河南省周口市鹿邑县高级中学校2026-2027学年高二上学期10月阶段性检测数学试题

高二10月阶段性检测 数学 注意事项: 1.答题前,务必将自己的个人信息填写在答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.下列向量中与向量a=(1,2,-1)共线的是 A.(2,4,2) B.(1,-2,1) C.(2,1,-1)》 D.(-2,-4,2) 2.已知直线l的方向向量为a=(1,2,1),平面a的法向量为n=(2,-1,1),则 A.l∥a B.l⊥a C.l∥a或lca D.l是a的斜线 3.已知向量a=(0,-2,0),b=(1,0,1),若(ka+b)1(a-b),则k= A-分 B号 C.-2 D.2 4书架上有中文书和英文书共50本,从中随机拿一本,拿到英文书的概率为号,则中文书有 A.40本 B.30本 C.20本 D.10本 5.如图,M为平行六面体ABCD-A1B,C,D,中面对角线A,C1与B,D,的交点.若 D AB=a,AD=b,AA=c,则MB= B.-20+2b-e D C.za-zb-c D.2a-26+e 6.在某次阅兵彩排演练中,A,B,C三个方队通过天安门广场的先后次序是随机的,则A先于B通过的概 率为 A行 B号 c n号 7.已知A(1,0,1),B(2,2,3),C(1,1,1),若平面 经过点A,且点B,C在平面 内的射影重合,则点B到平 面x的距离为 A.705 B.6 c. 29 数学(B)第1页(共4页) 扫描全能王创建 8.如图,正四面体P-ABC的外接球球心为M,点P在底面ABC上的射形为G, 点D,E,F满足P元=A风,P庄=uP成,币=P元,其中ue(0,1),若PG与 平面DEF的交点正好是M,则A+ 的最小值为 B.1 as n号 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对 的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.从装有3个白球和2个红球的箱子中随机摸出2个球,则下列为互斥事件的是 A.“至少有1个红球”与“都是红球 B.“至少有1个白球”与“都是红球” C.“恰有1个红球”与“恰有1个白球” D.“都是白球”与“都是红球” 10.以下四个命题中正确的是 A.在z轴上的投影向量的模为0的空间向量都共面 B.若a b=a c,且a≠0,则b=c C.若非零向量a,b,c满足a⊥b,b∥c,则aLc D.若1a,b,cl是空间的一个基底,则1a+b,b+c,c+a也是空间的一个基底 11.已知正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为1,点M满足i=店+入币+u不,其中入,4e[0,1],则下列 说法正确的是 A.四面体A,D,DM的体积为定值 B.直线AM与平面BB,C,C所成角的正切值的最小值为1 C若入=以,则二面角M-A,D-D,的余弦值的最大值为号 D.若A+u=1,则MD+MC,的最小值为√2+√2 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知向量a=(1,2,3),b=(2,-1,1),c=(-1,1,2)共面,则实数1的值是 13.甲、乙两人进行象棋有奖比赛,约定:一共下两局,只有当乙两局都获胜时,乙才获得奖品,否则就是甲获 得奖品.已知每局比赛甲、乙获胜的概率分别为分,号,没有和棋且各局比赛相互独立,则甲获得奖品的 概率为 数学(B)第2页(共4页) 扫描全能王创建 14.如图,在四面体A-BCD中,AB=AD=2,BC=CD=BD=2V3.设异面直线AB与CD所成的角为a,当二 面角A-BD-C的大小在[号,]内变化时,csa的最大值是 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)》 一个盒子中有3个绿球,m个红球,这些球除颜色外完全相同. (1)若从盒子中随机抽取1个球,抽到红球的概率为子,求: (2)若m=2,采用不放回的方式从盒子中依次随机抽取2个球,求第二次抽到的球是绿球的概率。 16.(15分) 如图,在三棱锥C-AOB中,OA,OB,OC两两互相垂直,OA=OB=2,OC=4,M为OB的中点,N为AC的 中点 (1)求MN的长; c (2)求点O到直线MN的距离; (3)若点P在线段BC上(与端点不重合),且C=,当APLMN E时,求实数A的值 N …0M 数学(B)第3页(共4页) 器 扫描全能王创建 17.(15分) 某校为培养学生的劳动意识,开展了“劳动小能手"实践活动.活动结束后,学校根据学生的劳动时长及 表现给予相应的劳动实践积分.现从该校随机抽取50名学生,调查其劳动实践积分数据,整理如下表: 劳动实践积分 人数 3 10 2 20 1 15 0 5 (1)从该校全体学生中随机抽取1名学生,估计这名学生的劳动实践积分不低于2分的概率。 (2)假设每名学生的劳动实践积分互不影响,从该校全体学生中随机抽取2名学生. ( )估计这2名学生的劳动实践积分之和为2分的概率; ( )估计这2名学生的劳动实践积分之差的绝对值不低于1分的概率. 18.(17分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=4.E为PC的 中点,F为BC的中点。 (1)证明:平面DEF∥平面PAB; (2)求二面角F-DE-P的正弦值; (3)设点G在PD上,且心=号P币,试判断A,B,E,G四点是否共面,并说明理由 19.(17分) 如图,在四面体ABCD中, ABC和 ACD均为正三角形,二面角B-AC-D的大小为120 ,AC=2,点P 满足成=成,其中Ae[0,2 (I)若入=子,证明:平面PAC1平面ACD, (2)求Pi P元的最小值; (3)若二面角1-PC-D的正弦值为求x 数学(B)第4页(共4页) 扫描全能王创建 数学(B)答案 一、选择题 1.答案D 命题透析本题考查向量共线, 解析平行向量坐标成比例,选项D中(-2,-4,2)=-2 (1,2,-1)=-2a. 2.答案D 命题透析本题考查直线的方向向量与平面的法向量 解析a n=2-2+1=1≠0,说明l不平行于x也不在x内.又a与n不共线,说明l不垂直于,所以l是a 的斜线. 3.答案B 命题透析本题考查向量垂直的坐标表示. 解析由题意知,ka+b=(1,-2k,1),a-b=(-1,-2,-1).因为(ka+b)⊥(a-b),所以(ka+b) (a-b)= -1+4h-1=0,解得k=2 4.答案B 命题透析本题考查频率与概率。 解析 由题可知,英文书有50 号=20本,所以中文书有30本。 5.答案C 命题透析本题考查空间向量基本定理 解析由题意知,=+店=之0,瓜+有=号i-=之(店-动-,即-之a-b-c 6.答案C 命题透析本题考查古典概型的概率计算, 解析三个方队的次序有(A,B,C),(A,C,B),(B,A,C),(B,C,A),(C,A,B),(C,B,A),共6种情况,其中A 先于B通过的有(A,B,C),(A,C,B),(C,A,B),共3种情况,故所求概率P=三= 6=2 7.答案A 命题透析本题考查利用空间向量计算点到平面的距离, 解析因为B,C在平面&内的射影重合,所以BC⊥&,即C=(1,1,2)是平面a的一个法向量.又AB=(1,2, 2),所以店.c庙=1 1+2x1+2x2=7,C1=VP+1+2=6,故点B到平面a的距离为d=2=76 66 一1一 扫描全能王创建 8.答案D 命题透析本题考查空间向量的线性运算, 解析由题意知,G是 ABC的重心,所以P底=成+花-i+号 (店+衣=i+行(办+店+办+ P心)=了(P+P成+P心.由M是正四面体的外接球球心,可知其也是内切球的球心,所以M心=P心,所以 pi=子心=i+咕+p庇已知可得i-防,咕=p吃,p心=吨,所以成=p成+p吨+ 4 专成因为MD,8F因点共面,所以玩+女+骨=1,整理得大+止=子所以A+=号(A+) (分+)-号(1+六+片+)小号(2+2)=号,当且仅当入=“=专时取等号. 二、选择题 9.答案BD 命题透析本题考查互斥事件的定义, 解析对于A,“至少有1个红球”中包含“都是红球”,故A错误; 对于B,“至少有1个白球”与“都是红球”不可能同时发生,所以它们互斥,故B正确; 对于C,“恰有1个红球”与“恰有1个白球”都等价于“1个白球1个红球”,故C错误; 对于D,“都是白球”与“都是红球”不可能同时发生,所以它们互斥,故D正确。 10.答案ACD 命题透析本题考查空间向量的基本概念与性质。 解析对于A,在z轴上的投影向量的模为0的空间向量都在Oy平面内或与其平行,所以它们都共面,故A 正确 对于B,由a b-a c=0,得a (b-c)=0,这说明a⊥(b-c)或b=c,故B错误. 对于C,由a⊥b,b∥c,可得a⊥c,故C正确, 对于D,设x(a+b)+y(b+c)+z(c+a)=0,整理得(x+z)a+(x+y)b+(y+z)c=0,因为a,b,c}是一个基 底,所以x+z=x+y=y+z=0,解得x=y=z=0,所以|a+b,b+c,c+a构成一个基底,故D正确 11.答案ACD 命题透析本题考查立体几何动点问题以及空间向量的应用. 解析由AM=A店+入A+uAM,A,u∈[0,1],可知点M在正方形BB,C,C内(含边界)运动. 对于A,因为点M在平面BB,C,C内运动,平面BB,C,C∥平面A1D,D,所以点M到平面A1D,D的距离为定值, 故四面体A,D,DM的体积为定值,故A正确. 对于B,设直线AW与平面B,CC所成的角为Q因为AB1平面B,CC,所以am0=品,其中AB=1,M≤ BC,=反.所以m0≥能-受,即直线M与平面服,CC所成角的正切值的最小值为号,放B错误 2 扫描全能王创建 对于C,若A=4,则点M在线段BC,上运动.当二面角M-A,D-D,最小时,其余弦值最大,此时点M与点C 重合,只需求二面角C,-A,D-D,的余弦值即可.如图,取A,D的中点N,连接C,N,D,N,易知C,N⊥AD,DN⊥ 40,则上C0为放二面角的平面角,又GN-受AN:号所以∠G02器-停故c正流 B 对于D,若入+4=1,则点M在线段B,C上运动.如图,将 B,C,C沿着直线B,C翻折到 B,PC的位置,使得 点P在平面DAB,C内,MD+MC,的最小值即为此时的DP.在 DCP中,由余弦定理,得DP2=CD2+CP2- 2CD CPcos∠DCP=1+1-2 1 1 cos135 =2+√2,即DP=√/2+√2,故D正确. 三、填空题 12.答案3 命题透析本题考查空间向量的共面 解析注意到1-2=-1,3-1=2,可知c=a-b,所以1=2-(-1)=3. 13.答案司 命题透析本题考查对立事件及概率的计算. 解析由题知乙获得奖品的概率为子 子=号,所以甲获得奖品的概率为1-号-号 5 14.答案3 8 命题透析本题考查利用空间向量计算二面角与异面直线所成的角。 解析在 ABD中,由余弦定理,可得∠BAD=120取BD的中点0,连接A0,C0,则A0⊥BD,且A0=AB= 1. BCD为等边三角形,边长为2万,则c01BD,且c0=9x2万=3.以0为原点,0B为轴,0C为y轴建 立如图所示的空间直角坐标系,则B(5,0,0),D(-√3,0,0),C(0,3,0).设二面角A-BD-C的大小为0.点 A在0z平面内转动,A(0,cos0,sin0),AB=(5,-cos0,-sin0),1A店1=2,ci=(-V5,-3,0),1C1= 2aca质.-g3引-810-山因为0号],所以m9e[-分引当m0 IABICDI 43 -2时,casa取得最大值,(csa)m=35 8 一3一 扫描全能王创建 四、解答题 15.命题透析本题考查古典概型. 解折()从盒子中随机轴取1个球,抽到红球的概率为3平号 2 獬得m=6.…(5分) (2)设3个绿球分别为A,B,C,2个红球分别为d,c. 采用不放回的方式从中依次随机抽取2个球,不同情况有 AB,AC,Ad,Ae,BA,BC,Bd,Be,CA,CB,Cd,Ce,dA,dB,dC,de,eA,eB,eC,ed. 共20种,… (9分) 其中第二次抽到的球为绿球,即第二个字母为A或B或C的情况共有12种,…(11分)》 故第二次轴到的球是绿球的概率为号-号 …(13分) 16.命题透析本题考查空间向量的应用. 解析(1)以0为原点,0A,0B,0C所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,…(1分) N B 则0(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,4).… (2分) 因为M为OB的中点,所以M(0,1,0).因为N为AC的中点,所以N(1,0,2) 所以M=(1,-1,2).… (4分) 所以M=2+(-1)2+2=6. (5分) (2)连接ON.由已知得M0⊥平面A0C,所以M0⊥ON. (6分) 在Rt 0MN中,0M=1,0N=5,MW=6,…(7分) 所以点0到直线MN的距离为 5=30 6 6 (9分) 4 扫描全能王创建 (3)因为点P在线段BC上,且铝-A,所以-A成 又0i=(0,2,0),B武=(0,-2,4),所以0币=0i+B=0i+AB武=(0,2-2,4).…(11分) 又0i=(2,0,0),所以4市=0-0=(-2,2-2A,4). …(12分)》 因为AP⊥MN,所以A.M=0, 即-2-(2-2入)+8入=0,即10入-4=0,解得入= 5 (15分) 17.命题透析本题考查古典概型的概率计算、相互独立事件的概率乘法公式. 解析(1)由题表可知从样本中随机抽取1名学生, 其劳动实践积分不低于2分的频率为10+20.3 50 5 一估计这名学生的劳动实践积分不低于2分的概率为 5 …(4分) (2)由题可知,芳动实践积分为0分1分,2分3分的概序分别为品-0总-品器-号号-行 …(6分)》 (1)这2名学生的劳动实践积分之和为2分的情况有2人都是1分或1人0分、1人2分,共2种. “估计这2名学生的劳动实践积分之和为2分的概率为品 ”品+0 号+号 0-品 …(10分) ( )随机抽取2名学生,其积分之差的绝对值不低于1分的对立事件是积分之差的绝对值低于1分,即为 0分,所有的情况为10分,0分},11分,1分1,12分,2分},13分,3分}, 概率为 品+品 +号 号+ 兮品 …(13分) 估计这2名学生的劳动实我积分之差的绝对值不低于1分的概率为1一品一石 …(15分)》 18.命题透析本题考查利用空间向量计算二面角以及判断四点共面. 解析(1)在 PBC中,因为E为PC的中点,F为BC的中点,所以EF∥PB. 因为EF丈平面PAB,PBC平面PAB,所以EF∥平面PAB.…(2分) 因为BC=4,F为BC的中点,所以BF=2BC=2 又因为AD∥BC,AD=2, 所以AD∥BF且AD=BF,所以四边形ABFD为平行四边形,所以DF∥AB. 因为DF￠平面PAB,ABC平面PAB,所以DF∥平面PAB.…(4分) 又因为EFODF=F,EF,DFC平面DEF, 所以平面DEF∥平面PAB.…(5分) (2)连接AF,易知AF∥CD,所以AF,AD,AP两两互相垂直.如图,以A为坐标原点,以AF,AD,AP所在直线分 别为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系.…(6分) 5 扫描全能王创建 由已知可得A(0,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0),B(2,-2,0),P(0,0,2),F(2,0,0),E(1,1,1). 设平面DEF的法向量为m=(x,y,z),因为D2=(1,-1,1),DF=(2,-2,0), DE.m=x-y+z=0 所以 令x=1,得m=(1,1,0).…(8分) D市.m=2x-2y=0, 设平面PDE的法向量为n=(p,9,r),因为D庐=(0,-2,2), D.n=-2q+2r=0, 所以 令g=1,得n=(0,1,1). (10分) D成.n=p-g+r=0, 所以ea(m识=子 所以二面角P-DE-P的正弦值为5, (12分) (3)由已知,得A=(2,-2,0),A2=(1,1,1),A3=(0,0,2),Pi=(0,2,-2). 庇=号 ,可得花=市+元=亦+号 =(0,号,) …(13分)》 假设A,B,E,G四点共面,则存在实数x,y使得Ad=xA店+yA应 …(14分)》 2x+y=0, 4 所以 -2x+y=1 3 解得 2 y=3 y=3, 所以花-兮店+号花,即AB,E.G四点共面…(17分) 19.命题透析本题考查空间向量在立体几何中的应用. 解析(1)取AC的中点O,连接B0,D0,PO. 因为 ABC和 ACD均为正三角形,所以D0LAC,B0⊥AC.又D0∩B0=O,所以AC⊥平面BOD. 又OPC平面BOD,所以AC⊥P0.…(1分) 因此∠BOD是二面角B-AC-D的平面角,∠POD是二面角P-AC-D的平面角. 所以LB0D=l20 .…(2分) 再结合已知条件,可得B0=D0=√5,∠OBD=∠ODB=30 ,BD=3. —6— 扫描全能王创建 由P成=兮成,得PD=号BD=2,在 P0D中,由余弦定理,得P0=1.…(4分) 所以PD2=P02+D02.所以∠P0D=90 , 即二面角P-AC-D为90 .故平面PAC⊥平面ACD. (5分) (2)以0为原点,OA的方向为x轴的正方向,OB的方向为y轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系, 则410,0),80,5,0,C(-1,0.0),0.-9) …(6分)》 所u-(0,3-引m-o,39威=1,-50成=(-1,-0 所=席+-(1,3-万,-之小,庇=席+成-(-1,-5,-是 所以减.=-1+(3-+是-9-9M+2=9(A-)-子 故当A=2时,P P心取得最小值,且最小值为-4 ………(9分) (3)设平面APC的法向量为m=(x,y,z), 由2)知,减-(1,3-,-2=(-20.0, m:成=x+(3-=0, 令y=5入,可得m=(0,5入,3-2).…(11分) m 花=-2x=0, 设平面DPC的法向量为n=(p,9,r), 2知,d-(-1,,-2i=(o,39,-2)月 ,-p+-是=0, 则 令q=1,可得n=(-5,1,N5). …(13分) …成-识-子-0, 由可惯品品行 () 得16入2-16入+3=0,…(15分) 解得入=(A=子舍去) …(17分) 一7一 扫描全能王创建