝∠CHG， ∵AD＝AB＝AC， ∴DF＝CH， 又∵∠DGF＝∠CGH， ∴（AAS）， ∴FG＝GH， ∴AG垂直平分FH，故②正确； ③∵DF＝AD－AF，AD是定长， ∴AF最小时，DF最长， ∴AD⊥BC时，DF的长度最大，故③正确； ④∵AD＝AE， ∴当点H是DE的中点时，有AH⊥DE， ∵AF＝AH，FG＝GH，AG＝AG， ∴（SSS）， ∴，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定等知识，利用全等进行转化是解题的关键． 11． 本题考查了中心对称的性质，三角形面积公式，由题意得，，求出即可，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 解：∵与关于点成中心对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 根据中心对称的性质，对称中心是对应点连线的中点，代入对应点坐标计算中点即可得到结果． 解：∵两个正方形关于该点中心对称，与是一组对应点， ∴对称中心是线段的中点， ∴对称中心的横坐标为，对称中心的纵坐标为， ∴对称中心的坐标为． 13． 根据角平分线的性质可得，根据旋转的性质可得，，求得，即可求得旋转的角度． ∵为的平分线，， ∴， ∵将四边形绕点逆时针方向旋转后，得到四边形， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，旋转的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． 14． 根据菱形的性质可知点D和点B关于点O中心对称，从而得点的坐标互为相反数，进而即可求解 解：∵在菱形中，点D和点B关于点O中心对称， ∴， ∴ 15． 本题主要考查旋转的性质，三角函数的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作，求出，的值即可得到答案． 解：作，交y轴于点F， 由题可得：， 是等边三角形，， ∴是的角平分线， ， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ， 故答案为：． 16．/度 本题考查了旋转的性质，平行线的性质、等腰三角形的性质．先根据平行线的性质得，再根据旋转的性质得等于旋转角，，则利用等腰三角形的性质得，然后根据三角形内角和定理可计算出的度数，从而得到旋转角的度数． ∵， ∴ ∵在平面内绕点旋转到的位置， 等于旋转角，， ∴， ， 旋转角为． 故答案为：． 17．6 ∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB=3，OD=2， ∴AB=2， ∴阴影部分的面积之和为3×2=6． 故答案为：6． 【点睛】考点：中心对称． 18．2 过点作于点F，则，可证，于是．设，，，解得，于是． 解：过点作于点F，则， ∵， ∴． 又， ∴. ∴． 设，矩形中，， ， ，，解得， ∴． 故答案为：2    【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；根据勾股定理构建方程求解是解题的关键． 19．(1)，， (2) ． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键： （1）根据旋转前后，对应角相等，结合对顶角相等，即可得出结果； （2）根据角度之间的关系，结合三角形的内角和定理，推出，即可． （1）解：∵旋转， ∴，， ∵， ∴； （2）略 20．(1)见解析 (2)见解析 （1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数找到、、对应点、、的位置，再顺次连接即可； （2）先找到、、对应点、、的位置，再顺次连接即可． （1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求． 21．(1)旋转中心为点，旋转角的度数为； (2)，． 本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理 （1）由旋转的性质可求解； （2）由旋转的性质可得，，由等腰直角三角形的性质以及勾股定理可求解． （1）解：经过旋转后到达的位置， ∴旋转中心为点，旋转角的度数为； （2）经过旋转后到达的位置 ， ，， ，． 22．（1）；（2） （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）过点作轴于点H，由题意易得，则有，然后根据勾股定理可求解． 解：（1）∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴， ∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称， ∴， 同理可得， ∴， ∴； 故答案为； （2）过点作轴于点H，如图所示： ∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标、等边三角形的性质、中心对称的性质及勾股定理，熟练掌握上述知识是解题的关键． 23．(1) 所求图形，如图所示． (2) 所求图形，如图所示． （1）根据中心对称图形的定义画出图形； （2）根据轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可． （1）略 （2）略 【点睛】本题考查作图——应用与设计作图，利用轴对称设计图案等知识，解题的关键是掌握中心对称图形，轴对称图形的定义． 24．(1) (2)，，，． 本题考查了坐标与图形，求对称中心． （1）求出点D和的中点即可； （2）根据，，求出正方形的边长，即可解答． （1）解：∵，， ∴对称中心的坐标为，即； （2）解：∵，， ∴正方形与正方形边长为2， ∵，， ∴，，，． 25．(1) 证明：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴． (2)平移距离为 (3) （1）在直角三角形中，根据“斜边直角边”可证，根据全等三角形的性质即可求解； （2）在在中，，，根据含角的直角三角形的性质可得的值，从而求出的值，根据平移的性质可得的长，在中，，可得，根据勾股定理即可求解； （3）由（1）和旋转的性质可知，且可证是等边三角形，可得的度数，根据，由此即可求解． （1）略 （2）解：∵在中，，， ∴，且， ∴， 由平移知，，， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴，即平移距离为． （3）解：旋转角的度数是△ECD绕点旋转的度数，即的度数， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，图形的平移，图形的旋转的性质等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键． 26． （1）证明： ， 在与中， ， ； （2）①； ②； （3）的面积为． 题目主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线是解题关键． （1）根据全等三角形的判定和性质证明即可； （2）①根据题意得出，将绕点顺时针旋转得到，根据全等三角形的性质及正方形的性质求解即可；②由①得，，再由等腰直角三角形的性质求解即可； （3）连接交于点O，连接．根据等边三角形的判定和性质得出是等边三角形，，再由全等三角形的判定和性质、勾股定理求解即可． （1）略 （2）①四边形是正方形，，     ， 将绕点顺时针旋转得到，如图所示： 则， 四边形和四边形都是正方形 、、三点共线 是等腰直角三角形 ； ②由①得，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）解：如图2，连接交于点O，连接． 四边形是菱形， ， 是等边三角形， 是等边三角形， 在与中 （） 的面积为：． 学科网（北京）股份有限公司 $