28.1 图形的旋转 图形旋转判定与几何证明 专项练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

28.1 图形的旋转 图形旋转判定与几何证明 重点题型归纳 专项练 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册 一、旋转性质求角度 1．如图，将绕点O按逆时针方向旋转后，得到．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，把绕点A逆时针旋转得到．已知，则的度数为______． 3．如图，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C在上． (1)指出旋转中心； (2)若，求出旋转的角度； (3)若，则的长是多少？为什么？ 4．如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，且，求及的度数． 二、旋转生活实例与图形重合辨析 5．如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为（    ） A． B． C． D． 6．“玉兔二号”月球车所需能量主要来自太阳，当太阳光线垂直照射在太阳能板上时，单位时间内接收的太阳能最多．如图所示的太阳能板绕点逆时针方向最少旋转______时，单位时间内接收的太阳能最多． 7．（1）如图1，是锐角内一动点，把绕点逆时针旋转60°得到，连接，这样就可得出，请给出证明过程． （2）图2所示的是一个锐角为30°的直角三角形公园（，），其中顶点、、为公园的出入口，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离最小，求这个最小的距离． 8．如图是一个三叶吊扇的图片，回答下列问题： （1）吊扇正常工作（运转）时，其叶片的转动可以看成是一个旋转运动，试找出它的旋转中心； （2）当第一个叶片转动到第二个叶片的位置时，它转过了多少度？转动到第三个叶片的位置时呢？ （3）在转动过程中，叶片的大小和形状发生变化了吗？ 三、多位置旋转中心作图综合 9．格点在平面直角坐标系中的位置如图所示．和关于x轴对称，将向左平移8个单位，再向下平移2个单位得，再将绕着点按逆时针方向旋转后得． 下列说法：①绕某点旋转一定的角度可得到；②绕某点旋转一定的角度可得到；③与关于某条直线对称．其中所有正确的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 10．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均在格点上，点P是边上任意一点，以点C为旋转中心．把按逆时针方向旋转，则在旋转过程中，点P运动的最短路径长为_________． 11．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将向左平移5个单位，向下平移4个单位，画出平移后的． (2)将绕点O顺时针旋转，画出旋转后得到的． (3)若四边形是平行四边形，则D点坐标为______． 12．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出绕点顺时针旋转后的． (2)已知点为轴上一点，当取得最小值时，的值是 ． 四、旋转 勾股定理线段计算 13．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别是点，，若点恰好落在边上，则点A到直线的距离为（     ） A．1 B． C． D． 14．如图，中，，P是边上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转得，连接．若，，则线段______． 15．如图，点P是正方形内一点，连接，，，将绕点B顺时针旋转到．连接，若A、P、在一条直线上． (1)旋转中心是点______________，旋转角的度数是______________； (2)的度数是______________； (3)若，，求的长． 16．正方形中，，连结，将正方形绕点按逆时针方向旋转（）得到正方形． (1)如图，当点落在的延长线上时，连接，求的度数． (2)如图，当时，求的长． 五、图形旋转判定与几何证明 17．如图，在等腰直角中，，，点D为斜边上一点，将绕点C逆时针旋转得到，则下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．如图，点是等边三角形内部一点，连接、、，且，现将绕点顺时针旋转到的位置，对于下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中结论正确的是__________（填序号）． 19．已知为等边三角形，，分别是边，上的点，且，将绕点旋转至如图所示的位置，连接，交于点． (1)求证：； (2)连接，求证：是的平分线． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 5 9 13 17 答案 C C C B C 1．C 根据旋转的性质可得旋转角，再根据计算即可． 解：∵绕点按逆时针方向旋转后得到， ∴， 又∵， ∴． 2．110 首先，根据旋转的性质得到，再由可得的度数． 解：∵把绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴． 3．(1)旋转中心为点A (2)旋转的角度为 (3) 解：； 理由：由旋转性质知：， ∴． 本题考查了旋转的性质． （1）结合图形找到旋转中心即可； （2）根据题意求得的度数即可求得旋转角； （3）利用旋转的性质得到即可求得答案． （1）解：旋转中心为点A； （2）解：∵， ∴， ∴旋转的度数为； （3）略 4．， 根据旋转的性质可得，，，然后根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可．． 解：根据旋转的性质可知，，， 所以， 所以． 5．C 本题考查了旋转的性质、平角的定义，根据旋转的性质可知，箕面绕点旋转的度数是，再利用平角的定义计算即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 解：由题意可知，箕面绕点旋转的度数是， 箕面与水平地面的夹角为， ， 故选：C． 6． 直接根据题意进行角度运算即可，注意旋转方向． 解：根据题意，当太阳能板绕点逆时针方向最少旋转时，单位时间内接收的太阳能最多． 7． （1）证明：如图1，由旋转得：∠PAP'=60°，PA=P'A， ∴△APP'是等边三角形， ∴PP'=PA， ∵PC=P'C， ∴PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′； （2） （1）根据旋转的性质证明△APP'是等边三角形，即可得出结论； （2）如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，连接PP′，构建直角△ABC'，利用勾股定理求AC'的长，即是点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值． （1）略 （2）解：在Rt△ACB中，∵AB=20，∠ABC=30°， ∴AC=10，BC=， 如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，连接PP′， 当A、P、P'、C'在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小， 由旋转得：BP=BP'，∠PBP'=60°，PC=P'C'，BC=BC'， ∴△BPP′是等边三角形， ∴PP'=PB， ∵∠ABC=∠APB+∠CBP=∠APB+∠C'BP'=30°， ∴∠ABC'=90°， 由勾股定理得： ∴PA+PB+PC=PA+PP'+P'C'=AC'=， 则点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为． 【点睛】本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键，学会利用旋转的方法添加辅助线，构造特殊三角形解决问题． 8．（1）旋转中心为吊扇中间转盘的中心；（2）；（3）没有发生变化 分别利用旋转的性质可依次求解． 解：（1）旋转中心是三片叶片的交点； （2）第一个叶片转动到第二个叶片的位置时，它转过了120度，第一个叶片转动到第三个叶片的位置时，它转过了240度； （3）在转动过程中，叶片的大小和形状不发生变化． 【点睛】本题考查了旋转的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键． 9．C 本题考查的是轴对称图形，旋转图形，根据轴对称图形，旋转图形的意义进行判断即可． 解：如图： ①绕点逆时针旋转90度可得到，故①正确； ②绕某点旋转一定的角度不能得到，故原说法错误； ③与关于直线对称，故③正确． 所以，正确的说法是①③， 故选：C． 10． 画出旋转图形，求出△ABC的三边，根据垂线段最短，判断出CP⊥AB时，点P的运动路径最短，求出此时CP的长，再利用弧长公式计算． 解：画出旋转图形如图： ∵AC2=32+32=18，BC2=42+42=32，AB2=72+12=50， 而点P是AB边上任意一点， ∴当CP⊥AB时，点P的运动路径最短， 此时CP===， ∴点P的最短运动路径为=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换，求弧长，垂线段最短，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 11．(1) (2) (3) （1）根据平移方式可得点的坐标，据此作图即可； （2）根据旋转方式和网格的特点确定点的位置，再作图即可； （3）根据平行四边形两条对角线的中点坐标相同建立方程组求解即可． （1）略 （2）略 （3）解：设点D的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴和的中点的坐标相同， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 12．(1)如图，即为所求； (2)2 （1）根据旋转的性质解答即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，则与轴的交点即为所求的点，再求出直线的解析式，即可求解． （1）略 （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，则与轴的交点即为所求的点． ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入， 得，解得， 直线的解析式为， 令，得， 点的坐标为， ． 13．B 易得，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，作，易得，进而求出的长即可. 解：∵旋转， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 作， ∵， ∴， ∴， ∴，即点A到直线的距离为. 14． 过点作，交的延长线于点D，证明，再利用勾股定理求解即可． 解：如图，过点作，交的延长线于点D，则， 线段绕点P逆时针旋转得， ， ， ， ， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理，得． 15．(1)B； (2) (3)3 （1）根据旋转的定义和正方形进行求解即可； （2）根据旋转的性质和等腰三角形的性质，进行求解即可； （3）根据解析（2）得出，，，，先根据勾股定理得出，再根据勾股定理得出答案． （1）解：∵将绕点B顺时针旋转到， ∴旋转中心是点B，旋转角为， ∵四边形为正方形， ∴， 即旋转角的度数是； （2）解：∵将绕点B顺时针旋转到， ∴，，， ∴， ∴； （3）解：根据解析（2）可得：，，，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 在中，根据勾股定理得： ， 的长为3． 16．(1) (2) （1）根据旋转的性质，正方形的性质，推出为等腰三角形，进而求出的度数，利用角的和差关系即可得出结果； （2）利用勾股定理求出的长，证明为等边三角形即可得出结果. （1）解：∵正方形， ∴， ∵旋转， ∴， ∵正方形，点落在的延长线上， ∴， ∴点落在线段上， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵正方形， ∴， ∴， 连接，则，， 由题意，， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴. 17．C 由等腰直角 三角形的性质，可得，由旋转的性质可知，可判定①正确；根据是等腰直角三角形，不一定是等腰直角三角形，所以与不一定全等，所以与不一定相等，可判定②错误；根据，，可得，即可得，从而得出，可判断③正确；证明，，可得出，可判断④正确． 解：∵，， ∴． 由旋转的性质可知，，，故①正确； ∴是等腰直角三角形， ∵点D为斜边上一点， ∴不一定是等腰直角三角形， ∴与不一定全等，所以与不一定相等，故②错误； ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； 故正确的有①③④共3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 18．①③④ 由题意知旋转角，，，可得是等边三角形；，，可知是直角三角形，有；由知，可得与不全等；，，可得；进而可得正确答案． 解：由题意知旋转角，， ∴是等边三角形 ∴ 故①正确； ∵ ∴ ∴与不全等 故②错误； ∵ ∴ ∴是直角三角形 ∴ 故③正确； ∵， ∴ ∴ ∴ 故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理的逆应用，三角形的内角和定理．解题的关键在于对知识的灵活运用． 19．(1)见解析 (2)见解析 （1）先证明为等边三角形，再利用证明即可； （2）过分别作于点，于点，利用全等三角形的性质，得到即可得证． （1）证明： 为等边三角形，，分别是边，上的点，且， ，为等边三角形， ， ， ； （2）如图，过分别作于点，于点， ， ，， ， 在的平分线上， 即是的平分线． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理．熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．本题是手拉手全等模型，平时善于积累，可以快速解题． 学科网（北京）股份有限公司 $