专题03 圆锥曲线的方程（期中真题汇编，辽宁专用）高二数学上学期

专题03 圆锥曲线的方程 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）已知点是椭圆的一个焦点，则（     ） A.  B. 5 C.  D. 7 2．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）已知点是椭圆上的一个动点，分别是的左、右焦点，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为为上的动点，则下列说法正确的是（       ） A. 的最大值为0 B. 的最大值为 C. 若存在点，使得的斜率分别为，则的离心率可能为 D. 若存在点，使得的斜率分别为，则的离心率可能为 5．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（       ） A. 长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 B. 长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 C. 长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 D. 长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 6．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）如图，若平行光线与平面所成的角，其照射在球上，在平面上形成的投影呈椭圆形，则该椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为，离心率为，是椭圆上异于长轴端点的一动点，点与点关于原点对称，则（       ） A. 的面积最大值为 B. 的最小值为 C. 若以为直径的圆经过两点，则点的轨迹方程为 D. 椭圆上存在点，使得 8．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）已知为坐标原点，长为3的线段，端点，分别在轴､轴上滑动，若动点满足，则动点的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）（多选）关于曲线，下列说法正确的是（       ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线围成的区域面积小于2 C. 曲线上的点到轴、轴的距离之积的最大值是 D. 曲线上的点到轴、轴的距离之和的最大值是 11．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）（多选）已知椭圆的左焦点为，半焦距长为，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（     ） A. 的最小值为 B. 椭圆的短轴长可能为2 C. 椭圆的离心率的取值范围为 D. 若，则椭圆的长轴长为 12．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线过左焦点，交于，两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围是，线段的长度的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）（多选）已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点，且°．为椭圆上任意一点（异于左，右顶点），直线分别与椭圆交于，则（       ） A. 椭圆的离心率为 B. 内切圆的半径为 C. △的外接圆方程为 D. △与△内切圆半径之和的最大值为 14．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点与焦点不重合，若关于，对称的点分别为，，线段的中点在椭圆上，则（     ） A. 若形成，则周长是定值为 B.  C. 的最小值为 D. 当点与原点重合时，点的轨迹方程是 15．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）（多选）历史上，许多数学家研究过圆锥的截口曲线.如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为30°，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点距离圆锥顶点的长度为1，则以下关于该截口曲线描述正确的命题有（     ） A. 点与该曲线上的任意一点的距离中，最大值为 B. 该曲线上任意两点之间的最大距离为 C. 该截口曲线的焦距是 D. 点为该曲线的一个焦点 16．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）（多选）已知椭圆的两焦点分别为，若点在的内部，点在的外部，则的离心率可能是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线 （1）求点P的轨迹E的方程; （2）设点，点，求的最大值; 18．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）若圆与椭圆外切，则　　　　　　． 19．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）某圆锥的底面半径为3，高为，则该圆锥的侧面积为　　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）已知圆，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，直线与圆交于点，，若，则　　　　　　　　. 21．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且为上的动点. （1）若，求； （2）设点，求的最小值与最大值. 22．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为6，则这样的点P有　　　　　　　个． 23．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点. （1）若焦距为，点的坐标为，求椭圆的标准方程； （2）若，且的面积为，求的值. 24．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）已知离心率，焦点在轴上的椭圆与直线相交于，两点，为坐标原点，若. （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆的左右焦点为，，过椭圆中心作一条直线与椭圆相交于，两点，求周长的最小值. 25．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，已知动点分别在轴、轴上，是线段上靠近的三等分点，为关于轴的对称点．若，则点的轨迹方程为　　　　　　　． 26．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线交于两点． （1）若是上一动点，求的周长； （2）探究是否成立，若成立，求出的方程；若不成立，请说明理由． 27．（25-26学年高二上·辽宁营口·期中）（多选）已知椭圆的右顶点为，的两个焦点为，且. （1）求的方程. （2）设直线与相交于A，B两点，关于轴的对称点为. （i）若，的横坐标大于的横坐标，求直线AD的斜率. （ii）试问直线AD是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 28．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）已知椭圆两个焦点分别为，，并且椭圆经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆的左、右顶点为，，直线的方程为：，该直线与椭圆交于，两点（，不与顶点，重合），记直线，，的斜率分别为、、. ①证明：； ②若，求的取值范围. 29．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）已知圆，椭圆，点M，N分别在圆和椭圆上，则线段长度的最小值为　　　　　. 30．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）已知平面内的动点的轨迹是阿波罗尼斯圆（动点与两定点，的距离之比，（且的常数），其方程为，定点分别为椭圆的上焦点与上顶点，且椭圆与轴的两个交点之间的距离为，过点作斜率为的直线交圆于点， （1）求椭圆的标准方程； （2）若为锐角（其中是原点），求斜率的取值范围； （3）设椭圆的下焦点为，求面积的最大值. 31．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆的右焦点为，右顶点为，且点在圆上． （1）求的方程； （2）设为圆上三等分圆周的任意三点，设的延长线与分别交于点． （ⅰ）设，求关于的表达式; （ⅱ）求的值． 考点02 双曲线 1．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）已知椭圆的方程为，且离心率与双曲线的离心率互为倒数，则下列椭圆方程不满足上述条件的为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·辽宁营口·期中）若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（     ） A.  B.  C.  D. 10 3．（25-26学年高二上·辽宁营口·期中）若双曲线的焦距为4，直线与交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（     ） A.  B.  C. 1 D. 2 4．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）若将如图所示大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，此双曲线的离心率，下焦点到一条渐近线的距离为1，则该双曲线方程为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 5．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）已知双曲线，、为双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上的点，记直线、的斜率分别为、，若，则该双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·辽宁营口·期中）已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，虚轴长为4，且渐近线方程为. （1）求的标准方程； （2）设为上异于顶点，的动点，证明直线与的斜率之积为定值，并求该定值. 7．（25-26学年高二上·辽宁营口·期中）若双曲线与椭圆有公共点，则的实轴长的取值范围是　　　　　　　　　　　，的离心率的取值范围是　　　　　　　　　　　. 8．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为右支上一点（不与顶点重合），射线是的外角平分线，其与轴的交点为点，的角平分线与直线交于点，则　　　　　　　　　　　. 9．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）若平面内的曲线C与某正方形A四条边的所在直线均相切，则称曲线C为正方形A的一条“切曲线”，正方形A为曲线C的一个“切立方”. （1）圆的一个“切立方”A的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A四条边所在直线的方程： （2）已知正方形A的方程为，且正方形A为双曲线的一个“切立方”，求该双曲线的离心率e的取值范围； （3）设函数的图象为曲线C，试问曲线C是否存在切立方，并说明理由. 考点03 抛物线 1．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）（多选）平面上的动点到两定点，的距离之积为9的点轨迹的图形，类似“”.该曲线上任意一点的坐标为，则下列选项正确的是（       ） A. 该曲线关于轴和轴均对称 B. 曲线方程为 C. 的最大值为3 D. 的最大值为 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线的方程 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．C 2．B 3．B 4．ABD 5．C 6．B 7．BCD 8．A 9．A 10．ABC 11．CD 12．D 13．ABD 14．ABC 15．ABC 16．AB 17．【答案】（1）；     （2）；      【分析】 （1）设，根据斜率公式，可得，表达式，根据，代入化简，即可得答案. （2）由（1）可得为椭圆的左焦点，分析可得点N在椭圆内，根据椭圆的定义，可得，分析求解，即可得答案. (1) 小问详解： 设，则，， 由，得，整理得， 故点P的轨迹方程E为. (2) 小问详解： 由（1）知，点P的轨迹为除去长轴端点的椭圆，其中，，， 故点为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为， 因为，所以点N在椭圆内， 由椭圆的定义得， 当P，N，三点共线(在线段PN上)时取等号， 所以的最大值为· 18．【答案】 【分析】 求出圆的圆心及半径，再结合圆及椭圆的图形特征确定切点，列式求解. 【详解】 圆的圆心，半径为1， 椭圆的左、右顶点分别为，， 由圆与椭圆外切，得圆与椭圆外切于点或点， 因此或，所以. 故答案为： 19．【答案】 【分析】 先求出圆锥的母线，再根据圆锥侧面积公式即可求得答案． 【详解】 ∵圆锥的底面半径为3，高为， ∴圆锥的母线为， ∴圆锥的侧面积为， 故答案为：． 20．【答案】6 【分析】 利用求出，然后将转化为求解即可. 【详解】 设，由于， 而，则， 所以， ． 故答案为：6 21．【答案】（1）；     （2）最小值为，最大值为.      【分析】 （1）根据椭圆的定义求解； （2）利用椭圆定义将进行转化，再结合三角形三边关系求解. (1) 小问详解： 依题意得：， 根据椭圆定义可得：， 已知，联立以下两个方程： ， 将两式相加，得，因此； (2) 小问详解： 椭圆右焦点的坐标为，左焦点； 根据椭圆定义，，因此， 代入，得：， 对任意点，有，当且仅当、、共线时取等号； 因为， 所以，代入， 得：最小值：，当在的延长线与椭圆的交点时取得；  最大值：当在的延长线与椭圆的交点时取得. 22．【答案】 【分析】 先求出椭圆的长轴长，再利用椭圆定义直接分析作答. 【详解】 由题意可得，根据椭圆定义，若点到椭圆的一个焦点的距离为6， 则它到椭圆的另一个焦点的距离为， 因为，所以椭圆上点到椭圆的一个焦点的距离为6等价于椭圆上点到椭圆的两个焦点的距离分别为和6， 根据椭圆的对称性，所以这样的点共有4个. 故答案为：. 23．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先根据焦距可以求解的值，然后再将点代入椭圆方程中，进而通过解方程求解，的值； （2）由的面积求解的值，再结合椭圆的定义和余弦定理进行求解即可. (1) 小问详解： 已知，所以得：，即， 由于点在椭圆上，将其代入椭圆方程， 可得：，即， 又因为，即. 联立 ，整理得：，解得：或（舍） 所以，故椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 因为，所以的面积， 则，根据椭圆定义可得：. 根据余弦定理可得：， 整理得：， 代入得：，即，即得：. 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设出椭圆标准方程后结合离心率可得该椭圆方程为，联立直线，消去后计算可得与交点纵坐标有关韦达定理，再结合向量数量积公式计算即可得解； （2）结合椭圆定义及短轴为过椭圆中心的弦中的最短弦即可得解. (1) 小问详解： 设该椭圆标准方程为，由题意可得， 则，故该椭圆方程为，即， 联立 ，消去，有， ，化简得， 设、，则有，， 由，则 ，解得， 故，即椭圆的标准方程为； (2) 小问详解： 由直线过椭圆中心，故点、关于原点对称， 则，则， 则周长为， 又在椭圆所有过椭圆中心的弦中，短轴长最小，故， 则周长的最小值为. 25．【答案】 【分析】 设，可得，，利用向量的坐标运算结合条件即可求解. 【详解】 设，是线段上靠近的三等分点，则，，为关于轴的对称点．则， 所以 若，则，即； 则点的轨迹方程为：； 故答案为： 26．【答案】（1）6     （2）结论不成立，理由如下： 假定成立，设， 由 得， 则，解得或， 且， 设的中点为，则，， 而，由得， 则，整理得， 此方程无解，所以结论不成立. 【分析】 （1）利用椭圆的定义计算出的周长； （2）直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合建立方程求解. (1) 小问详解： 由题意得，椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 所以的周长为. (2) 小问详解： 略 27．【答案】（1）     （2）（i）；（ii）直线AD过定点，且定点的坐标为      【分析】 （1）在△ PF_1F_2中利用正弦定理可得：2a=(4√3)/(3) c，结合椭圆的定义和右顶点坐标即可解得a，b，c，从而写出椭圆方程·； （2）（i）联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，求出A，D两点坐标，进而求直线AD的斜率； （ii）通过对称性可知，该定点必在轴上，使，结合韦达定理，去解y的具体值即可. (1) 小问详解： 因为， 所以由正弦定理得，        则，             \ 则，又因为椭圆C的右顶点为P(1,0)，故，        所以，所以的方程为. (2) 小问详解： 设，将代入， 得，        则恒成立，        x_1+x_2=-(2√3k)/(k^2+4),x_1x_2=-(1) /(k^2+4).        （i）若，则有，解得或(1) /(2). 依题意得，则， 因为点关于轴的对称点为，所以， 则.        （ii）当时，重合，与条件矛盾， 直线AD的方程为，        假设直线AD过定点，根据对称性可知，定点必在轴上， 令，得               ，        所以直线AD过定点，且定点的坐标为. 28．【答案】（1）     （2）① 证明：设l与x轴的交点为D， 联立 ， 则，需满足， 设，则， 又，故； ②      【分析】 （1）由焦点坐标和椭圆上的点，列出等式求解即可； （2）联立椭圆方程，可得根与系数关系，① 化简整理可得的值；② 利用① 的结论推出，结合根与系数的关系式化简可求得m的值，继而求得的面积的表达式，结合函数的单调性即可求得答案. (1) 小问详解： 设椭圆方程为， 由焦点坐标可得， 由椭圆经过点，得， 又，联立可得：， 故椭圆方程为； (2) 小问详解： ① 略 ② 当，由， 可得， 即，所以， 即， 即， 即， 整理得，解得或， 由可知，直线斜率不为， 所以直线交椭圆于在轴的两侧， 所以，则， 故，此时直线l为，过定点，与椭圆C交于不同两点； 此时， ， 令，由于l与轴不垂直，故，所以， 故， 设，时，， 即在上单调递增，即， 故， 即的面积的取值范围为. 29．【答案】 【分析】 设点，利用两点间距离公式计算，代入，将其化成关于的二次函数，利用其性质求得线段长度的最小值，代入计算即得. 【详解】 圆的圆心坐标为，半径， 设点的坐标为，则， 又点在椭圆上，所以，即，， 所以， 则当时，取得最小值，结合圆的几何性质可得. 故答案为：. 30．【答案】（1）     （2）     （3）3      【分析】 （1）根据阿波罗尼斯圆定义结合椭圆方程可得，，进而可得，即可得椭圆方程； （2）可知斜率存在且不为零，，与圆的方程联立可得韦达定理，根据和运算求解； （3）解法一：利用垂径定理求，进而可得，换元令，结合基本不等式求最值；解法二：利用割补法求得，换元令，结合基本不等式求最值. (1) 小问详解： 取，由阿波罗尼斯圆定义可得， 由题可知，代入上式可解得， 则，所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 由题设可知：斜率存在且不为零，设， 联立方程 ，消去y得， 则，解得， 设两交点，，可得，， 若使为锐角，则满足， 因为 ， 可得，解得，可得或， 所以斜率的取值范围为. (3) 小问详解： 解法一：因为斜率存在且不为零，设， 圆的圆心为，半径， 则点到直线的距离为， 且原点到直线的距离，则， 可得， 令，则， 可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以面积的最大值为3； 解法二：由题意可知：，，同号， 且， ， 因为 ， 令，则， 可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以面积的最大值为3. 31．【答案】（1）     （2）(i)   (ii)      【分析】 （1）根据右顶点在圆上求出，然后求出即可得出椭圆方程； （2）（i）设直线的参数方程为：，，代入椭圆求出即的长； （ii）取特殊位置计算出，再根据对称性说明无论在什么位置都为定值. (1) 小问详解： 点满足圆的方程：，解得或(舍去)， 又，所以，因此，椭圆的方程为. (2) 小问详解： （i）直线的方向角为，参数方程为：，，. 代入椭圆方程得：， 整理得，， 所以该方程的正根（对应射线方向为）：， 因此，. （ii）三点为圆周的三等分点， 取标准位置：(对应角度)，（对应）(对应)， 对于，直线的方向为，延长线与椭圆交于另一个点，， 对于，直线的方向为，延长线与椭圆交于另一个点，， 对于，直线的方向为，延长线与椭圆交于另一个点，， 所以. 由于三等分点的对称性和固定位置，该值恒定为. 考点02 双曲线 1．B 2．A 3．D 4．B 5．A 6．【答案】（1）；     （2） 设，则，即， 不妨设为左顶点，则，， 则 ，        所以直线与的斜率之积为定值，且该定值为4.      【分析】 （1）由焦点在轴上，设的方程为，由虚轴长和渐近线方程得到和的等式，计算求解； （2）设，写出和的坐标，求出和，计算即可得解. (1) 小问详解： 依题意可设的方程为， 则 解得，， 所以的标准方程为. (2) 小问详解： 略 7．【答案】①     ② 【分析】 由双曲线方程写出，即可表示出离心率，由双曲线与椭圆有公共点得不等式，然后解得双曲线中的范围，即得实轴长的取值范围，由不等式可以解得的取值范围，可得的离心率的取值范围. 【详解】 由，得，则，所以. 因为的上顶点的坐标为的上顶点的坐标为，则， 即，，所以的实轴长的取值范围为. 且，所以. 故答案为：；. 8．【答案】.6 【分析】 通过双曲线定义结合角平分线定理，逐步推导比例关系得出结果. 【详解】 由双曲线，得，，焦点，. 根据双曲线定义，. 因为是的外角平分线，由角平分线定理得. 又平分，在中，由角平分线定理得. 设，则，故，即. 结合（），解得，. 因此. 故答案为：. 9．【答案】（1），     （2）     （3）曲线C存在切立方，理由：由曲线，设切点为， 联立 ， 得， 即， 点在曲线和直线上，整理得， 则过该点的一条切线方程为， 即， 由函数为奇函数，其图象关于原点对称，因此如果曲线C是存在“切立方”， 则正方形也关于原点对称，故与第一条边平行的正方形的另一条边所在直线为：， 设第三个切点为（），同理可得另两条切线为， 若存在正方形，即 ， 由此可设，， 代入消元可得， 设， 由，，且在上，函数图象连续不间断， 则由零点存在性定理可知在上有解， 因此曲线C存在切立方.      【分析】 （1）根据“切立方”的定义，结合图象，找到一个“切立方”的四条边所在直线的方程即可； （2）根据“切立方”的定义，联立与双曲线，由于相切，则，根据，即可求出双曲线的离心率的取值范围； （3）设第一个切点为，则切线为，根据函数的图象关于原点对称和正方形对边平行，因此可设第二条切线为，同理求出第三条和第四条切线，然后验证四条切线形成的图形是否为正方形即可. (1) 小问详解： 根据“切立方”的定义，设直线方程，可得 ，， ， ，； (2) 小问详解：    由正方形A的方程为，则， 由正方形A为双曲线的一个“切立方”， 则 ，联立整理得， 则， 整理得，即， 由图可知，则， 所以 (3) 小问详解： 略 【点睛】 关键点点睛：本题的第三问的关键是采用设线法，再结合对称性和零点存在性定义即可证明. 考点03 抛物线 1．ABD 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线的方程 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）已知点是椭圆的一个焦点，则（     ） A.  B. 5 C.  D. 7 【答案】C 【分析】 根据关系即可得到答案. 【详解】 由题意得，则，则. 故选：C 2．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据方程表示焦点在坐标轴上的椭圆求出的取值范围，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可． 【详解】 因为是焦点在坐标轴上的椭圆， 所以 ，解得：且， 所以“”是“曲线是焦点在坐标轴上的椭圆”的必要不充分条件． 故选：B． 3．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）已知点是椭圆上的一个动点，分别是的左、右焦点，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 当点是短轴的端点时，取得最大值，取得最小值，利用余弦定理求解即可. 【详解】 当点是短轴的端点时，取得最大值，取得最小值， 因为， 所以， 所以. 故选：. 4．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为为上的动点，则下列说法正确的是（       ） A. 的最大值为0 B. 的最大值为 C. 若存在点，使得的斜率分别为，则的离心率可能为 D. 若存在点，使得的斜率分别为，则的离心率可能为 【答案】ABD 【分析】 根据椭圆的性质，结合向量的数量积公式、直线的斜率公式以及椭圆的离心率范围逐一分析选项 【详解】 由题意知，设，则， 对于A，， 则， 当时，取最大值，所以的最大值为正确. 对于B，， 所以，当时，取最大值， 所以的最大值为，B正确； 对于C、D，设 ，因为，所以，得，又，所以，C错误，D正确. 故选：ABD 5．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（       ） A. 长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 B. 长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 C. 长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 D. 长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 【答案】C 【分析】 设点的坐标，然后根据列出等式，代入圆的方程中即可得到的轨迹为椭圆. 【详解】 设，则， 所以. 因为，所以 代入，得，即， 则动点的轨迹是长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆. 故选：C. 6．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）如图，若平行光线与平面所成的角，其照射在球上，在平面上形成的投影呈椭圆形，则该椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设球的半径为，则知道椭圆的短轴长，过椭圆的长轴作的垂面得到截面图，由平面几何求得椭圆的长轴长，从而解得椭圆的离心率. 【详解】 设球的半径为，则椭圆的短轴长，即. 过椭圆的长轴作的垂面，得到如图所示的截面图， 其中DE是椭圆的长轴，，AD，BE是光线， A，B是光线与球面的切点，则， 椭圆的长轴长，即. 故椭圆的离心率.        故选：B. 7．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为，离心率为，是椭圆上异于长轴端点的一动点，点与点关于原点对称，则（       ） A. 的面积最大值为 B. 的最小值为 C. 若以为直径的圆经过两点，则点的轨迹方程为 D. 椭圆上存在点，使得 【答案】BCD 【分析】 A列关系式，求椭圆方程，当点位于短轴顶点时，的面积最大；B证明四边形为平行四边形，再结合基本不等式可求；C设过点的圆的一般方程，将三点坐标代入求出圆方程，利用关于圆心对称，求出点坐标，再利用消参思想求出轨迹方程；D当点位于短轴顶点时符合题意. 【详解】 由题意可知，，，，解得， 则，，, 当点位于短轴顶点时，的面积最大，最大值为，故A错误； 因点与点关于原点对称，则四边形为平行四边形，则， 因，则 , 等号成立时，故B正确； 设过点的圆的方程为， 设，且，，， 则，，， 得，， 则过点的圆的方程为，圆心， 因为圆的直径，则关于点对称，则， 令，则， 因，则， 因，则点的轨迹方程为，C正确； 当点位于短轴顶点时，此时为等边三角形，，故D正确. 故选：BCD 8．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）已知为坐标原点，长为3的线段，端点，分别在轴､轴上滑动，若动点满足，则动点的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据给定条件，利用向量的坐标运算用点的坐标表示出点的坐标，再利用给定线段长求出方程. 【详解】 设点，由，得， 则，而线段长为3，即，因此， 所以动点的轨迹方程为. 故选：A 9．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用椭圆的定义，将转化为，结合图形求得最小值. 【详解】 如图，M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆上任意一点， ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 而，，则， 所以的最小值为. 故选：A 10．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）（多选）关于曲线，下列说法正确的是（       ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线围成的区域面积小于2 C. 曲线上的点到轴、轴的距离之积的最大值是 D. 曲线上的点到轴、轴的距离之和的最大值是 【答案】ABC 【分析】 代入对称点判断曲线对称判断A,找到曲线围成的面积小于围成的面积判断B,根据基本不等式得出乘积的最大值判断C,应用基本不等式求和的最大值判断D. 【详解】 对于方程，以代替，同时以代替方程不变，所以曲线关于对称，故A正确； 对于B，设分别为与图象上第一象限内的点，， 则，所以在的下方， 所以曲线围成的面积小于围成的面积，围成的面积为，故B正确； 对于C，因为，等号仅当时成立， 所以曲线上的点到轴、轴的距离之积，故C正确; 对于D，因为，所以， 等号仅当时成立，所以曲线上的点到轴、轴的距离之和的最小值为，故D错误. 故选:ABC. 11．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）（多选）已知椭圆的左焦点为，半焦距长为，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（     ） A. 的最小值为 B. 椭圆的短轴长可能为2 C. 椭圆的离心率的取值范围为 D. 若，则椭圆的长轴长为 【答案】CD 【分析】 由题意可得轴，利用椭圆的定义得，当，，三点共线时取到最小值可判断A；因为在椭圆内可得可判断B；由在椭圆内可得长轴长，结合离心率公式可判断C；由已知条件求出点的坐标，再由两点间的距离求出长轴长的值可判断D. 【详解】 因为半焦距长为，可得左焦点为，右焦点为， 因为，所以轴， 对于A：， 当且仅当，，三点共线时取到最小值为，故A错误； 对于B：因为在椭圆内所以，所以短轴长，故B不正确； 对于C：因为在椭圆内，所以长轴长， 所以离心率，所以，故C正确； 对于D：因为，所以为的中点，而，，， 所以，所以长轴长，故D正确； 故选：CD. 【点睛】 方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ① 求出，，代入公式； ② 只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)． 12．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线过左焦点，交于，两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围是，线段的长度的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出. 【详解】 设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得， ， 又 ， ，， ，，则，即， 所以线段的长度的最小值为. 故选：D. 13．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）（多选）已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点，且°．为椭圆上任意一点（异于左，右顶点），直线分别与椭圆交于，则（       ） A. 椭圆的离心率为 B. 内切圆的半径为 C. △的外接圆方程为 D. △与△内切圆半径之和的最大值为 【答案】ABD 【分析】 由已知条件直接求得得离心率判断A，得椭圆标准方程，解方程组求出交点坐标得直角的边长后可求得其内切圆半径判断B，同样由三点坐标求出外接圆方程判断C（可用点的坐标代入判断），利用面积的两种不同计算方法可求得内切圆半径与点坐标的关系，结合韦达定理可求出两内切圆半径和的最大值，判断D． 【详解】 A选项，由题意，是等腰直角三角形，因此，， 离心率为，A正确； B选项，由上知，，直线的方程为，椭圆方程为， 由 ，解得 或 ，∴， ，，而， 则，即为直角三角形， ∴△内切圆的半径为，B正确； C选项，由题意设△的外接圆圆心坐标为，则，解得， 即圆心坐标为，半径为， 圆方程为，C错； D选项，设，的内切圆在三边上的切点分别为，如图，    一方面，， 另一方面，记的内切圆半径为，， 所以，，事实上，不论点在轴上方还是下方，都有与同号，所以，从而， 则的内切圆半径为，内切圆半径为， △与△内切圆半径之和为， 设直线方程为， 由 得， ， ， 所以当，即时，取得最大值，D正确， 故选：ABD． 【点睛】 结论点睛：设是椭圆上的点，是椭圆焦点，与不共线，的内切圆圆心为，半径为，椭圆离心率为， 则，，， 14．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点与焦点不重合，若关于，对称的点分别为，，线段的中点在椭圆上，则（     ） A. 若形成，则周长是定值为 B.  C. 的最小值为 D. 当点与原点重合时，点的轨迹方程是 【答案】ABC 【分析】 A选项，由椭圆定义可求周长；B选项，由中位线结合椭圆定义可判断；C选项，由椭圆定义，结合基本不等式“1”的巧用可求最值；D选项，由相关点法可求点的轨迹方程. 【详解】 对于A，椭圆，，，，所以周长是定值为，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以 ， 当且仅当时，取等号，检验符合题意，所以最小值为，故C正确； 对于D，当点与原点重合时，设，，则 ， 由于点在椭圆上，则， 所以，即，故D不正确； 故选：ABC. 15．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）（多选）历史上，许多数学家研究过圆锥的截口曲线.如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为30°，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点距离圆锥顶点的长度为1，则以下关于该截口曲线描述正确的命题有（     ） A. 点与该曲线上的任意一点的距离中，最大值为 B. 该曲线上任意两点之间的最大距离为 C. 该截口曲线的焦距是 D. 点为该曲线的一个焦点 【答案】ABC 【分析】 对A，最大距离为到截面椭圆位于截面下端的顶点的距离；对B，最大距离为椭圆截面的长轴长；对C、D，截面上取中点为坐标原点，方向为轴正向，建立平面直角坐标系，则可得椭圆方程，进而求得焦点和焦距. 【详解】 对于A：根据圆锥曲线的概念可知截口曲线为椭圆，设与截面垂直的母线垂足为. 平面交椭圆的另一交点为，由对称性知为该椭圆的长轴端点. 在直角三角形中，由，，， 则有，，， ，， 所以点到该曲线上的任意一点的距离最大值就是，故A正确； 对于B：该曲线上任意两点之间的最大距离是，故B正确； 对于C：再过作平面垂直于旋转轴，则可得该截面圆的半径， 在这个圆面内作垂直于平面，交椭圆于点，则， 如图2，在截面上取中点为坐标原点，方向为轴正向，建立平面直角坐标系， 则，，，过作垂直于轴，交椭圆于点，则， 设椭圆方程为，将代入得：， 最后可得， 由于，即椭圆焦距，故C正确； 对于D：由C可知不是椭圆的焦点，故D错误； 故选：ABC. 16．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）（多选）已知椭圆的两焦点分别为，若点在的内部，点在的外部，则的离心率可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】AB 【分析】 设出椭圆方程，分别代入的坐标列不等式，由此求得离心率的取值范围. 【详解】 由椭圆焦点，，得椭圆中心为，. 设椭圆方程为，其中. 因为点在椭圆外部，所以， 因，故，即. 因为点在椭圆内部，所以，通分整理得， 因式分解得. 因，故，即. 综上，，， 离心率，则. 所以AB选项符合，CD选项不符合. 故选：AB 17．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线 （1）求点P的轨迹E的方程; （2）设点，点，求的最大值; 【答案】（1）；     （2）；      【分析】 （1）设，根据斜率公式，可得，表达式，根据，代入化简，即可得答案. （2）由（1）可得为椭圆的左焦点，分析可得点N在椭圆内，根据椭圆的定义，可得，分析求解，即可得答案. (1) 小问详解： 设，则，， 由，得，整理得， 故点P的轨迹方程E为. (2) 小问详解： 由（1）知，点P的轨迹为除去长轴端点的椭圆，其中，，， 故点为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为， 因为，所以点N在椭圆内， 由椭圆的定义得， 当P，N，三点共线(在线段PN上)时取等号， 所以的最大值为· 18．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）若圆与椭圆外切，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 求出圆的圆心及半径，再结合圆及椭圆的图形特征确定切点，列式求解. 【详解】 圆的圆心，半径为1， 椭圆的左、右顶点分别为，， 由圆与椭圆外切，得圆与椭圆外切于点或点， 因此或，所以. 故答案为： 19．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）某圆锥的底面半径为3，高为，则该圆锥的侧面积为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先求出圆锥的母线，再根据圆锥侧面积公式即可求得答案． 【详解】 ∵圆锥的底面半径为3，高为， ∴圆锥的母线为， ∴圆锥的侧面积为， 故答案为：． 20．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）已知圆，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，直线与圆交于点，，若，则　　　　　　　　. 【答案】6 【分析】 利用求出，然后将转化为求解即可. 【详解】 设，由于， 而，则， 所以， ． 故答案为：6 21．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且为上的动点. （1）若，求； （2）设点，求的最小值与最大值. 【答案】（1）；     （2）最小值为，最大值为.      【分析】 （1）根据椭圆的定义求解； （2）利用椭圆定义将进行转化，再结合三角形三边关系求解. (1) 小问详解： 依题意得：， 根据椭圆定义可得：， 已知，联立以下两个方程： ， 将两式相加，得，因此； (2) 小问详解： 椭圆右焦点的坐标为，左焦点； 根据椭圆定义，，因此， 代入，得：， 对任意点，有，当且仅当、、共线时取等号； 因为， 所以，代入， 得：最小值：，当在的延长线与椭圆的交点时取得；  最大值：当在的延长线与椭圆的交点时取得. 22．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为6，则这样的点P有　　　　　　　个． 【答案】 【分析】 先求出椭圆的长轴长，再利用椭圆定义直接分析作答. 【详解】 由题意可得，根据椭圆定义，若点到椭圆的一个焦点的距离为6， 则它到椭圆的另一个焦点的距离为， 因为，所以椭圆上点到椭圆的一个焦点的距离为6等价于椭圆上点到椭圆的两个焦点的距离分别为和6， 根据椭圆的对称性，所以这样的点共有4个. 故答案为：. 23．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点. （1）若焦距为，点的坐标为，求椭圆的标准方程； （2）若，且的面积为，求的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先根据焦距可以求解的值，然后再将点代入椭圆方程中，进而通过解方程求解，的值； （2）由的面积求解的值，再结合椭圆的定义和余弦定理进行求解即可. (1) 小问详解： 已知，所以得：，即， 由于点在椭圆上，将其代入椭圆方程， 可得：，即， 又因为，即. 联立 ，整理得：，解得：或（舍） 所以，故椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 因为，所以的面积， 则，根据椭圆定义可得：. 根据余弦定理可得：， 整理得：， 代入得：，即，即得：. 24．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）已知离心率，焦点在轴上的椭圆与直线相交于，两点，为坐标原点，若. （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆的左右焦点为，，过椭圆中心作一条直线与椭圆相交于，两点，求周长的最小值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设出椭圆标准方程后结合离心率可得该椭圆方程为，联立直线，消去后计算可得与交点纵坐标有关韦达定理，再结合向量数量积公式计算即可得解； （2）结合椭圆定义及短轴为过椭圆中心的弦中的最短弦即可得解. (1) 小问详解： 设该椭圆标准方程为，由题意可得， 则，故该椭圆方程为，即， 联立 ，消去，有， ，化简得， 设、，则有，， 由，则 ，解得， 故，即椭圆的标准方程为； (2) 小问详解： 由直线过椭圆中心，故点、关于原点对称， 则，则， 则周长为， 又在椭圆所有过椭圆中心的弦中，短轴长最小，故， 则周长的最小值为. 25．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，已知动点分别在轴、轴上，是线段上靠近的三等分点，为关于轴的对称点．若，则点的轨迹方程为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设，可得，，利用向量的坐标运算结合条件即可求解. 【详解】 设，是线段上靠近的三等分点，则，，为关于轴的对称点．则， 所以 若，则，即； 则点的轨迹方程为：； 故答案为： 26．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线交于两点． （1）若是上一动点，求的周长； （2）探究是否成立，若成立，求出的方程；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）6     （2）结论不成立，理由如下： 假定成立，设， 由 得， 则，解得或， 且， 设的中点为，则，， 而，由得， 则，整理得， 此方程无解，所以结论不成立. 【分析】 （1）利用椭圆的定义计算出的周长； （2）直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合建立方程求解. (1) 小问详解： 由题意得，椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 所以的周长为. (2) 小问详解： 略 27．（25-26学年高二上·辽宁营口·期中）（多选）已知椭圆的右顶点为，的两个焦点为，且. （1）求的方程. （2）设直线与相交于A，B两点，关于轴的对称点为. （i）若，的横坐标大于的横坐标，求直线AD的斜率. （ii）试问直线AD是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）     （2）（i）；（ii）直线AD过定点，且定点的坐标为      【分析】 （1）在△ PF_1F_2中利用正弦定理可得：2a=(4√3)/(3) c，结合椭圆的定义和右顶点坐标即可解得a，b，c，从而写出椭圆方程·； （2）（i）联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，求出A，D两点坐标，进而求直线AD的斜率； （ii）通过对称性可知，该定点必在轴上，使，结合韦达定理，去解y的具体值即可. (1) 小问详解： 因为， 所以由正弦定理得，        则，             \ 则，又因为椭圆C的右顶点为P(1,0)，故，        所以，所以的方程为. (2) 小问详解： 设，将代入， 得，        则恒成立，        x_1+x_2=-(2√3k)/(k^2+4),x_1x_2=-(1) /(k^2+4).        （i）若，则有，解得或(1) /(2). 依题意得，则， 因为点关于轴的对称点为，所以， 则.        （ii）当时，重合，与条件矛盾， 直线AD的方程为，        假设直线AD过定点，根据对称性可知，定点必在轴上， 令，得               ，        所以直线AD过定点，且定点的坐标为. 28．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）已知椭圆两个焦点分别为，，并且椭圆经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆的左、右顶点为，，直线的方程为：，该直线与椭圆交于，两点（，不与顶点，重合），记直线，，的斜率分别为、、. ①证明：； ②若，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）① 证明：设l与x轴的交点为D， 联立 ， 则，需满足， 设，则， 又，故； ②      【分析】 （1）由焦点坐标和椭圆上的点，列出等式求解即可； （2）联立椭圆方程，可得根与系数关系，① 化简整理可得的值；② 利用① 的结论推出，结合根与系数的关系式化简可求得m的值，继而求得的面积的表达式，结合函数的单调性即可求得答案. (1) 小问详解： 设椭圆方程为， 由焦点坐标可得， 由椭圆经过点，得， 又，联立可得：， 故椭圆方程为； (2) 小问详解： ① 略 ② 当，由， 可得， 即，所以， 即， 即， 即， 整理得，解得或， 由可知，直线斜率不为， 所以直线交椭圆于在轴的两侧， 所以，则， 故，此时直线l为，过定点，与椭圆C交于不同两点； 此时， ， 令，由于l与轴不垂直，故，所以， 故， 设，时，， 即在上单调递增，即， 故， 即的面积的取值范围为. 29．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）已知圆，椭圆，点M，N分别在圆和椭圆上，则线段长度的最小值为　　　　　. 【答案】 【分析】 设点，利用两点间距离公式计算，代入，将其化成关于的二次函数，利用其性质求得线段长度的最小值，代入计算即得. 【详解】 圆的圆心坐标为，半径， 设点的坐标为，则， 又点在椭圆上，所以，即，， 所以， 则当时，取得最小值，结合圆的几何性质可得. 故答案为：. 30．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）已知平面内的动点的轨迹是阿波罗尼斯圆（动点与两定点，的距离之比，（且的常数），其方程为，定点分别为椭圆的上焦点与上顶点，且椭圆与轴的两个交点之间的距离为，过点作斜率为的直线交圆于点， （1）求椭圆的标准方程； （2）若为锐角（其中是原点），求斜率的取值范围； （3）设椭圆的下焦点为，求面积的最大值. 【答案】（1）     （2）     （3）3      【分析】 （1）根据阿波罗尼斯圆定义结合椭圆方程可得，，进而可得，即可得椭圆方程； （2）可知斜率存在且不为零，，与圆的方程联立可得韦达定理，根据和运算求解； （3）解法一：利用垂径定理求，进而可得，换元令，结合基本不等式求最值；解法二：利用割补法求得，换元令，结合基本不等式求最值. (1) 小问详解： 取，由阿波罗尼斯圆定义可得， 由题可知，代入上式可解得， 则，所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 由题设可知：斜率存在且不为零，设， 联立方程 ，消去y得， 则，解得， 设两交点，，可得，， 若使为锐角，则满足， 因为 ， 可得，解得，可得或， 所以斜率的取值范围为. (3) 小问详解： 解法一：因为斜率存在且不为零，设， 圆的圆心为，半径， 则点到直线的距离为， 且原点到直线的距离，则， 可得， 令，则， 可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以面积的最大值为3； 解法二：由题意可知：，，同号， 且， ， 因为 ， 令，则， 可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以面积的最大值为3. 31．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆的右焦点为，右顶点为，且点在圆上． （1）求的方程； （2）设为圆上三等分圆周的任意三点，设的延长线与分别交于点． （ⅰ）设，求关于的表达式; （ⅱ）求的值． 【答案】（1）     （2）(i)   (ii)      【分析】 （1）根据右顶点在圆上求出，然后求出即可得出椭圆方程； （2）（i）设直线的参数方程为：，，代入椭圆求出即的长； （ii）取特殊位置计算出，再根据对称性说明无论在什么位置都为定值. (1) 小问详解： 点满足圆的方程：，解得或(舍去)， 又，所以，因此，椭圆的方程为. (2) 小问详解： （i）直线的方向角为，参数方程为：，，. 代入椭圆方程得：， 整理得，， 所以该方程的正根（对应射线方向为）：， 因此，. （ii）三点为圆周的三等分点， 取标准位置：(对应角度)，（对应）(对应)， 对于，直线的方向为，延长线与椭圆交于另一个点，， 对于，直线的方向为，延长线与椭圆交于另一个点，， 对于，直线的方向为，延长线与椭圆交于另一个点，， 所以. 由于三等分点的对称性和固定位置，该值恒定为. 考点02 双曲线 1．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）已知椭圆的方程为，且离心率与双曲线的离心率互为倒数，则下列椭圆方程不满足上述条件的为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题可得双曲线离心率为，则椭圆离心率，进而得到，然后逐一判断即可. 【详解】 因为双曲线的离心率为， 所以椭圆的离心率为， 椭圆的方程为， 则该椭圆的长、短半轴长分别为， 离心率，解得， 对于A，，符合； 对于B，，不符合； 对于C，，符合； 对于D，，符合. 故选：B. 2．（25-26学年高二上·辽宁营口·期中）若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（     ） A.  B.  C.  D. 10 【答案】A 【分析】 由双曲线的标准方程求得，根据双曲线定义可得答案. 【详解】 由双曲线，得. 由双曲线的定义可知，到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为. 故选：A 3．（25-26学年高二上·辽宁营口·期中）若双曲线的焦距为4，直线与交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（     ） A.  B.  C. 1 D. 2 【答案】D 【分析】 根据焦距为4，求得m的值，利用点差法，结合中点坐标，求得直线的斜率. 【详解】 由题可知，解得. 所以双曲线. 若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性知，线段的中点均在轴上，不合题意，所以直线的斜率存在. 设，则 ，整理得. 因为线段的中点为，所以. 所以. 直线的斜率为2. 故选：D. 4．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）若将如图所示大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，此双曲线的离心率，下焦点到一条渐近线的距离为1，则该双曲线方程为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】B 【分析】 由离心率得到，从而求出渐近线方程，设下焦点为，由点到直线的距离求出，即可求出、，从而得解. 【详解】 因为双曲线的离心率，所以， 又双曲线的渐近线为，即为，即， 设下焦点为，则，解得，所以，则， 所以双曲线方程为，即. 故选：B 5．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）已知双曲线，、为双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上的点，记直线、的斜率分别为、，若，则该双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用双曲线的对称性和直线的斜率公式，结合已知条件，可得出与的关系，进而求出双曲线的离心率. 【详解】 设，，又、为双曲线上关于原点对称的两点，则， 所以， 又点、在双曲线上，得 ，两式相减得， 可得，因为，所以， 因此. 故选：A 6．（25-26学年高二上·辽宁营口·期中）已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，虚轴长为4，且渐近线方程为. （1）求的标准方程； （2）设为上异于顶点，的动点，证明直线与的斜率之积为定值，并求该定值. 【答案】（1）；     （2） 设，则，即， 不妨设为左顶点，则，， 则 ，        所以直线与的斜率之积为定值，且该定值为4.      【分析】 （1）由焦点在轴上，设的方程为，由虚轴长和渐近线方程得到和的等式，计算求解； （2）设，写出和的坐标，求出和，计算即可得解. (1) 小问详解： 依题意可设的方程为， 则 解得，， 所以的标准方程为. (2) 小问详解： 略 7．（25-26学年高二上·辽宁营口·期中）若双曲线与椭圆有公共点，则的实轴长的取值范围是　　　　　　　　　　　，的离心率的取值范围是　　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 由双曲线方程写出，即可表示出离心率，由双曲线与椭圆有公共点得不等式，然后解得双曲线中的范围，即得实轴长的取值范围，由不等式可以解得的取值范围，可得的离心率的取值范围. 【详解】 由，得，则，所以. 因为的上顶点的坐标为的上顶点的坐标为，则， 即，，所以的实轴长的取值范围为. 且，所以. 故答案为：；. 8．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为右支上一点（不与顶点重合），射线是的外角平分线，其与轴的交点为点，的角平分线与直线交于点，则　　　　　　　　　　　. 【答案】.6 【分析】 通过双曲线定义结合角平分线定理，逐步推导比例关系得出结果. 【详解】 由双曲线，得，，焦点，. 根据双曲线定义，. 因为是的外角平分线，由角平分线定理得. 又平分，在中，由角平分线定理得. 设，则，故，即. 结合（），解得，. 因此. 故答案为：. 9．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）若平面内的曲线C与某正方形A四条边的所在直线均相切，则称曲线C为正方形A的一条“切曲线”，正方形A为曲线C的一个“切立方”. （1）圆的一个“切立方”A的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A四条边所在直线的方程： （2）已知正方形A的方程为，且正方形A为双曲线的一个“切立方”，求该双曲线的离心率e的取值范围； （3）设函数的图象为曲线C，试问曲线C是否存在切立方，并说明理由. 【答案】（1），     （2）     （3）曲线C存在切立方，理由：由曲线，设切点为， 联立 ， 得， 即， 点在曲线和直线上，整理得， 则过该点的一条切线方程为， 即， 由函数为奇函数，其图象关于原点对称，因此如果曲线C是存在“切立方”， 则正方形也关于原点对称，故与第一条边平行的正方形的另一条边所在直线为：， 设第三个切点为（），同理可得另两条切线为， 若存在正方形，即 ， 由此可设，， 代入消元可得， 设， 由，，且在上，函数图象连续不间断， 则由零点存在性定理可知在上有解， 因此曲线C存在切立方.      【分析】 （1）根据“切立方”的定义，结合图象，找到一个“切立方”的四条边所在直线的方程即可； （2）根据“切立方”的定义，联立与双曲线，由于相切，则，根据，即可求出双曲线的离心率的取值范围； （3）设第一个切点为，则切线为，根据函数的图象关于原点对称和正方形对边平行，因此可设第二条切线为，同理求出第三条和第四条切线，然后验证四条切线形成的图形是否为正方形即可. (1) 小问详解： 根据“切立方”的定义，设直线方程，可得 ，， ， ，； (2) 小问详解：    由正方形A的方程为，则， 由正方形A为双曲线的一个“切立方”， 则 ，联立整理得， 则， 整理得，即， 由图可知，则， 所以 (3) 小问详解： 略 【点睛】 关键点点睛：本题的第三问的关键是采用设线法，再结合对称性和零点存在性定义即可证明. 考点03 抛物线 1．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）（多选）平面上的动点到两定点，的距离之积为9的点轨迹的图形，类似“”.该曲线上任意一点的坐标为，则下列选项正确的是（       ） A. 该曲线关于轴和轴均对称 B. 曲线方程为 C. 的最大值为3 D. 的最大值为 【答案】ABD 【分析】 对于B：根据题意结合两点间距离公式求曲线的轨迹方程；对于A：根据方程分析对称性；对于C：举反例说明即可；对于D：利用等面积法可得，即可得最值. 【详解】 对于选项B：由题意可知：，即， 整理可得，故B正确； 对于选项A：用替换可得，即， 方程不变，可知该曲线关于轴对称； 用替换可得，即， 方程不变，可知该曲线关于轴对称； 综上所述：该曲线关于轴和轴对称，故A正确； 对于选项C：因为曲线方程为， 令，可得，解得或，即或， 可知点在曲线上，则的最大值不为3，故C错误； 对于选项D：因为， 即，可得， 当且仅当时，等号成立， 即，可得，所以的最大值为，故D正确； 故选：ABD. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $