河南开封市尉氏县第一高级中学2026-2027学年第一学期高二年级第一次月考数学试卷

2026-2027 学年第一学期高二年级………………………………密………………………………封………………………………线……………………………… 数学答题卡 __________________ __________________ __________________ __________________ 姓 名：___________________________________________ 准考证号： ( 贴条形码区 )注意事项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。学校 班级 姓名 准考证号 ( 缺考 此栏考生禁填 标记 )3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12 ． ____________________ ( _____ )13. 14． _______________ _____ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15 ．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 高一数学 ) ( 高一数学 ) ( 第 2 页（共 6 页） ) ( 第 1 页（共 6 页） )高一数学 第 3 页（共 6 页） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区 域的答案无效！ 19 ．（ 17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区 域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17 ．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 高一数学 第 6 页（共 6 页） )高一数学 第 4 页（共 6 页） 高一数学 第 5 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2026-2027学年第一学期高二年级 数学答题卡 姓 名 准考证号 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 岸 州 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 坦 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 : 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 ·:··:·:··:·.:··:·.:· 5.正确填涂 一、 选择题（每小题5分，共40分）】 1 [A][B][C]D] 5 [A][B][C][D] .· 2A]B][C]D] 6 [A]B][C]D] 3 [A][B][C][D] 7 [A][B][C][D] 4 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 痛 二、 选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A[B][C]D] 10[A][B][C[D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 带 12 13 阳 14. 高一数学第1页供6页) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 高一数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) C B B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 高一数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.15分) ! B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 高一数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 高一数学第5页（供6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.7分) A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 高一数学第6页（共6页）2026-2027学年第一学期高二年级（数学）答案 题号 1 2 3 4 6 8 9 10 答案 B A B A A C ABC BD 1.C 【分析】将方程化为y=a(x-2)-x+3,令x-2=0,即可求解 【详解】因为y=a(x-2)-x+3,令x-2=0,解得x=2,y=-2+3=1, 所以直线y=(a-1)x+3-2a都经过平面内一个定点(2,1). 2.B 【分析】根据空间基底的定义及空间向量共面定量一一判断即可. 【详解】由空间基底的定义可知只有非零向量ā，b,c不共面时才能构成空间中的一组基底 对于A:因为ā+c=2b,所以非零向量ā、b、c共面，故不能作为一组基底，故A错误； 对于B:因为a.b=b.c=ca=0,所以a1b、61c、c1a, 所以非零向量ā、b、c不共面，可构成空间的一组基底，故B正确； 对Fc令a=a0、6=@uo0叭、-9.0 满足d=6==1, 但是-+5，所以a、万，c共面，放不能作为一组整底，放C错误： 对于D:因为ā+b+c=0,所以ā=-b-c,所以a、b、c共面，故不能作为一组基底，故D错误； 故选：B 3.A 【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示BM即可. 详钢]由器点得-网+及M=从+0-网=-++d 2 4. 【分析】设点B(x,y,z)位于平面α内，可得2x-y+z+1=0,依次检验选项即可 【详解】设点B(x,y,z）位于平面a内，则AB=(x-1,y-2,z+1),因为平面x的一个法向量=(2,1,1)， 所以AB.方=2x-2-y+2+z+1=2x-y+z+1=0, 即若点B(x,y,z)位于平面u内，满足2x-y+z+1=0, 对于A,若B(0,2,-1),代入2x-y+z+1=-2-1+1=-2,不为0，故A不正确； 对于B,若B(0,2,1),代入2x-y+z+1=-2+1+1=0,故B正确； 试卷第1页（共1页） 2026-2027学年第一学期高二年级（数学）答案 对于C,若B(2,0,1),代入2x-y+z+1=2×2+1+1=6,不为0，故C不正确； 对于D,若B(1,1,1),代入2x-y+z+1=2-1+1+1=3,不为0，故D不正确； 5.A 【分析】由题意先求出l∥1，时的a的值，然后根据充分不必要条件的定义判断即可. 1 【详解】由题设l∥l,,可得2a(3a-1)=-a,解得a=0或a= 6 当a=0时，4：x=1,4:x=-1,此时l/2,当a=时，4：3x+y-3=0,2:3x+y+6=0,此时4/2， 所以a-名是4%的充分不必要条件 故选：A. 6.A 【分析】设出向量p在基底{ā+b,ā-b,c下的表达式，并整理成向量p在基底a,b,c下的表达形式，由 对应系数相等，可解得系数， 【详解】由题意可得p=-a+2b+3c,设p=m(a+b)+n(a-b)+tc, -a+26+3c=m(a+b)+n(a-b)+ic=(m+n)a+(m-n)b+ic, m= m+n=-1 2 则有mA=2,解得a=号即D-+列-6-列+3， t=3 t=3 即向量p在基底{a+6,d-6,下的斜坐标为(23). ,13 故选：A 7.C 【分析】利用空间向量基本运算，AC用BA,BD,DC表示出来，平方即得答案 【详解】AC=AB+BD+DC=-BA+BD+DC, 平方得：AC=(-BA+BD+DC=B+BD+DC2-2BA.BD-2BA.DC+2BD.DC, 因为B1D,DLD,所aADC= 所以AC2=1+4+4-0-2x1×2×co 2π+0=11， 故AC=VI 故选：C 答案第2页（共12页） 2026-2027学年第一学期高二年级（数学）答案 8.C 【分析】根据两条直线方程求出A,B坐标，再依据两直线垂直得出PA+PB=AB,进而利用基本不等 式即可 【详解】由x-2my=0以及(2x-6)m+y-4=0得A(0,0),B(3,4), 因1×2m+(-2m)×1=0,则两条直线垂直， 则PA+PB=AB=32+42=25, 1 PB 4PA 5+2 25 VIPAP PB 石5+4到5 等号成立时Pg-2P=50 , 故P+P的最值是 1 5 故选：C 9.ABC 【分析】A,通过向量共线的性质设ā=1AB求解B,通过投影向量求解公式求解.C,利用法向量，通过距 离公式求解D,根据线面角的向量求法可求得 【详解】因为m⊥AB,所以x-2-2=0,解得x=4. 对于选项A,若AB与a共线，设ā=1AB,则t=4九，n=-,3=-2,解得九=-3,1=-12，n=3,所 以t+n=-9,正确 -4-3+1 对于i项B投影油为PoP4品=P远泥】 4B=-14B V4+(-2+(-2 3 正确 对于选项C,d , PA-m -1+6-2 对于选项D,因为sina= 3 PAm V(-1)}+32+(-1P+22+22-311, 所以cosa=V-(sina=i0, 11’ 错误 10.BD 【分析】对于A,求得k,≤1，即可判断；对于B,由题意可得-√5<tanu≤1，求出a的范围，即可判断； 答案第3页（共12页） 2026-2027学年第一学期高二年级（数学）答案 对于C,求得直线/的斜率为，从而可得其倾角为？，即可判断：对于D,由题意可得m0[。 求出其倾斜角的取值范围，即可判断： 【详解1对于A,太-m-1-m≤1， 1-2 故直线I的斜率的取值范围为(-∞，]，故A错误； 对于B,因为直线1的斜率为k,k∈(-V3,1], 即k=tana,a∈[0，π)， 即-<mas1,所以ae( 故B正确； 对于C,由题意可得，直线1的斜率为！=5 π3 sin 3 又倾斜角的范围是[0，π)， 所以直线/的倾斜角为？，故C错误： 对于D,直线2 xcosa-y-3=0的斜率为2cosa, 因此2 cos∈1，V5], 设直线的倾斜角为0， 则有tan∈[l,5], 由于0∈[0，)， 所以[引 即倾斜角的取值范围是 ππ 4’3 故D正确 11.BD 【分析】对于A:根据直线垂直结合充分、必要条件分析判断；对于B:由题意可得k=tan0=-sina∈[-l,1】, 进而可得倾斜角的范围；对于C:根据直线平行结合充分、必要条件分析判断；对于D：根据图形结合斜 率公式分析求解， 【详解】对于选项A:当a=-1时，直线x-y+1=0与直线x+y-2=0斜率分别为1，-1， 斜率之积为-1，故两直线相互垂直，即充分性成立； 答案第4页（共12页） 2026-2027学年第一学期高二年级（数学）答案 若“直线a2x-y+1=0与直线x-y-2=0互相垂直”， 则a2+a=0,故a=0或a=-1, 所以得不到a=-1,即必要性不成立，故A错误； 对于选项B:由直线平行得 a(a+1)=2 a≠a2 2,解得a=-2, 所以a=-2”是“直线ar+2y+a2=0与直线x+(a+1)y+1=0互相平行的充要条件，故B正确； 对于选项C:直线的倾斜角为0，则k=tan0=-sina∈[-l,1], 因为0≤0<元，月 以oe[[经 故C错误； 对于选项D:如图所示： B 可得k:=,k=山，结合图多知k≤1，故D正确： 故选：BD 12.2x-y=0或x-y+2=0 【详解】设直线y=:+b,截距分别为b和-b 因为截距互为相反数，所以b=b 若b=0,y=x,又过点(2,4)，所以k=2,直线为2x-y=0. 若b≠0，解得k=1,y=x+b,所以b=2,直线为x-y+2=0 13.√2 【分析】在线段PD上作一点N,线段AB上作一点F,使得四边形ANMF是矩形，由相关性质可将点M 到直线AB距离最小值转化为点N到点A距离最小，最后计算可得 【详解】因为点M在线段PC上运动，设PM|=PC,A∈[O,, 在线段PD上作一点N,使得PN=2PD, 在线段AB上作一点F,使得AF=2AB如图所示， 答案第5页（共12页） 2026-2027学年第一学期高二年级（数学）答案 由三角形性质可知，在△PDC中，MNIIDC,且MW=DC, 因为底面ABCD是矩形，所以AB=|DC,所以MNIIAF且MN=AF, 所以四边形ANMF是平行四边形， 因为PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD, 所以PA⊥AB,因为AB⊥AD, 因为PAOAD=A,PA,ADC平面PAD, 所以AB⊥平面PAD, 因为ANc平面PAD,所以AN⊥AF, 所以四边形ANMF是矩形， 所以点N到点A的距离即为点M到线段AB的距离 因为PA=AD=2,所以当N为PD中点时，AW最小， 即aN=)PDl-)Pf+aD-2, 所以点M在线段PC上运动，点M到AB距离最小为√2 故答案为：√2 14.v6 6 【分析】根据向量的线性运算可表示出AC,BD,根据向量数量积的定义和运算律可求得AC,BD,利用 向量数量积的定义和运算律可求得AC·BD,由向量夹角运算求得cos(AC,BD,由此可得所求余弦值， 【详解】因为BD=BA+AD+DD=-AB+AD+AA=-a+b+c, 所以BD=（-a+b+c=+b2+c2-2a-b-2ac+2bd =m+m+m-2x0-2xm×》2xm》3m, 所以BD=V3m,又AC=AB+AD=a+b, 所以AC2=a+2a.6+6=2m2,所以4C=V2m, 答案第6页（共12页） 2026-2027学年第一学期高二年级（数学）答案 所以AC.BD=(a+b)(-a+i+c=-+b2+ac+i.d =-m2, AC.BD m2 所以cos(AC,BD》= 6 ACBD V3mx√2m6' 所以异面直线AC与BD,所成角的余弦值是√V6 故答案为： 6 1.(0a+2=32,cosa,=-0 10 (2)5 【分析)(1)由向量夹角公式即可求解； (2)由向量垂直的坐标表示即可求解 【详解】(1)因为A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,4), 所以a=AB=(-1,-1,0),b=AC=(（1,0,-2), 所以a+26=4,-1,-4),a+2=VP+(-12+(-42=18=32, m6两的25酒 2)kā+b=k(-1,-1,0)+(1,0,-2)=(1-k,-k,-2), 因为向量ka+b与b互相垂直， 所以ka+bb=(1-k)×1+(-k)×0+(-2)×(-2)=0, 解得k=5.所以k的值是5. 16025 5 (2310 10 【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量法求点到面的距离； (2)利用向量法求平面与平面的夹角的余弦，进而可得解. 【详解】(1)根据题意以C为原点，CA,CB,CC为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则A2,0,0),B(0,2,0),D(2,0,1),B(02,2),C(0,0,2), 所以AD=(0,0,1),CD=(2,0,-1),CB,=(0,2,0), 答案第7页（共12页） 2026-2027学年第一学期高二年级（数学）答案 设平面B,CD的法向量i=（x,y,z), 所以 .CD=0即2r-=0, n.CB=0.2y=0. 令x=1,则z=2,所以i=(1,0,2), 点A到平面BC,D的距离d= AD.i2_25 5 5 A B (2)设平面ABB,A的法向量m=（a,b,c), AB=（-2,2,0）,BB=(0,0,2) mB=0即{ -2a+2b=0, 所以 m.BB =0. 2c=0. 令a=1,则b=1,所以m=(1,1,0), 设平面B,CD与平面ABBA夹角为0， cos0=cos(m,)= m 1V10 m同 V2510 所以sin0 10 310 10 10 即平面BCD与平面ABB4夹角的正弦值为30 10 17.(1) :PA⊥底面ABCD,ABC平面ABCD,ADC平面ABCD, PA⊥AB,PA⊥AD,在矩形ABCD中AB⊥AD, 以A为坐标原点，如图建立空间直角坐标系Axz, 则A(0,0,0),P(0,0,4),C(3,4,0),E(0,2,2), 答案第8页（共12页） 2026-2027学年第一学期高二年级（数学）答案 则AE=(0,2,2),PC=(3,4,-4) .AEPC=0×2+2×4+2×(-4)=0得证：AE⊥PC (24V47 41 (3)769x 9 【分析】(1)在四棱锥P-ABCD中，证明三条直线两两垂直，然后建立空间直角坐标系，得到点坐标和向 量坐标，由向量的数量积得证线线垂直； (2)设DF=DP得到点F,然后得到AF，由AF⊥DP得到对应向量的数量积建立方程后解得！.然后 设平面法向量，利用向量的数量积求得平面AEF法向量，然后由向量的数量积求得两个平面的夹角的余弦 值； (3)设三棱锥P-EDC的外接球球心坐标为(a,b,c),半径为R,建立方程组解得球的半径，然后求得表面 积 【详解】(1)略 (2)则D(3,0,0),∴.DP=（-3,0,4),AE=(0,2,2) 设DF=uDP=（-34,0,44),则F(3-3,0,44),.AF=(3-34,0,4四 :AF⊥DP,÷.AF.DP=-3×(3-34)+0×0+4×4μ=0 .4= 设平面AEF的法向量为m=(x,,乙)， 则 +站=0职4=4，得=3 m·AE=2y+2z1=0 m.4F=483 25戈 乃=4 ·.平面AEF的一个法向量为m=(3,4,4) 易知平面ABCD的一个法向量为i=(0,0,1) 答案第9页（共12页） 2026-2027学年第一学期高二年级（数学）答案 设平面AEF与平面ABCD的夹角为O, :0∈0， cos0=eos(m训= m.n 4 441 2； m同V32+42+(42×141’ :平面AF与平面ABCD夹角的余弦值为4y4 41 3)设三棱锥P-EDC的外接球球心坐标为(a,b,c),半径为R, 25 a2+b2+(c-4)2=R a=- 6 则a-3+6+c2=R2 b=2 a-3+6-4+c2=R,解得 =4 a2+(b-22+(c-2)2=R2 R0=769 36 三棱锥P-EDC外接球的表面积为4r×769_769r 369 18.(I)证明：因为平面ABC⊥平面ACEF,CEC平面ACEF,平面ABC∩平面ACEF=AC,AC⊥CE, 所以CE⊥平面ABC,又ABC平面ABC, 所以CE⊥AB,又BC⊥AB,CE∩BC=C,CE,BCC平面BCE, 所以AB⊥平面BCE (2)4 【分析】(1)根据面面垂直的性质可得CE⊥平面ABC,结合线面垂直的性质与判定定理即可证明； (2)建立空间直角坐标系，设EF=a,利用空间向量法求出平面BEF的法向量，求出线面角，建立关于a 的方程，解之即可求解 【详解】(（1)略 (2)如图，过点B作BO⊥AC于点O,则AB×BC=BO×AC, 在△ABC中，AB=VAC-BC-25,所以B0=4B.BC=5,得OC=VBC-BO- AC 过点C作z轴1平面ACEF,建立如图空间直角坐标系C-xz, 设EF=a,则A(4,0,0),B1,0,3,E(0,2,0,F(a,2,0), 所以AF=(a-4,2,0）,BF=(a-1,2,-3,EF=(a,0,0), 答案第10页（共12页） 2026-2027学年第一学期高二年级（数学）答案 设平面BEF的一个法向量为n=(x,y,z), n.BF=(a-1)x+2y-V3z=0 则 n.EF=ax=0 令y=V3,则x=0,z=2,所以=(0,3,2， AF.n 所以sin0=cos AF,方= 2√3 √21 AF同V2+(a-4}7 7 解得a=4,即EF=4. 19.(1)证明：三棱柱ABC-AB,C中，四边形AACC为平行四边形， 由AC=AA知，四边形AACC为菱形 连接AC,则AC⊥AC,又AB⊥AC且AC∩AB=A,AC,ABc平面ACB, .AC⊥平面ACB, :BCc平面ACB,则AC⊥BC. 又∠ACB=90°，即BC⊥AC,而AC∩AC=A,AC,AC,C平面AACC, .BC⊥平面AACC,而BCc平面ABC, .平面AACC⊥平面ABC. C A B (2在线段AC上存在点P,满足P=AC,使平面BAP与平面4PC夹角的余弦值为N3 4 【分析】(I)先证明AC⊥平面ACB,推出AC⊥BC,即可证明BC⊥平面AACC1,结合面面垂直的判定 定理，即可证明结论； (2)建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，可求平面BAP与平面APC的法向量，根据空间角的向量求 法，即可求解 【详解】(1)略 (2)以C为坐标原点，CA,CB所在直线分别为x,y轴，在平面AACC上过C且垂直于AC的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 答案第11页（共12页） 2026-2027学年第一学期高二年级（数学）答案 :AC=A4=4,BC=2,∠AAC=60°， .C(0,0,0),B(0,20),A4,0,0),4(2,0,23) 设在线段AC上存在一点P(异于点A,C),满足AP=2AC(0<1<1), 使平面BMP与平面4PC夹角的余弦值为5，则P=(40,0)=(4,0,0), ∴BP=BA+AP=(4-2,0)+(-42,0,0)=(4-42,-2,0), 4P=4A+AP=(2,0,-23)+(4,0,0)=(2-42,0,-23): 设平面BAP的法向量为m=（x,,乙)， m-BP=(4-42)x-2y=0 由 1m.4P=2-4)x-2N32=02取x1,则%=2-21，云=122 8m-2-21 平面APC的一个法向量为i=(0,1,0). 由cos成，= m.n 2-2元 4,解得1-4或=3 4 网列同 V+2-2a9+0-20x1 3 1 3 因为0<2<1，则2= 故在线段4C上存在点P,满起AP-4C,使平面B4P与平面4PC夹角的余弦值为日 答案第12页（共12页）2026-2027学年第一学期高二年级（数学）试卷 (时间：150分钟分值：120分) 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1.对任意实数a,直线y=（a-1)x+3-2a一定经过点（) A.(0,) B.(1,2) C.(2,1) D.(3,0) 2.下列可使非零向量ā，6，c构成空间的一个基底的条件是（） A.a+c=2b B.a.b-b.c-c-a-0 c.l==d=1 D.a+b+c=0 3.如图，在平行六面体ABCD-AB,CD,中，M为AC与B,D,的交点.若AB=a,AD=b,AA1=c,则下列 向量中与BM相等的向量是（) 1→1 A.-2a+26+ 2 2a+b+c 2 C.-1a-1b+e 2、 2 D. 4.在空间直角坐标系内，已知平面a经过点A(1,2,-1),且平面的一个法向量i=(2,-1,1),则下列各点 中，位于平面a内的是（) A.(0,2,-1) B.(0,2,1) C.(2,0,1) D.(11,1) 5.已知直线：x+2ay-1=0和直线，：(3a-)x--1=0,则a=是4∥l,的（) 6 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.若{，e,C}是空间向量中的一个基底，那么对任意一个空间向量a,存在唯一的有序实数组(x,y,z), 使得a=xg+ye2+zC,我们把有序实数组(x,y,z)叫做基底{6，e2,e}下向量a的斜坐标.设向量p在基底 {a,6,c下的斜坐标为{-l,2,3},则向量p在基底{a+b,a-b,c下的斜坐标为（) 4分3) B(分) C. n令多刘 7.如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥BD,CD⊥BD,AB=I,BD=CD=2,二面角A-BD-C的大小 试卷第1页（共2页） 为行，则4c=() A.√5 B.7 C.11 D.3 8.设meR,过定点A的动直线x-2my=0和过定点B的动直线2mx+y-6m-4=0交于点P,点P不与A,B 4 重合，则PA+PBP的最小值是（) A.9 C. D.3 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分） 9.已知平面ABC的一个法向量为m=(1,2,2),PA=（-1,3,-1),AB=（x,-1,-1),则（) A.若AB与d=(t,n,3)共线，则1+n=-9 B.向量PA在向量B上的投影向量为-】AB 3 C.点P到平面ABC的距离为1 D.直线PM与平面ABC所成角的余弦值为 分 10.下列说法正确的是（) A.直线1经过A(2,1),B1,m2)(m∈R)两点，那么直线1的斜率的取值范围为(0， B.设直线/的斜率为k,且-5<k≤1，则直线/的倾斜角α的取值范围是0引（子x C.已知直线1的一个方向向量为p= sin,cos 3 3 则直线1的倾斜角为子 D.直线2 2c0--y-3-0ae后引的倾斜角的取值范国是[？ 11.下列说法正确的是（) A.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-y-2=0互相垂直的充要条件 B.“a=-2”是“直线ax+2y+a2=0与直线x+(a+1)y+1=0互相平行的充要条件 c.直线xma+y+2-0的酸角0的取值范周是Q引[年 D.若点4,0)，B(Q,2),直线1过点P(2)且与线段AB相胶，则直线1的斜率k的取值范围是≤k≤1 试卷第2页（共2页） 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12.过点(2,4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为 13.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形，AB=1,AD=2,PA=2,点M在线段PC 上运动，则点M到AB距离的最小值为 14.已知平行六面体ABCD-ABCD中，各条棱长均为m,底面是正方形，且∠AAD=∠AAB=120°，设 AB=ā，AD=b,AA=c则异面直线AC与BD,所成的角的余弦值为 D A B D B 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.(13分)已知空间中三点A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),设a=AB,6=AC (1)求a+2b1与cos(a,b)的值； (2)已知向量ka+6与i互相垂直，求k的值 16.(15分)在直三棱柱ABC-AB,C中，AC=BC=A4=2,AC⊥BC,D是棱A4的中点 B B (1)求点A到平面B,CD的距离； (2)求平面B,C,D与平面ABB,4夹角的正弦值， 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形，AB=AP=4,AD=3, E,F分别在棱PB,PD上，且AE⊥PB,AF⊥PD 答案第1页（共2页） B (1)求证：PC⊥AE; (2)求平面AEF与平面ABCD夹角的余弦值； (3)求三棱锥P-EDC外接球的表面积 18.(17分)如图1，五边形ABCEF中，AC/EF,AC⊥CE,AB⊥BC,AC=2BC=2CE=4.将三角形ABC 沿AC翻折，使得平面ABC⊥平面ACEF,如图2. B A 图1 图2 (I)求证：AB⊥平面BCE; (2记直线A与平面5F所成角为0.若血0=万，求EF的长。 7 19.(17分)已知三棱柱ABC-AB,C中，∠ACB=90°，AB⊥AC,AC=A4=4,BC=2. A 6 ::B (I)求证：平面A,ACC⊥平面ABC; (2)若∠AAC=60°，在线段AC上是否存在一点P(异于点A,C),使平面BA,P与平面APC夹角的余弦 值为5？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由， 4 答案第2页（共2页） 2026-2027学年第一学期高二年级（数学）试卷 （时间：150分钟 分值 ：120分） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1．对任意实数，直线一定经过点（ ） A． B． C． D． 2．下列可使非零向量，，构成空间的一个基底的条件是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系内，已知平面经过点，且平面的一个法向量，则下列各点中，位于平面内的是（     ） A． B． C． D． 5．已知直线和直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若是空间向量中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标．设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在三棱锥中，，，，，二面角的大小为，则（    ） A． B． C． D． 8．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，点不与重合，则的最小值是（    ） A．9 B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分） 9．已知平面的一个法向量为，，，则（     ） A．若与共线，则 B．向量在向量上的投影向量为 C．点到平面的距离为1 D．直线与平面所成角的余弦值为 10．下列说法正确的是（   ） A．直线经过两点，那么直线的斜率的取值范围为 B．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是 C．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为 D．直线的倾斜角的取值范围是 11．下列说法正确的是（   ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．若点，，直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12．过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为________． 13．在四棱锥中，平面，底面为矩形，，点在线段上运动，则点到距离的最小值为______. 14．已知平行六面体中，各条棱长均为，底面是正方形，且，设，，.则异面直线与所成的角的余弦值为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分) 15．（13分）已知空间中三点，，，设，. (1)求与的值； (2)已知向量与互相垂直，求k的值. 16．（15分）在直三棱柱中，，，是棱的中点.    (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，，分别在棱上，且. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥外接球的表面积. 18．（17分）如图1，五边形中，．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2． (1)求证：平面； (2)记直线与平面所成角为．若，求的长． 19．（17分）已知三棱柱中，，，，． (1)求证：平面平面； (2)若，在线段上是否存在一点（异于点，），使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高二年级(数学)答案 2026-2027学年第一学期高二年级(数学)答案 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A B A A C C ABC BD 1．C 【分析】将方程化为，令，即可求解. 【详解】因为，令，解得，， 所以直线都经过平面内一个定点． 2．B 【分析】根据空间基底的定义及空间向量共面定量一一判断即可. 【详解】由空间基底的定义可知只有非零向量不共面时才能构成空间中的一组基底. 对于A：因为，所以非零向量、、共面，故不能作为一组基底，故A错误； 对于B：因为，所以、、， 所以非零向量、、不共面，可构成空间的一组基底，故B正确； 对于C：令、、，满足， 但是，所以、、共面，故不能作为一组基底，故C错误； 对于D：因为，所以，所以、、共面，故不能作为一组基底，故D错误； 故选：B 3．A 【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示即可. 【详解】由题意，得. 4．B 【分析】设点位于平面内,可得,依次检验选项即可. 【详解】设点位于平面内,则,因为平面的一个法向量，， 所以, 即若点位于平面内,满足， 对于A，若，代入，不为，故A不正确； 对于B，若，代入，故B正确； 对于C，若，代入，不为，故C不正确； 对于D，若，代入，不为，故D不正确； 5．A 【分析】由题意先求出时的的值，然后根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由题设，可得，解得或. 当时，：，：，此时，当时，：，：，此时， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6．A 【分析】设出向量在基底下的表达式，并整理成向量在基底下的表达形式，由对应系数相等，可解得系数. 【详解】由题意可得，设， 即有， 则有，解得即， 即向量在基底下的斜坐标为． 故选：A. 7．C 【分析】利用空间向量基本运算，用表示出来，平方即得答案. 【详解】， 平方得：， 因为，，所以， 所以， 故. 故选：C 8．C 【分析】根据两条直线方程求出坐标，再依据两直线垂直得出，进而利用基本不等式即可. 【详解】由以及得，， 因，则两条直线垂直， 则， 则 ， 等号成立时， 故的最小值是. 故选：C 9．ABC 【分析】A，通过向量共线的性质设求解.B，通过投影向量求解公式求解.C，利用法向量，通过距离公式求解.D，根据线面角的向量求法可求得. 【详解】因为，所以，解得. 对于选项A，若与共线，设，则，，，解得，，，所以，正确. 对于选项B，投影向量为，正确. 对于选项C，，正确. 对于选项D，因为， 所以，错误. 10．BD 【分析】对于A，求得，即可判断；对于B，由题意可得，求出的范围，即可判断；对于C，求得直线的斜率为，从而可得其倾斜角为，即可判断；对于D，由题意可得，求出其倾斜角的取值范围，即可判断. 【详解】对于A，， 故直线的斜率的取值范围为，故A错误； 对于B，因为直线的斜率为，， 即，， 即，所以，故B正确； 对于C，由题意可得，直线的斜率为， 又倾斜角的范围是， 所以直线的倾斜角为，故C错误； 对于D，直线的斜率为， 由于，所以， 因此， 设直线的倾斜角为， 则有， 由于， 所以， 即倾斜角的取值范围是，故D正确． 11．BD 【分析】对于A：根据直线垂直结合充分、必要条件分析判断；对于B：由题意可得，进而可得倾斜角的范围；对于C：根据直线平行结合充分、必要条件分析判断；对于D：根据图形结合斜率公式分析求解. 【详解】对于选项A：当时，直线与直线斜率分别为1，， 斜率之积为，故两直线相互垂直，即充分性成立； 若“直线与直线互相垂直”， 则，故或， 所以得不到，即必要性不成立，故A错误； 对于选项B：由直线平行得，解得， 所以“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，故B正确； 对于选项C：直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故C错误； 对于选项D：如图所示：    可得，，结合图象知，故D正确； 故选：BD. 12．或 【详解】设直线，截距分别为和， 因为截距互为相反数，所以. 若，，又过点，所以，直线为. 若，解得，，所以，直线为. 13． 【分析】在线段上作一点，线段上作一点，使得四边形是矩形，由相关性质可将点到直线距离最小值转化为点到点距离最小，最后计算可得. 【详解】因为点在线段上运动，设，， 在线段上作一点，使得， 在线段上作一点，使得如图所示， 由三角形性质可知，在中，，且， 因为底面是矩形，所以，所以且， 所以四边形是平行四边形， 因为平面，平面， 所以，因为， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以四边形是矩形， 所以点到点的距离即为点到线段的距离 因为，所以当为中点时，最小， 即， 所以点在线段上运动，点到距离最小为. 故答案为：. 14． 【分析】根据向量的线性运算可表示出，根据向量数量积的定义和运算律可求得，利用向量数量积的定义和运算律可求得，由向量夹角运算求得，由此可得所求余弦值. 【详解】因为， 所以 ， 所以，又， 所以，所以， 所以 ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值是. 故答案为：. 15．(1)， (2)5 【分析】（1）由向量夹角公式即可求解； （2）由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以，， . （2）， 因为向量与互相垂直， 所以， 解得．所以的值是5. 16．(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到面的距离； （2）利用向量法求平面与平面的夹角的余弦，进而可得解． 【详解】（1）根据题意以为原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 所以即 令，则，所以， 点到平面的距离. （2）设平面的法向量， 所以即 令，则，所以， 设平面与平面夹角为， ， 所以. 即平面与平面夹角的正弦值为 17．(1) ∵底面，平面，平面， ∴，在矩形中， ∴以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 则， 则 得证： (2) (3) 【分析】（1）在四棱锥中，证明三条直线两两垂直，然后建立空间直角坐标系，得到点坐标和向量坐标，由向量的数量积得证线线垂直； （2）设得到点，然后得到，由得到对应向量的数量积建立方程后解得.然后设平面法向量，利用向量的数量积求得平面法向量，然后由向量的数量积求得两个平面的夹角的余弦值； （3）设三棱锥的外接球球心坐标为，半径为，建立方程组解得球的半径，然后求得表面积. 【详解】（1）略 （2）则，. 设，则，∴ ，∴ ，∴. 设平面的法向量为， 则，取，得， ∴平面的一个法向量为. 易知平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， ∵，∴， ∴平面与平面夹角的余弦值为. （3）设三棱锥的外接球球心坐标为，半径为， 则，解得， ∴三棱锥外接球的表面积为 18．(1)证明：因为平面平面，平面，平面平面，， 所以平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，结合线面垂直的性质与判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法求出平面的法向量，求出线面角，建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】（1）略 （2）如图，过点作于点，则， 在中，，所以，得. 过点作轴平面，建立如图空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 所以， 解得，即. 19．(1)证明：三棱柱中，四边形为平行四边形， 由知，四边形为菱形． 连接，则，又且，平面， 平面， 平面，则． 又，即，而，平面， 平面，而平面， 平面平面． (2)在线段上存在点，满足，使平面与平面夹角的余弦值为． 【分析】（1）先证明平面，推出，即可证明平面，结合面面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，可求平面与平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求解. 【详解】（1）略. （2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，在平面上过且垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，，， ，，，． 设在线段上存在一点（异于点，），满足， 使平面与平面夹角的余弦值为，则， ， ． 设平面的法向量为， 由，取，则，， 得， 平面的一个法向量为． 由，解得或． 因为，则， 故在线段上存在点，满足，使平面与平面夹角的余弦值为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $