专题10 求二次函数解析式的方法（解析版+原卷版）2026-2027学年人教版九年级数学上册【提优专题+专项训练+测评试卷】

**基本信息** 聚焦二次函数解析式求解的四种核心方法，通过分类题型构建“形式选择-条件应用-变式拓展”的系统性训练体系，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一般式求解析式|3题|三点代入建立三元方程组求解，结合配方法转化形式|从一般式概念出发，通过具体点坐标建立方程，体现方程思想| |顶点式求解析式|3题|已知顶点坐标设顶点式，代入另一点求参数，结合表格数据分析顶点|基于顶点式特征，利用顶点坐标简化表达式，培养几何直观| |交点式求解析式|4题|已知x轴交点设交点式，代入第三点求参数，结合面积与不等式应用|紧扣交点式与x轴交点关系，强化数形结合，发展推理意识| |平移翻折旋转求解析式|2题|根据变换规律（平移、对称、旋转）改变顶点或开口方向求解析式|从图形变换视角拓展解析式求法，培养空间观念与应用意识|

专题10 求二次函数解析式的方法 类型一 利用二次函数的一般式y＝ax2+bx+c求抛物线经过三点的二次函数解析式 1．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（﹣1，16），C（0，10）三点． （1）求该函数解析式； （2）用配方法将该函数解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式． 【分析】（1）直接把A（1，0）、B（﹣1，16），C（0，10）代入y＝ax2+bx+c可得关于a、b、c的方程组，解可得a、b、c的值，进而可得函数解析式； （2）利用配方法将该函数解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式即可． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（﹣1，16），C（0，10）三点， ∴， 解得， ∴该函数解析式为y＝﹣2x2﹣8x+10； （2）y＝﹣2x2﹣8x+10＝﹣2（x2+4x）+10＝﹣2（x2+4x+4﹣4）+10＝﹣2（x+2）2+18． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． 2．已知抛物线y＝ax2+bx+5经过点（1，4），（2，7）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）写出这条抛物线的对称轴和顶点坐标． 【分析】（1）将点（1，4），（2，7）代入y＝ax2+bx+5，求出a，b即可得到二次函数的解析式； （2）将二次函数配成顶点式，求出对称轴和顶点坐标． 【解答】解：（1）将点（1，4），（2，7）代入y＝ax2+bx+5， 得：， ∴， ∴y＝2x2﹣3x+5； （2）∵y＝2x2﹣3x+5＝2（x）2， ∴这条抛物线的对称轴为直线x，顶点坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等，掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（0，1），B（4，5），C（9，12）． （1）求抛物线的解析式； （2）将上述抛物线平移，使他的顶点移动到点（﹣2，2），那么平移的方法是　向右平移个单位，向上平移个单位长度　 ． 【分析】（1）根据待定系数法可以求得该抛物线的解析式； （2）先将原抛物线化为顶点式，求得顶点坐标，然后根据平移的特点，即可写出平移的方法． 【解答】解：（1）把A（0，1），B（4，5），C（9，12）代入y＝ax2+bx+c得： ， 解得， 即该抛物线的解析式为yx2x+1； （2）∵yx2x+1， ∴对称轴为直线x， 把x代入yx2x+1，得y1， ∴抛物线的顶点为（，）， ∵顶点移动到点（﹣2，2）的位置， ∴抛物线应向右平移个单位，向上平移个单位长度． 故答案为：向右平移个单位，向上平移个单位长度． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的平移，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 类型二 利用二次函数的顶点式y＝a（x﹣k）2+h求已知抛物线顶点的二次函数解析式 4．已知某二次函数图象的顶点坐标为（3，﹣2）且与y轴交于（0，）． （1）求这个二次函数的解析式． （2）若这抛物线经过点（2，y1），（﹣1，y2），（，y3），请你先画出草图，再根据草图试比较y1，y2，y3的大小． 【分析】（1）由二次函数图象的顶点坐标为（3，﹣2），设解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2，将（0，）代入即得答案； （2）画出草图，即可得y2＞y1＞y3． 【解答】解：（1）∵二次函数图象的顶点坐标为（3，﹣2）， ∴设所求二次函数的解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2， ∵图象过（0，）， ∴a（0﹣3）2﹣2， 解得a， ∴所求二次函数的解析式为y（x﹣3）2﹣2x2﹣3x； （2）如图： 由图知y2＞y1＞y3． 【点睛】本题考查二次函数图象及性质，涉及待定系数法、二次函数图象上点坐标特征等，解题的关键是掌握待定系数法，画出二次函数图象的草图． 5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的最低点是C（2，﹣1），且经过点M（4，1），N（0，n），求抛物线解析式和n的值． 【分析】根据题意得出抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），据此设出抛物线的解析式，再将点M坐标代入求出解析式，最后将点N坐标代入即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为抛物线的最低点是C（2，﹣1）， 所以抛物线顶点坐标是（2，﹣1）． 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1， 将点M（4，1）代入得， a×（4﹣2）2﹣1＝1， 解得a， 所以抛物线的解析式为y． 将点N（0，n）代入得， n＝1． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式及二次函数的最值，熟知待定系数法及二次函数的图象与性质是解题的关键． 6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 n 3 … y … m 3 4 3 0 … 根据以上信息回答下列问题： （1）二次函数图象的顶点坐标是　（1，4）　 ，m＝　0　 ，n＝　　 ； （2）求二次函数的表达式． 【分析】（1）由表格数据知，顶点坐标为（1，4），根据函数的对称性（3，0）和（﹣1，m）关于抛物线的对称轴对称，故m＝0，根据函数的对称性（，）和（n，）关于抛物线的对称轴对称，即可得出，即可求出n． （2）由待定系数法即可求解； 【解答】解：（1）由表格数据知，顶点坐标为：（1，4），即对称轴为直线x＝1， ∵（3，0）和（﹣1，m）关于抛物线的对称轴对称，故m＝0， ∴（，）和（n，）关于抛物线的对称轴对称， 则， 解得n， 故答案为：（1，4），0；； （2）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2+4， 将（0，3）代入上式得：3＝a（0﹣1）2+4， 则a＝﹣1． 故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+4． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，二次函数的图象和性质等知识．掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 类型三 利用二次函数的交点式y＝a（x-x1）（x﹣x2）求已知抛物线与x轴交点的二次函数解析式 7．若抛物线的最高点的纵坐标是，且过点（﹣1，0），（4，0），则该抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣x2+3x+4 B．y＝﹣x2﹣3x+4 C．y＝x2﹣3x﹣4 D．y＝x2﹣3x+4 【分析】由于抛物线与x轴交点为对称轴，则可得到抛物线的对称轴为直线x，所以抛物线的顶点坐标为（，），然后设交点式y＝a（x+1）（x﹣4），再把顶点坐标代入求出a即可． 【解答】解：∵抛物线与x轴交于点（﹣1，0），（4，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x， ∴抛物线的顶点坐标为（，）， 设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）， 把（，）代入得a••（），解得a＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣4），即y＝﹣x2+3x+4． 故选：A． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 8．已知一个二次函数的图象经过A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的对称轴和顶点P的坐标； （3）△ABP的面积为 　27　 ． 【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），将点C（0，﹣8）代入可求得a＝1，将a的值代入可求得抛物线的解析式； （2）把解析式化成顶点式，即可求得对称轴和顶点坐标； （3）根据三角形面积公式求得即可． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），点C（0．﹣8）在抛物线上， ∴﹣8＝﹣8a． 解得：a＝1， ∴y＝x2﹣2x﹣8； （2）∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣9）； （3）． 故答案为：27． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，二次函数的性质，三角形面积等，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 9．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（5，0）、C（0，﹣5）三点，抛物线与y轴相交于点C，直线y＝mx+n经过点B，C两点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）不等式ax2+bx+c≥mx+n的解集是 x≥5或x≤0　 ； （3）点P为对称轴EF上一点，当PA+PC的值最小时，求出点P的坐标． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）点A与点B关于对称轴直线x＝2对称，连接BC，交抛物线对称轴于点P，连接PA，即点P为所求点，此时PA+PC＝PB+PC＝BC的值最小，即可求解． 【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）， 即y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x2﹣4x﹣5）， 则﹣5a＝1，解得：a＝1， 故抛物线的函数解析式为y＝x2﹣4x﹣5； （2）观察函数图象知，不等式ax2+bx+c≥mx+n的解集是x≥5或x≤0， 故答案为：x≥5或x≤0； （3）由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线x＝2， 如图，点A与点B关于对称轴直线x＝2对称，连接BC，交抛物线对称轴于点P，连接PA，即点P为所求点，此时PA+PC＝PB+PC＝BC的值最小， 由B、C的坐标的：直线BC的函数解析式为y＝x﹣5， 当x＝2时，y＝﹣3， ∴P点的坐标为（2，﹣3）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、不等式的求解、点的对称性等，有一定的综合性，难度不大． 10．已知二次函数y＝ax2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3）． （1）求二次函数的解析式； （2）在抛物线的对称轴上求点F，使AF+CF最小，求点F的坐标； （3）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为6，求点P的坐标． 【分析】（1）设交点式y＝a（x﹣1）（x+3），然后把C点坐标代入求出a即可； （2）先确定抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，连接BC交直线x＝﹣1于F点，如图，利用两点之间线段最短得到此时AF+CF最小，再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3，然后计算x＝﹣1对应的一次函数值得到F点的坐标； （3）设P（t，t2+2t﹣3），根据三角形面积公式得到4×|t2+2t﹣3|＝6，然后解绝对值方程得到P点坐标． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x+3）， 把C（0，﹣3）代入得﹣3＝a×（0﹣1）×（0+3）， 解得a＝1， ∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）（x+3）， 即y＝x2+2x﹣3； （2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 连接BC交直线x＝﹣1于F点，如图， ∵FA＝FB， ∴FA+FC＝FB+FC＝BC， ∴此时AF+CF最小， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， 把B（﹣3，0），C（0，﹣3）分别代入得， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3， 当x＝﹣1时，y＝﹣x﹣3＝1﹣3＝﹣2， ∴F点的坐标为（﹣1，﹣2）； （3）设P（t，t2+2t﹣3）， ∵△ABP的面积为6， ∴4×|t2+2t﹣3|＝6， 即t2+2t﹣3＝3或t2+2t﹣3＝﹣3， 解t2+2t﹣3＝3得t1＝﹣1，t2＝﹣1， 此时P点坐标为（﹣1，3）或（﹣1，3）； 解t2+2t﹣3＝﹣3得t1＝0，t2＝﹣2， 此时P点坐标为（0，﹣3）或（﹣2，﹣3）； 综上所述，P点坐标为（﹣1，3）或（﹣1，3）或（0，﹣3）或（﹣2，﹣3）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和最短路径问题． 类型四 根据抛物线平移、翻折（对称）、旋转求函数解析式 11．已知一条抛物线的开口方向和形状与y＝3x2相同，顶点在抛物线y＝（x+2）2的顶点上． （1）求这条抛物线的解析式； （2）若将（1）中的抛物线向右平移4个单位得到的新抛物线的解析式为y＝3（x﹣2）2 ； （3）若将（1）中的抛物线的顶点不变，开口方向相反，所得的新抛物线解析式为y＝﹣3（x+2）2 ； （4）若将（1）中的抛物线沿y轴对折，所得到的新抛物线解析式为y＝3（x﹣2）2 ． 【分析】（1）a＝3，顶点为（﹣2，0），利用顶点式得到这条抛物线的解析式为y＝3（x+2）2； （2）把点（﹣2，0）向右平移4个单位得到（2，0），然后利用顶点式写出平移后抛物线的解析式； （3）由于顶点不变，开口方向相反，则y＝﹣3（x+2）2； （4）由于点（﹣2，0）关于y轴对称的点的坐标为（2，0），则所得到的新抛物线解析式为y＝3（x﹣2）2． 【解答】解：（1）这条抛物线的解析式为y＝3（x+2）2； （2）将抛物线y＝3（x+2）2向右平移4个单位得到的新抛物线的解析式为y＝3（x﹣2）2； （3）将抛物线y＝3（x+2）2的顶点不变，开口方向相反，所得的新抛物线解析式为y＝﹣3（x+2）2； （4）将抛物线y＝3（x+2）2沿y轴对折，所得到的新抛物线解析式为y＝3（x﹣2）2． 故答案为y＝3（x﹣2）2；y＝﹣3（x+2）2；y＝3（x﹣2）2． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 12．已知抛物线y＝2x2﹣4x+1， （1）求它关于x轴对称的抛物线的解析式？ （2）求它关于y轴对称的抛物线的解析式？ （3）求它关于原点对称的抛物线的解析式？ （4）求将它绕着与y轴的交点旋转180°所得抛物线的解析式？ 【分析】利用配方法可得抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）， （1）先确定点（1，﹣1）关于x轴对称的对应点的坐标，由于关于x轴对称的两抛物线开口方向相反，则可根据顶点式写出对称后的抛物线解析式； （2）先确定点（1，﹣1）关于y轴对称的对应点的坐标，然后根据顶点式写出对称后的抛物线解析式； （3）先确定点（1，﹣1）关于原点对称的对应点的坐标，由于关于原点对称的两抛物线开口方向相反，则可根据顶点式写出对称后的抛物线解析式； （4）先确定抛物线y＝2x2﹣4x+1与y轴的交点坐标为（0，1），再确定顶点（1，﹣1）关于点（0，1）对称的对应点的坐标，由于旋转180°后抛物线的开口方向与原抛物线开口方向相反，则可根据顶点式写出对称后的抛物线解析式． 【解答】解：y＝2（x﹣1）2﹣1，抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）， （1）点（1，﹣1）关于x轴对称的对应点的坐标为（1，1），所以原抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+1； （2）点（1，﹣1）关于y轴对称的对应点的坐标为（﹣1，﹣1），所以原抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为y＝2（x+1）2﹣1； （3）点（1，﹣1）关于原点对称的对应点的坐标为（﹣1，1），所以原抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式为y＝﹣2（x+1）2+1； （4）抛物线y＝2x2﹣4x+1与y轴的交点坐标为（0，1），点（1，﹣1）关于点（0，1）对称的对应点的坐标为（﹣1，3），所以原抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式为y＝﹣2（x+1）2+3． 【点睛】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．记住关于x轴、y轴和原点对称的点的坐标特征． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 求二次函数解析式的方法 类型一 利用二次函数的一般式y＝ax2+bx+c求抛物线经过三点的二次函数解析式 1．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（﹣1，16），C（0，10）三点． （1）求该函数解析式； （2）用配方法将该函数解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式． 2．已知抛物线y＝ax2+bx+5经过点（1，4），（2，7）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）写出这条抛物线的对称轴和顶点坐标． 3．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（0，1），B（4，5），C（9，12）． （1）求抛物线的解析式； （2）将上述抛物线平移，使他的顶点移动到点（﹣2，2），那么平移的方法是　 　 ． 类型二 利用二次函数的顶点式y＝a（x﹣k）2+h求已知抛物线顶点的二次函数解析式 4．已知某二次函数图象的顶点坐标为（3，﹣2）且与y轴交于（0，）． （1）求这个二次函数的解析式． （2）若这抛物线经过点（2，y1），（﹣1，y2），（，y3），请你先画出草图，再根据草图试比较y1，y2，y3的大小． 5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的最低点是C（2，﹣1），且经过点M（4，1），N（0，n），求抛物线解析式和n的值． 6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 n 3 … y … m 3 4 3 0 … 根据以上信息回答下列问题： （1）二次函数图象的顶点坐标是　 　 ，m＝　 ，n＝　 ； （2）求二次函数的表达式． 类型三 利用二次函数的交点式y＝a（x-x1）（x﹣x2）求已知抛物线与x轴交点的二次函数解析式 7．若抛物线的最高点的纵坐标是，且过点（﹣1，0），（4，0），则该抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣x2+3x+4 B．y＝﹣x2﹣3x+4 C．y＝x2﹣3x﹣4 D．y＝x2﹣3x+4 8．已知一个二次函数的图象经过A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的对称轴和顶点P的坐标； （3）△ABP的面积为 　 　 ． 9．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（5，0）、C（0，﹣5）三点，抛物线与y轴相交于点C，直线y＝mx+n经过点B，C两点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）不等式ax2+bx+c≥mx+n的解集是 　 ； （3）点P为对称轴EF上一点，当PA+PC的值最小时，求出点P的坐标． 10．已知二次函数y＝ax2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3）． （1）求二次函数的解析式； （2）在抛物线的对称轴上求点F，使AF+CF最小，求点F的坐标； （3）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为6，求点P的坐标． 类型四 根据抛物线平移、翻折（对称）、旋转求函数解析式 11．已知一条抛物线的开口方向和形状与y＝3x2相同，顶点在抛物线y＝（x+2）2的顶点上． （1）求这条抛物线的解析式； （2）若将（1）中的抛物线向右平移4个单位得到的新抛物线的解析式为 ； （3）若将（1）中的抛物线的顶点不变，开口方向相反，所得的新抛物线解析式为 ； （4）若将（1）中的抛物线沿y轴对折，所得到的新抛物线解析式为 ． 12．已知抛物线y＝2x2﹣4x+1， （1）求它关于x轴对称的抛物线的解析式？ （2）求它关于y轴对称的抛物线的解析式？ （3）求它关于原点对称的抛物线的解析式？ （4）求将它绕着与y轴的交点旋转180°所得抛物线的解析式？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $