2026-2027学年高二上学期期中考试模拟数学试题（辽宁省朝阳市适用）

高二上学期期中考试模拟试题 一、单选题（每小题5分，共计40分） 1．若直线：与直线：垂直，则实数的值为（    ） A．0 B．或0 C．0或 D． 2．已知平面外的直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（   ） A． B． C．与相交但不垂直 D．或 3．已知直线在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是（    ） A．1 B． C．或 D．2或1 4．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形，将平行四边形沿对角线折起，使平面平面，则直线与所成角余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．已知是椭圆上的动点，则点到直线：的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．AB⊥平面α于点B，BC为AC在α内的射影，CD在α内，若∠ACD=60°，∠BCD=45°，则AC和平面α所成的角为（    ） A．90° B．60° C．45° D．30° 8．已知圆：和圆：外切（其中），则的最大值为（    ） A．4 B． C．8 D． 二、多选题（每小题6分，共计18分） 9．如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中正确的是（    ）    A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 10．已知椭圆C：的两个焦点分别为，，点P为C上的动点，以下正确的是（    ） A．椭圆C长轴长为2 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 11．已知直线与圆交于，两点，则（    ） A．线段的长度为定值 B．圆上总有4个点到的距离为2 C．线段的中点轨迹方程为 D．直线的倾斜角为 三、填空题（每小题5分，共计15分） 12．已知向量，那么方向上的单位向量为________. 13．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是______． 14．已知直线，直线，，与的交点为P，已知点，，则的最小值为______． 四、解答题 15．（本题满分13分）已知过原点的动直线与圆交于不同的两点. (1)求圆的圆心坐标和半径； (2)求线段的中点的轨迹的方程； (3)若直线与曲线有公共点，直接写出的取值范围. 16．（本题满分15分）在如图所示的多面体中，，四边形为矩形，，. (1)求证：平面； (2)，平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 17．（本题满分15分，第（1）题7分，第（2）题8分） （1）已知曲线方程，，若方程表示焦距为的椭圆，求的值． （2）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，求该动圆圆心的轨迹方程． 18．（本题满分17分）如图，在四棱锥中，，，，，，，点在线段上，，平面平面. (1)求证：； (2)设点是三棱锥的外接球的球心，且四棱锥的体积是，求直线与平面所成角的正弦值. 19．（本题满分17分）已知椭圆（）满足长轴的长是焦距的2倍，且经过点． (1)求椭圆的方程； (2)求椭圆上的点到定点（）的最短距离． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《高二上学期期中考试模拟试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A C D B C B BCD BD 题号 11 答案 AC 1．C 【难度】0.94 【知识点】直线的一般式方程及辨析、已知直线垂直求参数 【分析】由直线垂直得到方程，求出实数的值. 【详解】由题意得，解得或. 故选：C 2．B 【难度】0.85 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、平面法向量的概念及辨析、空间位置关系的向量证明 【分析】根据得到，进而得到与的位置关系. 【详解】因为，所以，所以或， 由于，所以. 故选：B. 3．A 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析 【分析】分别求出直线在x轴和y轴上的截距，从而可得答案． 【详解】对于直线， 当时，不符合题意，故． 当时，；当时，， 所以直线在x轴和y轴上的截距分别为， 根据题意得，所以． 故选：A． 4．C 【难度】0.94 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】利用建系，假设长度，表示向量与，利用向量的夹角公式，可得结果. 【详解】由平面平面， 平面平面，平面 所以平面，又平面 所以，又 所以作轴//,建立空间直角坐标系 如图 设，所以 则 所以 所以 故选：C 【点睛】本题考查异面直线所成成角的余弦值，一般采用这两种方法：（1）将两条异面直线作辅助线放到同一个平面，然后利用解三角形知识求解；（2）建系，利用空间向量，属基础题. 5．D 【难度】0.85 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求平行线间的距离 【分析】利用数形结合，转化为直线与椭圆相切时的切点到直线的距离. 【详解】设与直线平行的直线为， 则直线与椭圆相切时， 联立，得， ，得， 如图可得，距离最近时， 则与直线平行的距离最近的直线为，点为切点， 平行线距离. 故选：D 6．B 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法、用空间基底表示向量 【分析】法一：设，，，棱长均为1，则，，，再根据向量夹角的求法求解即可；法二：根据空间斯坦纳定理夹角公式求解． 【详解】法一：设，，， 设三棱柱棱长均为1，因，则， 又因，， 所以， ， ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 法二：不妨设底面边长与侧棱长均为1，则易得， 同法一可证：，由空间斯坦纳定理夹角公式： 所以． 故选：B． 7．C 【难度】0.65 【知识点】求线面角、线面垂直证明线线垂直 【解析】由AB⊥平面α于点B，BC为AC在α内的射影,所以AC和平面α所成的角为，过点作于点，连接,可证明，从而通过解直角三角形得出答案. 【详解】由AB⊥平面α于点B，BC为AC在α内的射影 所以AC和平面α所成的角为， 过点作于点，连接. 由AB⊥平面α, 则,又，且 所以平面,平面,则 由∠BCD=45°， 设,则 由∠ACD=60°，则 在直角三角形中，，，则 所以三角形为等腰直角三角，所以 故选：C 【点睛】本题考查求线面角，考查线线、线面的垂直关系的证明，属于中档题 . 8．B 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、条件等式求最值 【分析】利用两圆外切，圆心距等于半径之和，再利用基本不等式，即可求得的最大值. 【详解】圆的标准方程为， 圆的标准方程为， ∵两圆外切，∴， ∵，∴， ∴， ∴的最大值为，当且仅当时取最值， 故选：B. 【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式的运用，正确运用基本不等式是关键，属于中档题. 9．BCD 【难度】0.85 【知识点】关于点对称的点的空间坐标、求空间图形上的点的坐标 【分析】对于A，根据图示分析即可；对于B，设点关于点对称的点为，再根据为的中点列式求解即可；对于C，根据四边形为正方形判断即可；对于D，根据平面求解即可. 【详解】对于A，由图形及其已知可得：点的坐标为，故A错误； 对于B，由图，，，设点关于点对称的点为， 则，解得，故，故B正确； 对于C，在长方体中， 所以四边形为正方形，与垂直且平分， 即点关于直线对称的点为，故C正确； 对于D，因为平面，故点关于平面对称的点为，即，故D正确. 故选：BCD. 10．BD 【难度】0.75 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、求椭圆的长轴、短轴、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】根据椭圆的标准方程，结合椭圆长轴长、椭圆的性质逐一判断即可. 【详解】由椭圆的标准方程可知：，因此. A：椭圆C长轴长为，因此本选项说法不正确； B：的周长为，因此本选项说法正确； C：由椭圆的性质可知：的最小值为，因此本选项说法不正确； D：设点，因此有. 因为， 所以面积的最大值为，因此本选项说法正确. 11．AC 【难度】0.65 【知识点】直线与圆中的定点定值问题、求直线与圆交点的坐标、圆的弦长与中点弦 【分析】对于A，先求出圆心到直线的距离，再利用弦、弦心距和半径的关系可求出弦的长；对于B，由于圆心到直线的距离为1，而圆的半径为，从而可得圆上只有2个点到直线的距离为2；对于C，由选项A可知圆心到直线的距离为1，即线段的中点到圆心的距离为1，从而可得结论；对于D，当时，设直线的倾斜角为，则，即，而当时，直线的倾斜角， 【详解】对于A，因为圆心到直线的距离，所以，所以A正确； 对于B，由于圆心到直线的距离为，而圆的半径为，所以圆上只有2个点到的距离为2，所以B错误； 对于C，由于圆心到直线的距离为，所以线段的中点到圆心的距离为1，所以线段的中点轨迹是以为圆心，1为半径的圆，即方程为，所以C正确； 对于D，当时，则，此时直线为，则直线的倾斜角为，满足；当时，由，得直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，即，当时，直线的倾斜角，而当时，直线的倾斜角，所以D错误， 故选：AC 12． 【难度】0.85 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量的有关概念 【分析】利用方向上的单位向量为，结合空间向量模的坐标表示求解． 【详解】因为向量， 所以， 所以方向上的单位向量为． 故答案为：． 13． 【难度】0.85 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征 【详解】因为方程表示焦点在x轴上的椭圆， 所以， 即， 所以， 则m的取值范围是． 14． 【难度】0.4 【知识点】求直线交点坐标、直线过定点问题、求平面两点间的距离、轨迹问题——圆 【分析】先求出两直线交点的轨迹方程，再根据轨迹方程分析的最小值. 【详解】直线可化为，所以直线过定点， 直线可化为，所以直线过定点， 又，所以. 所以与的交点P的轨迹为以AB为直径的圆， 圆心，半径，所以圆C的方程为， 在轴上取点，使得，设， 则，即， 化简整理得， 又，即， 所以，解得，则， 易知在圆C内，所以 （当且仅当P为线段EQ与圆C的交点时取得最小值）． 故答案为： 15．(1)圆心坐标为，半径为2； (2)； (3). 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、求点到直线的距离、求平面轨迹方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）直接将圆的一般方程化为标准方程可得圆心和半径； （2）根据线段的中点满足的条件，进而可得动点的轨迹方程，并求得相应的范围. （3）由直线与曲线有公共点转化为圆到直线的距离小于等于半径，再结合数形结合直接可得斜率的范围. 【详解】（1）圆由得. ∴圆心坐标为，半径为2. （2）设，可知，，即，整理可得：. 联立，消去y得，解得，即两圆交点的横坐标为. 因为是线段的中点，所以点在圆的内部，故可得：横坐标的取值范围为.如图： 所以轨迹方程为 （3）因为直线与曲线有公共点， 所以圆到直线的距离，，，解得. 当时，联立与，消去y得，解得， 当时，同理可得. 即直线与曲线C相切时的切点的横坐标为，如图： 所以直线与曲线有公共点，的取值范围是 16．(1) 证明：由四边形为矩形，可得，因 平面，平面，故平面； 因，平面，平面，故平面， 又因平面，故有平面平面. 再由平面可得平面. (2) 【难度】0.65 【知识点】面面平行证明线面平行、证明面面平行、证明线面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）由线线平行证平面，平面，再由线面平行证明平面平面，利用面面平行的性质即可证得结论； （2）先由平面平面证明平面，即得，结合条件证明平面，即得，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面. 又因为平面，所以，在矩形中，. 因为平面，，故平面. 因为平面，所以. 故分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得，，，. 所以，. 设平面的法向量为，则 即 令，则，.于是. 因为，设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 17．（1）或； （2） 【难度】0.67 【知识点】轨迹问题——椭圆、利用椭圆定义求方程、由标准方程确定圆心和半径、根据方程表示椭圆求参数的范围、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】（1）两个分母与都含参数，谁大谁小不确定，故需分类讨论；同时 “表示椭圆”还要求两个分母均为正，这是隐含条件，由焦距为得，故只需按与 的大小分两类，利用建立方程求； （2）动点是动圆的圆心，等量关系来自两个相切条件：外切时圆心距等于两半径之和，内切时圆心距等于两半径之差，设动圆半径为，则两个条件可写成与 ；两式相加即可消去，得到，其中、为定点，且 ，结合椭圆的定义得解. 【详解】（1）由题意得且，解得. ① 当，即时，焦点在轴上， ，，. 又焦距，得，即，解得，符合. ② 当，即时，焦点在轴上， ，，. 由得，解得，符合. 当时，方程为，表示圆，不合题意. 综上，或. （2）圆：，配方得 ， 所以圆心 ，半径 ， 圆：，配方得， 所以圆心，半径， 设动圆圆心为，半径为， 动圆与圆外切，则， 动圆与圆内切，则， 两式相加，得， 又， 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆方程为为， 则由得，半焦距为，所以， 故动圆圆心的轨迹方程为. 18．(1)证明：在直角梯形中，，，则，. 在中，，，所以，. 因为，所以. 在中，，， 则. 又，所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. (2) 【难度】0.44 【知识点】面面垂直证线面垂直、多面体与球体内切外接问题、线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）根据面面垂直的性质得到线面垂直，进而得到线线垂直. （2）建立空间直角坐标系，判断出点的位置并求出点坐标，结合线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）取的中点为，连接PO. 因为，所以. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 所以，解得. 以点为原点，分别以，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，. ，. 设，因为点是三棱锥的外接球的球心，则点应在平面上，所以. 又，， 所以，解得，所以. 所以. 设是平面的一个法向量， 则，即，取，则，， 所以. 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值是. 19．(1) (2)当时，最短距离为；当时，最短距离为 【难度】0.56 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值、求椭圆中的最值问题、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据椭圆的标准方程及特征求解即可. （2）根据两点间距离公式，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）由题意知，故， 椭圆经过点，则，即，解得，. 故椭圆的方程为. （2）设椭圆上的点为，则， 又点（）， 所以 若，即时，的最小值为； 若，即时，当时，取最小值为， 综上所述，当时，最短距离为；当时，最短距离为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $