卷 13 反比例函数提优训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册【提优专题+专项训练+测评试卷】

卷13 反比例函数提优训练 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在反比例函数（，的图象上，点A的坐标为，连接，若，，则k的值为（   ） A． B． C．2 D． 2．直线与双曲线交于、两点，则的值为（   ） A． B． C．3 D．6 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥X轴，AO⊥AD，AO=AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE=4CE．反比例函数的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．若，则k的值为（    ） A． B． C．7 D． 4．如图，矩形的顶点在第一象限，轴，轴且对角线的交点与原点重合．在边从小于到大于的变化过程中，若矩形的周长始终保持不变，则经过动点的反比例函数中的值的变化情况是（    ）    A．先增大后减小 B．先减小后增大 C．不变 D．一直增大 5．如图，直线交反比例函数（）的图象于点和点，交轴于点，，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则与的面积之差为（    ） A．9 B．12 C．6 D．3 7．如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，且OA＝4，过点A作AB⊥x轴于点B，则△ABO的周长为（　　） A．2 B．2 C．2+4 D．2+4 8．如图，已知点A在反比例函数上，作，点D是斜边的中点，连并延长交y轴于点E，若的面积为8，则k的值为（　　） A．8 B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．已知反比例函数（），当1≤x≤2时，函数的 最大值与最小值之差是1，则k的值为__________． 10．如图，已知直线y＝kx＋b与函数y＝（x＞0）的图象交于第一象限内点A，与x轴负半轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，点D为AB中点，线段CD交y轴于点E，连接BE．若△BEC的面积为，则m的值为___． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（其中）相交于，两点，过点B作轴，交y轴于点P，则的面积是___________．    12．如图，已知点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB=5，CD=4，AB与CD的距离为6，则a−b的值是_______. 三、解答题（共64分） 13．（4分）已知，其中与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)当，求y的值． 14．（6分）某工艺品厂生产一种汽车装饰品，每件生产成本为20元，销售价格在30元至80元之间（含30元和80元），销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用（不含生产成本）总计50万元，其销售量y（万个）与销售价格（元/个）的函数关系如图所示． （1）当30≤x≤60时，求y与x的函数关系式； （2）求出该厂生产销售这种产品的纯利润w（万元）与销售价格x（元/个）的函数关系式； （3）销售价格应定为多少元时，获得利润最大，最大利润是多少？ 15．（6 分）在平面直角坐标系中，已知点是直线上一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点，反比例函数的图象经过点. （1）若点是第一象限内的点，且，求的值； （2）当时，直接写出的取值范围. 16．（8分）如图，已知直线与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4． (1)求k的值； (2)若双曲线上一点C的纵坐标为8，求的面积； (3)过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标． 17．（8分）设函数，． (1)当时，函数的最大值是，函数的最小值是，求和的值． (2)点在函数的图象上，当时，求的取值范围． (3)设，且，当时，；当时，．圆圆说：“一定小于”．你认为圆圆的说法正确吗？ 18．（8分）经过实验获得两个变量，的一组对应值如下表． 1 2 3 4 5 6 6 3 2 1.5 1.2 1 (1)请在如图所示的平面直角坐标系中画出相应函数的图象； (2)求出函数表达式； (3)点，在此函数图象上，若，则，有怎样的大小关系？请说明理由． 19．（8分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象过点． （1）求k的值； （2）过点作x轴的垂线，分别交反比例函数，的图象于点M，N． ①当时，求MN的长； ②若，直接写出m的取值范围． 20．（8分）某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时：气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．    (1)请写出这一函数的解析式； (2)当气球内气体的体积为时，气体的气压是多少？ (3)当气球内气体的气压为，气体的体积是多少？ (4)当气球内的气压大于时，气球将会爆炸，为了安全起见，气球内气体的体积应不小于多少？ 21 ．（8分）定义：已知反比例函数（）和（），当且时，称为这两个函数的“均值函数”．完成下列问题： (1)已知反比例函数和，则它们的“均值函数”是 ； (2)判断：点是否在反比例函数和的“均值函数”图象上，请说明理由； (3)如图，已知，反比例函数和的“均值函数”为，点在的第一象限图象上，过点分别作轴、轴的垂线，与和的图象交于点，，，．求证：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 《反比例函数提优训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A A D D D C 1．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在反比例函数（，的图象上，点A的坐标为，连接，若，，则k的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，过点 作轴于点 ，过点作 于点，证明，进而根据全等三角形的性质得出，根据点，进而得出，根据点在反比例函数的图像上．列出方程，求得的值，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，过点 作轴于点 ，过点作 于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标为 ， ∴， ∴， ∵在反比例函数的图像上， ∴ ， 解得：或（舍去）， ∴. 故选：B. 2．直线与双曲线交于、两点，则的值为（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．由直线经过第一、三象限，且与双曲线交于A、B两点，可得A、B两点关于原点对称，即，再由反比例函数可得，，将原式化简再代入数据即可解答． 【详解】解：由题意得，直线经过第一、三象限，且与双曲线交于A、B两点，则A、B两点关于原点对称， ， 又，在双曲线上， ，， ． 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥X轴，AO⊥AD，AO=AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE=4CE．反比例函数的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．若，则k的值为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】延长EA交x轴于点G，过点F作x轴的垂线，垂足分别为H，则可得△DEA≌△AGO，从而可得DE=AG，AE=OG，若设CE=a，则DE=AG=4a，AD=DC=DE+CE=5a，由勾股定理得AE=OG=3a，故可得点E、A的坐标，由AB与x轴平行，从而也可得点F的坐标，根据 ，即可求得a的值，从而可求得k的值． 【详解】如图，延长EA交x轴于点G，过点F作x轴的垂线，垂足分别为H ∵四边形ABCD是菱形 ∴CD=AD=AB，CD∥AB ∵AB∥x轴，AE⊥CD ∴EG⊥x轴，∠D+∠DAE=90゜ ∵OA⊥AD ∴∠DAE+∠GAO=90゜ ∴∠GAO=∠D ∵OA=OD ∴△DEA≌△AGO(AAS) ∴DE=AG，AE=OG 设CE=a，则DE=AG=4CE=4a，AD=AB=DC=DE+CE=5a 在Rt△AED中，由勾股定理得：AE=3a ∴OG=AE=3a，GE=AG+AE=7a ∴A（3a,4a），E(3a,7a) ∵AB∥x轴，AG⊥x轴，FH⊥x轴 ∴四边形AGHF是矩形 ∴FH=AG=3a，AF=GH ∵E点在双曲线上 ∴ 即 ∵F点在双曲线上，且F点的纵坐标为4a ∴ 即 ∴ ∵ ∴ 解得： ∴ 故选：A． 【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，三角形全等的判定与性质等知识，关键是作辅助线及证明△DEA≌△AGO，从而求得E、A、F三点的坐标． 4．如图，矩形的顶点在第一象限，轴，轴且对角线的交点与原点重合．在边从小于到大于的变化过程中，若矩形的周长始终保持不变，则经过动点的反比例函数中的值的变化情况是（    ）    A．先增大后减小 B．先减小后增大 C．不变 D．一直增大 【答案】A 【分析】设矩形中，，，由矩形的周长始终保持不变可得为定值，由矩形对角线的交点与原点重合可得，再转化为关于a的二次函数，利用二次函数图象与性质，的值的变化情况即可确定，从而得到答案． 【详解】解：设矩形中，，， 矩形的周长始终保持不变， 为定值， 为定值， 设（定值），则， 矩形对角线的交点与原点重合， ， 而，其中，且， ∴当时，k随a的增大而增大；当时，k随a的增大而减小； 当时，最大， 在边从小于到大于的变化过程中，的值先增大后减小， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数的几何意义及不等式的性质，二次函数的图象与性质，有一定难度，根据题意得出，转化为二次函数图象与性质是解题的关键． 5．如图，直线交反比例函数（）的图象于点和点，交轴于点，，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义．根据题意得到，，继而得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 轴于点 ， ， 点在反比例函数， ， ∴． 故选：D． 6．如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则与的面积之差为（    ） A．9 B．12 C．6 D．3 【答案】D 【分析】已知反比例函数的解析式为y=，根据系数k的代数意义，设函数图象上点B的坐标为(m，)再结合已知条件求解即可； 【详解】解：如图，设点C(n，0)， ∵点B在反比例函数y=的图象上， ∴设点B(m，)． ∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形， ∴点A的坐标为(n，n)，点D的坐标为(n，)，AD=BD， ∴n−=m−n， 化简整理得m2−2mn=−6． ∴SΔOAC−SΔBAD=n2−(m−n)2=−m2+mn=−(m2−2mn)， ∴S△OAC−SΔBAD=3． 故选D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，三角形面积，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握反比例函数图像上点的坐标特征． 7．如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，且OA＝4，过点A作AB⊥x轴于点B，则△ABO的周长为（　　） A．2 B．2 C．2+4 D．2+4 【答案】D 【分析】由点A在反比例函数的图象上，设出点A的坐标，结合勾股定理可以表现出OA2＝AB2＋OB2，再根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出AB•OB的值，根据配方法求出（AB＋OB）2，由此即可得出AB＋OB的值，结合三角形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：∵点A在函数y＝（x＞0）的图象上， ∴设点A的坐标为（n，）（n＞0）． 在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，OA＝4， ∴OA2＝AB2＋OB2， 又∵AB•OB＝•n＝4， ∴（AB＋OB）2＝AB2＋OB2＋2AB•OB＝42＋2×4＝24， ∴AB＋OB＝2，或AB＋OB＝－2（舍去）． ∴C△ABO＝AB＋OB＋OA＝2＋4． 故答案为：2＋4． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、完全平方公式以及三角形的周长，解题的关键是求出AB＋OB的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用完全平方公式直接求出两直角边之和是关键． 8．如图，已知点A在反比例函数上，作，点D是斜边的中点，连并延长交y轴于点E，若的面积为8，则k的值为（　　） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，证明∽，根据相似比求出的值，即可得到答案． 【详解】试题解析：∵的面积为8， ∵点D是斜边的中点， 又 ∽ ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解决本题的关键是证明∽，根据相似比求出的值． 9．已知反比例函数（），当1≤x≤2时，函数的 最大值与最小值之差是1，则k的值为__________． 【答案】 【分析】分k＞0和k＜0进行讨论，再根据反比例函数的增减性，利用函数值的差列出方程解答． 【详解】∴=1，解得k=2， 当-3＜k＜0时，在其每一象限内，反比例函数y随x的增大而增大． ∴=1 解得k=-2， 综上所述，k=±2． 答案：±2． 【点睛】本题考查了反比例函数的增减性，反比例函数的增减性要在其图象的每一象限内解答，解题关键要对于k的值要分情况讨论． 10．如图，已知直线y＝kx＋b与函数y＝（x＞0）的图象交于第一象限内点A，与x轴负半轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，点D为AB中点，线段CD交y轴于点E，连接BE．若△BEC的面积为，则m的值为___． 【答案】27 【分析】过点A作AF⊥y轴于点F，连接AE，根据点D是AB的中点，△ADC的面积=△BDC的面积，△ADE的面积=△BDE的面积，从而其差相等，即△AEC的面积=△BEC的面积，由于△AEC的面积=矩形AFOC面积的一半，再由反比例函数中k的几何意义即可求得m的值． 【详解】过点A作AF⊥y轴于点F，连接AE，如图 ∵AC⊥x轴，FO⊥OC ∴四边形ACOF是矩形 ∵点D是AB的中点 ∴CD、ED分别是△ABC、△ABE的边AB上的中线 ∴， ∴ 即 ∵， ∴ ∴根据反比例函数解析式中k的几何意义知， ∵反比例函数的图象在第一象限 ∴m=27 故答案为：27． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质、反比例函数比例系数k的几何意义、矩形的判定等知识，添加辅助线，利用三角形中线平分三角形面积的性质是本题的关键． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（其中）相交于，两点，过点B作轴，交y轴于点P，则的面积是___________．    【答案】 【分析】把代入到可求得的值，再把代入双曲线函数的表达式中，可求得的值，进而利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】∵直线与双曲线（其中）相交于，两点， ∴ ∴， ∴双曲线的表达式为：，， ∵过点作轴，交轴于点， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键． 12．如图，已知点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB=5，CD=4，AB与CD的距离为6，则a−b的值是_______. 【答案】 【分析】利用反比例函数k的几何意义得出a-b=4•OE，a-b=5•OF，求出=6，即可求出答案． 【详解】如图， ∵由题意知：a-b=4•OE，a-b=5•OF， ∴OE=，OF=， 又∵OE+OF=6， ∴=6， ∴a-b=， 故答案为． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能求出方程=6是解此题的关键． 13．（4分）已知，其中与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)当，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，求函数值，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意设，可得，再利用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中解析式求解即可． 【详解】（1）∵与成正比例，与成反比例， ∴设， ∴， 当时，；当时，， ∴， 解得， ∴； （2）当时，． 14．（6分）某工艺品厂生产一种汽车装饰品，每件生产成本为20元，销售价格在30元至80元之间（含30元和80元），销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用（不含生产成本）总计50万元，其销售量y（万个）与销售价格（元/个）的函数关系如图所示． （1）当30≤x≤60时，求y与x的函数关系式； （2）求出该厂生产销售这种产品的纯利润w（万元）与销售价格x（元/个）的函数关系式； （3）销售价格应定为多少元时，获得利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）y=﹣0.1x+8（30≤x≤60）（2）w=（3）当销售价格定为50元/件或80元/件，获得利润最大，最大利润是40万元 【分析】（1）由图象知，当30≤x≤60时，图象过（60，2）和（30，5），运用待定系数法求解析式即可； （2）根据销售产品的纯利润=销售量×单个利润，分30≤x≤60和60＜x≤80列函数表达式； （3）当30≤x≤60时，运用二次函数性质解决，当60＜x≤80时，运用反比例函数性质解答． 【详解】（1）当x=60时，y==2， ∴当30≤x≤60时，图象过（60，2）和（30，5）， 设y=kx+b，则， 解得：， ∴y=﹣0.1x+8（30≤x≤60）； （2）根据题意，当30≤x≤60时，W=（x﹣20）y﹣50=（x﹣20）（﹣0.1x+8）﹣50=+10x﹣210， 当60＜x≤80时，W=（x﹣20）y﹣50=（x﹣20）•﹣50=+70， 综上所述：W=； （3）当30≤x≤60时，W=+10x﹣210=， 当x=50时，=40（万元）； 当60＜x≤80时，W=+70， ∵﹣2400＜0，W随x的增大而增大， ∴当x=80时，=+70=40（万元）， 答：当销售价格定为50元/件或80元/件，获得利润最大，最大利润是40万元． 考点：二次函数的应用；一次函数的应用；反比例函数的应用． 15．（6 分）在平面直角坐标系中，已知点是直线上一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点，反比例函数的图象经过点. （1）若点是第一象限内的点，且，求的值； （2）当时，直接写出的取值范围. 【答案】（1）；（2）且. 【分析】（1）设点，根据，得到，代入，求得的坐标，即可求得答案； （2）依照（1），求得时的A点的坐标，根据题意，画出函数图象，然后根据函数的图象直接求出k的取值范围即可． 【详解】（1）依题意，设点， ∴， ∵， ∴， ∵点在直线上， ∴点的坐标为， ∵点在函数的图像上， ∴； （2）依题意，设点， ∴， ∵， ∴， ∵点在直线上， ∴点的坐标为或 ， ∵点在函数的图像上， ∴或， 观察图象，当且时，. 【点睛】此题属于反比例函数与一次函数的综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，坐标与图形性质，此类题要先求特殊位置时对应的k值，利用数形结合的思想，依照题意画出图形，利用数形结合找出k的取值范围． 16．（8分）如图，已知直线与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4． (1)求k的值； (2)若双曲线上一点C的纵坐标为8，求的面积； (3)过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)点P的坐标是或． 【分析】（1）本题主要考查反比例函数与一次函数的图像交点问题，根据一次函数与反比例函数相交于点A，将点代入函数解析式即可求得k的值，解答本题的关键在于函数交点都满足解析式． （2）本题主要考查反比例函数与坐标轴围成面积，解答本题的关键在于利用已知点的坐标表示出围成图形的边长运用反比例函数k的几何意义即可求解． （3）本题主要考查反比例函数正比例函数图象结合问题，解答本题的关键在于反比例函数正比例函数图象交点关于原点对称，可分情况设出点P，Q的坐标，点P在点A的左面与右面表示出四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵点A横坐标为4， 把代入 得， ∴， ∵点A是直线与双曲线的交点， ∴． （2）解法一：如图1，    ∵点C在双曲线上， 当时，， ∴点C的坐标为． 过点A、C分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形． ∵，S△ONC＝4，S△CDA＝9，S△OAM＝4． ∴； 解法二：如图2，    过点C、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F， ∵点C在双曲线上， 当时，， ∴点C的坐标为． ∵点C、A都在双曲线上， ∴， ∴． ∴． 又∵， ∴； （3）∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设点P的横坐标为（且）， 得 ， 过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F， ∵点P、A在双曲线上， ∴， 若，如图3，    ∵， ∴． ∴． ∴，（舍去）， ∴； 若，如图4，    ∵， ∴． ∴， 解得，（舍去）， ∴． ∴点P的坐标是或． 17．（8分）设函数，． (1)当时，函数的最大值是，函数的最小值是，求和的值． (2)点在函数的图象上，当时，求的取值范围． (3)设，且，当时，；当时，．圆圆说：“一定小于”．你认为圆圆的说法正确吗？ 【答案】(1) (2) 或 (3)圆圆的说法不正确，理由见解析 【分析】（1）由反比例函数的性质可得①；②；可求的值和的值； （2）根据待定系数法求得解析式，进而求得时的函数值，根据反比例函数的性质即可求得； （3）设，且，将，代入解析式，可求和，即可判断． 【详解】（1）解：， 随的增大而减小，随的增大而增大， 当时，最大值为①， 当时，最小值为②， 由①，②得：； （2）解：点在函数的图象上， ， ， 当时，， 根据反比例函数的性质，当时， 或 ； （3）解：圆圆的说法不正确， 理由如下：设，且， 则，， 当时，， 当时，， ， 圆圆的说法不正确． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是本题的关键． 18．（8分）经过实验获得两个变量，的一组对应值如下表． 1 2 3 4 5 6 6 3 2 1.5 1.2 1 (1)请在如图所示的平面直角坐标系中画出相应函数的图象； (2)求出函数表达式； (3)点，在此函数图象上，若，则，有怎样的大小关系？请说明理由． 【答案】(1) 函数图象如图所示： (2) (3) y1＞y2； 理由：由函数图象可得，在第一象限内，y随x的增大而减小， ∵， ∴y1＞y2． 【分析】（1）描点、连线即可画出相应函数的图象； （2）利用待定系数法即可求出函数表达式； （3）根据函数图象得出其增减性，进而解答． 【详解】（1）略 （2）由函数图象可知，y与x成反比例关系， 设函数表达式为， 把x＝1，y＝6代入，得k＝6， ∴， 将其余各组数据代入验证均成立， ∴函数表达式为：； （3）略 【点睛】本题考查画函数图象、反比例函数的图象和性质、待定系数法等知识，解题的关键掌握描点法作图，学会利用图象得出函数的性质解决问题，属于中考常考题型． 19．（8分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象过点． （1）求k的值； （2）过点作x轴的垂线，分别交反比例函数，的图象于点M，N． ①当时，求MN的长； ②若，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）6；（2）①5；②或 【分析】（1）把代入中即可得出的值； （2）①令代入和中，求出点M、N的坐标，即可得出MN的长； ②令代入和中，求出点M、N的坐标，即可得出MN含的表达式，由即可求出的取值范围． 【详解】（1））把代入中得：， ∴； （2） ①令代入中得：， ∴， 令代入中得：， ∴， ∴； ②令代入中得：， ∴， 令代入中得：， ∴， ∴， 当时，， 解得：， ∴， 当时，， 解得：， ∴， 综上述所，的取值范围为或． 【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，掌握待定系数法求解析式以及两点长度的表示是解题的关键． 20．（8分）某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时：气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．    (1)请写出这一函数的解析式； (2)当气球内气体的体积为时，气体的气压是多少？ (3)当气球内气体的气压为，气体的体积是多少？ (4)当气球内的气压大于时，气球将会爆炸，为了安全起见，气球内气体的体积应不小于多少？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据温度=气体的气压气体体积V，求温度，再确定P与V的函数关系式； （2）把代入（1）中的函数关系式求即可； （3）把代入（1）中的函数关系式求即可； （4）依题意，即，解不等式即可． 【详解】（1）设，将代入可得，解得， ∴； （2）当时，； 当气球内气体的体积为时，气体的气压是； （3）当时，，解得； 当气球内气体的气压为，气体的体积是； （4）当时，，解得， 即气球内气体的体积应不小于． 【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题． 21 ．（8分）定义：已知反比例函数（）和（），当且时，称为这两个函数的“均值函数”．完成下列问题： (1)已知反比例函数和，则它们的“均值函数”是 ； (2)判断：点是否在反比例函数和的“均值函数”图象上，请说明理由； (3)如图，已知，反比例函数和的“均值函数”为，点在的第一象限图象上，过点分别作轴、轴的垂线，与和的图象交于点，，，．求证：． 【答案】(1) (2) 不在，理由如下： 根据题意，， 若经过点， ∴， ∴， 整理，得． ∵， ∴此方程无解， ∴不存在的值，使得， ∴点不在函数和的“均值函数”图象上； (3) 证明：∵点在的图象上， ∴或， ∵轴， ∴，， ∴，， ∵轴， ∴，， ∴，． ∵和的“均值函数”为， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【分析】（）根据两个函数的“均值函数”的定义即可求解； （）根据题意得，若经过点，则转化为，然后根据根的判别式即可求解； （）由点在的图象上，则或，再根据轴，轴，求出，，，，再由和的“均值函数”为，则，最后由平行四边形的判定与性质即可求证； 本题考查了反比例函数的性质，平行四边形的判定与性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵反比例函数和， ∴， ∴它们的“均值函数”是， 故答案为：； （2）解：略； （3）证明：略． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $