3.3 幂函数（10个核心题型归纳）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.3 幂函数 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，形如的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数． （2）常见的5种幂函数的图像 （3）常见的5种幂函数的性质 函数 定义域 R R R ___ ___ 值域 R _ _____ R _ _____ 奇偶性 ___奇___ 偶 ___奇___ 非奇非偶 奇 单调性 在R上 单调 递增 ___在上单调递减_________ _在R上单调递增___ ___在上单调递增_____ _在和上单调递减____ 公共点 ______ 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 求幂函数的解析式与值 基础知识 核心知识 幂函数标准形式为系数必须为1，为常数 方法技巧 依据定义设解析式代入已知点坐标求出 带回解析式再代入自变量求对应函数值 注意区分幂函数和指数函数幂函数底数是变量指数是常数 典型例题 【例题 1】（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2026·河南平顶山·模拟预测）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·辽宁·期中）写出一个同时满足条件①②③的幂函数_____. 条件：①定义域为；②是偶函数；③在上单调递减. 【巩固练习2】（26-27高二·山东·学业考试模拟）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C．3 D．6 【巩固练习3】（25-26高一下·上海宝山·期末）幂函数的图象过点，则实数____________． 【题型2】 求幂函数/幂函数型复合函数定义域 基础知识 核心知识 不同对应定义域不同 为正整数定义域 为正分数(既约)等价开方偶次根式要求底数 为负数等价分式底数不等于0 复合函数遵循内层函数定义域叠加限制 方法技巧 先把指数写成分数根式形式 列出分母不为0偶次根号下非负等限制条件 联立不等式组求解自变量范围 典型例题 【例题1】（25-26高一上·广东深圳·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·河南·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高一上·上海·课后作业）若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为________． 【巩固练习3】（24-25高一上·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型3】 求幂函数/幂函数型复合函数的值域 基础知识 核心知识 幂函数在对应单调区间上的取值范围由指数和定义域共同决定 复合函数遵循由内向外逐层求范围 方法技巧 先求内层函数取值范围 再结合外层幂函数单调性求出最终值域 画图辅助观察端点与趋势留意能否取到边界值 典型例题 【例题1】（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）函数，的值域为__________. 【例题2】（24-25高一上·全国·期中）已知幂函数在区间上单调递增. (1)求k的值； (2)（i）若，求的值； （ii）求的值域. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（多选）某小组在研究性学习中发现：函数不全为0的图象可由反比例函数的图象通过平移得到．已知函数，则（    ） A．是增函数 B．的值域为 C．没有对称轴 D．的图象关于点对称 【巩固练习2】（多选）已知函数（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．的值域为 D．的值域为 【巩固练习3】（26-27高三上·河南信阳·阶段检测）函数的值域为______． 【题型4】 由幂函数的值域求参数范围 基础知识 核心知识 幂函数单调性定义域共同决定值域 参数一般出现在定义域区间或者复合内层解析式 方法技巧 反向分析在给定参数区间上幂函数增减情况 结合值域边界列不等式 检验区间端点是否满足条件 典型例题 【例题1】（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的值； (2)设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【例题2】已知定义在上的函数满足，若函数在上的值域与函数的值域相同，则（    ） A．2 B．1 C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知幂函数，满足 (1)求函数的解析式． (2)若函数，是否存在实数m使得的最小值为0？ (3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由． 【巩固练习2】（25-26高一上·山西大同·期中）已知函数． (1)求在上的值域； (2)解不等式； (3)若关于的方程在上有解，求的取值范围． 【巩固练习3】设函数的定义域为，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数.已知幂函数在内是单调增函数. (1)求函数的解析式. (2)函数是否为“A佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由. 【题型5】 幂函数有关的图像问题 基础知识 核心知识 所有幂函数都过定点（） 在（）单调递增 在（）单调递减 在第一象限指数越大在处图像越高 方法技巧 优先画出第一象限图像再根据奇偶性补全其他象限 对比指数大小判断图像高低 利用图像判断单调性解不等式比较大小 典型例题 【例题1】（25-26高一上·全国·课前预习）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（26-27高一上·全国·课堂例题）幂函数，，，在第一象限内的图象依次对应图中的哪个曲线？ 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·全国·课堂例题）给定一组函数解析式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．请写出图象对应的解析式号码. 【巩固练习2】（26-27高一上·全国·课后作业）如果幂函数的图象不过原点，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【巩固练习3】（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象与x轴无交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型6】 幂函数过定点问题 基础知识 方法技巧 令底数部分等于1解出x再算出y得到定点坐标 区分普通幂函数与带参数复合幂型函数 不要误把指数为0的情况漏掉 典型例题 【例题1】（25-26高一下·陕西安康·期中）函数的图象过定点______. 【例题2】（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的图像恒过点________________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·山西·阶段检测）已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． 【巩固练习2】函数的图象恒过点___________. 【巩固练习3】（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型7】 与幂函数型有关复合函数的单调性与最值 基础知识 核心知识 复合函数单调性满足同增异减规则 外层是幂函数内层是一次二次等基础函数 方法技巧 先求函数定义域 拆分内层函数外层 分别判断两层在区间上增减性同增异减判断整体单调性 最值优先在端点或者内层极值点处取得 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课后作业）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高一上·重庆·期中）（多选）若函数且，则（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三上·广东·期中）已知函数，满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2025·四川·模拟预测）已知函数，则的解集为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习3】（24-25高一上·福建泉州·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【题型8】 与幂函数有关的奇偶性与单调性解不等式 基础知识 核心知识 奇函数满足偶函数满足 单调函数可以脱去函数符号转化自变量大小关系 方法技巧 先判断幂函数奇偶性确定对称区间单调性 转化时必须保证a b都在定义域内 偶函数要转化为简化计算 典型例题 【例题1】（26-27高一上·河南南阳·阶段检测）已知幂函数 在上是单调递减函数，则不等式的解集为_________. 【例题2】（26-27高三上·广东河源·阶段检测）已知幂函数在上是严格减函数，其中，则的值为_________；关于的不等式的解集为_________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·全国·课后作业）若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________. 【巩固练习2】（24-25高一上·广东深圳·期中）已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 【巩固练习3】（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【题型9】 由幂函数的单调性比较大小 基础知识 核心知识 同一幂函数同一单调区间内自变量越大函数值越大（增函数） 底数为正数优先放到同一个幂函数上比较 底数负数先利用奇偶性转化为正数 方法技巧 同指数构造同一个幂函数用单调性比较底数 同底数用指数函数性质 都不同找中间量0或者1搭桥 负数底数先判断符号再比较 典型例题 【例题1】（26-27高一上·河南·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A． B． C． D． 【例题2】（26-27高一上·北京·期中）若，则它们的大小关系是（ ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·福建·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，则的大小关系是______．（用小于号连接） 【巩固练习3】（25-26高三上·河南漯河·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型10】 与幂函数有关的最值与不等式恒成立问题 基础知识 核心知识 恒成立问题恒成立等价 恒成立等价 方法技巧 先研究幂函数或者复合幂函数在给定区间单调性 求出函数最值 转化为最值满足和参数有关的不等式求解参数范围 注意定义域对最值的约束 典型例题 【例题1】（2026·江苏镇江·模拟预测）已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)设，求在区间上的最小值的解析式： (3)在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【例题2】（25-26高一上·天津西青·期末）已知幂函数的图象过点，且函数. (1)求幂函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，使得不等式有解，求实数取值范围. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，函数. (1)求的解析式. (2)已知对勾函数的形式为均为参数，，该函数在上单调递减，在上单调递增. （i）当时，直接写出在上的单调区间； （ii）若在上的最小值为，求的值. 【巩固练习2】（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知幂函数是奇函数，且在上单调递增． (1)求函数的解析式； (2)若正实数满足，求的最小值； (3)对于定义域为D的函数满足存在区间，使在上的值域为，求实数h的取值范围． 【巩固练习3】（25-26高一上·广东汕头·阶段检测）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)函数在上的最小值为，求实数的值. 课后过关检测 一、单选题 1．（26-27高三上·安徽六安·阶段检测）已知幂函数的图象与轴没有公共点，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·江苏盐城·阶段检测）已知幂函数（且）为奇函数，且在区间上递增，则等于（    ） A．1 B．1或3 C．2 D．3 3．（26-27高三上·江西·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·江西·阶段检测）已知幂函数在区间上单调递减，且为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知函数，不等式对于恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（2026·江苏淮安·一模）幂函数（为常数），则（    ）. A．当时，是奇函数 B．的图象过定点 C．当时，的值域为 D．若，则 9．（25-26高一上·贵州遵义·期末）下列说法正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若幂函数图象关于轴对称，则 10．（26-27高三上·河南·阶段检测）已知函数（为实数）的定义域为D，，且，则下列说法正确的是（    ） A．的图象不经过第四象限 B．若为偶函数，则为偶数 C．若，则 D． 三、填空题 11．（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知幂函数 为偶函数，则_______ 12．（2026·四川南充·模拟预测）已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为__________． 13．（25-26高一下·广西钦州·开学考试）写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且. 有 ；③且 有 ；④. 14．（25-26高一上·广东湛江·阶段检测）已知幂函数在上递减，则不等式的解集为________. 四、解答题 15．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若函数，且在的最小值为，求的值. 16．（25-26高一上·江西赣州·期末）已知幂函数在区间上单调递增，函数是定义域为的奇函数，且满足时，. (1)求的解析式； (2)解关于的不等式. 17．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）已知幂函数经过点． (1)求的解析式； (2)设，若在上有且仅有一个零点，求的取值范围； (3)若函数在上的最大值为，最小值为，且满足，求的取值范围． 18．（25-26高一上·上海宝山·期末）如果函数满足：对于任意，均有，其中为常数，则称函数在D上具有性质. (1)分别判断函数，，是否在上具有性质，并说明理由. (2)设函数在具有性质，对任意的实数，求证：函数具有性质. (3)若在闭区间上具有，且，求证：对任意的都有. $3.3 幂函数 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，形如的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数． （2）常见的5种幂函数的图像 （3）常见的5种幂函数的性质 函数 定义域 R R R ___ ___ 值域 R _ _____ R _ _____ 奇偶性 ___奇___ 偶 ___奇___ 非奇非偶 奇 单调性 在R上 单调 递增 ___在上单调递减_________ _在R上单调递增___ ___在上单调递增_____ _在和上单调递减____ 公共点 ______ 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 求幂函数的解析式与值 基础知识 核心知识 幂函数标准形式为系数必须为1，为常数 方法技巧 依据定义设解析式代入已知点坐标求出 带回解析式再代入自变量求对应函数值 注意区分幂函数和指数函数幂函数底数是变量指数是常数 典型例题 【例题 1】（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，可设， 由 ，所以. 所以. 【例题2】（2026·河南平顶山·模拟预测）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义求解即可. 【详解】设幂函数，则，所以， 故. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·辽宁·期中）写出一个同时满足条件①②③的幂函数_____. 条件：①定义域为；②是偶函数；③在上单调递减. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据幂函数的定义及性质即可求解. 【详解】令，因为， 所以是偶函数，满足② ； 任取，且， 则 ， 即，所以在上单调递减，满足③. 故答案为：（答案不唯一）. 【巩固练习2】（26-27高二·山东·学业考试模拟）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【详解】设幂函数，依题意，，解得，则，所以. 【巩固练习3】（25-26高一下·上海宝山·期末）幂函数的图象过点，则实数____________． 【答案】 【分析】将已知点的坐标代入幂函数解析式，结合指数运算性质求解实数的值 【详解】已知幂函数的图像过点，因此该点坐标满足函数解析式，将，代入得： ， 根据根式与分数指数幂的转换规则，，因此等式可改写为： ， 由于底数且，指数函数在上单调递调，同底数幂相等时指数相等，因此可得. 【题型2】 求幂函数/幂函数型复合函数定义域 基础知识 核心知识 不同对应定义域不同 为正整数定义域 为正分数(既约)等价开方偶次根式要求底数 为负数等价分式底数不等于0 复合函数遵循内层函数定义域叠加限制 方法技巧 先把指数写成分数根式形式 列出分母不为0偶次根号下非负等限制条件 联立不等式组求解自变量范围 典型例题 【例题1】（25-26高一上·广东深圳·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象过点，求出的解析式，从而得到的解析式，求得函数的定义域. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，即，解得. 故，则， 所以，所以， 所以函数的定义域是. 故选：D. 【例题2】（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 【答案】 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故， 则， 故，解得或， 故的定义域为 故答案为： 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·河南·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别分析函数和的定义域限制，列不等式组求解即可． 【详解】由，解得． 故选：D． 【巩固练习2】（24-25高一上·上海·课后作业）若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为________． 【答案】1 【分析】根据已知条件列出约束式即可求解. 【详解】若幂函数（为整数）的定义域为，则，解得， 而是整数，则只能，经检验符合题意. 故答案为：1 【巩固练习3】（24-25高一上·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【详解】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A 【题型3】 求幂函数/幂函数型复合函数的值域 基础知识 核心知识 幂函数在对应单调区间上的取值范围由指数和定义域共同决定 复合函数遵循由内向外逐层求范围 方法技巧 先求内层函数取值范围 再结合外层幂函数单调性求出最终值域 画图辅助观察端点与趋势留意能否取到边界值 典型例题 【例题1】（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）函数，的值域为__________. 【答案】 【分析】根据基本初等函数性质，判断函数单调性，判断函数值域. 【详解】可知和在上都单调递增， 则在上都单调递增， 所以函数在上的最小值为，最大值为，则函数值域为. 故答案为：. 【例题2】（24-25高一上·全国·期中）已知幂函数在区间上单调递增. (1)求k的值； (2)（i）若，求的值； （ii）求的值域. 【答案】(1) (2)（i）2；（ii） 【分析】（1）由幂函数的定义可得，再利用在上单调递增，即可求解； （2）（i）根据（1）可知，将转化为有关的式子即可求解，方法二：求出代入即可求解；（ii）根据换元法可设，再根据函数的对称轴，可求出最小值.，方法二：因为在上单调递增，可求解. 【详解】（1）由已知，得或， 又因为在区间上单调递增，所以. （2）， （i）法一： 法二：可解得， 将即可求得. （ii）法一：， 令，， 对称轴，所以当时取到最小值2， 所以值域为. 方法二：因为在上单调递增. 所以，所以值域为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（多选）某小组在研究性学习中发现：函数不全为0的图象可由反比例函数的图象通过平移得到．已知函数，则（    ） A．是增函数 B．的值域为 C．没有对称轴 D．的图象关于点对称 【答案】BD 【分析】通过常数分离法找到可平移的反比例函数，结合反比例函数知识可得． 【详解】， 所以的图象可由反比例函数向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到， 的定义域是，它在和上是增函数，值域是，直线和都是它的对称轴，关于原点对称， 经过平移可知，在和上是增函数，在定义域内不是增函数，值域是，直线和都是它的对称轴，的图象关于点对称， 故选：BD． 【巩固练习2】（多选）已知函数（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．的值域为 D．的值域为 【答案】ABD 【分析】选项A，变形为与二次函数有关的复合函数值域求解； 选项B，利用两个减函数的和为减函数，利用单调性求值域； 选项C，平方变形与A同理可求； 选项D，变形为与分式函数有关的复合函数值域求解， 关键是根号内函数分离常数变形为反比例函数求解即可. 【详解】要使，都有意义，则有， 故， 选项A，设，， ， ， 则的值域为，故A正确； 选项B，设，， 则在单调递减， 故， ， 则的值域为，故B正确； 选项C，设， ， ， 由选项A知，的值域为，则的值域为， 又，所以的值域为，故C错误； 选项D，设，且 ， 由，则， 令，则， 则关于的函数在单调递减， 则的值域为， 即的值域为，故D正确. 故选：ABD. 【巩固练习3】（26-27高三上·河南信阳·阶段检测）函数的值域为______． 【答案】 【详解】由且，得， 所以函数的定义域为， ， 又，所以， 由，得， 所以函数值域为. 【题型4】 由幂函数的值域求参数范围 基础知识 核心知识 幂函数单调性定义域共同决定值域 参数一般出现在定义域区间或者复合内层解析式 方法技巧 反向分析在给定参数区间上幂函数增减情况 结合值域边界列不等式 检验区间端点是否满足条件 典型例题 【例题1】（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的值； (2)设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂函数的定义及性质计算即可； （2）将问题化为的值域为函数的值域的子集，利用集合间的基本关系计算参数即可. 【详解】（1）由幂函数定义，知，解得或， 当时，的图象不关于轴对称，舍去， 当时，的图象关于轴对称，符合题意，因此． （2）由上易知， 由于对任意的，总存在，使成立， 设函数在上的值域为集合，函数在的值域为集合， 所以， 易知当时，的值域，则集合， 当时，的值域为，则集合， 又，得，解得. 【例题2】已知定义在上的函数满足，若函数在上的值域与函数的值域相同，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先构造函数方程组求出，再求出的值域，得的值域，得，即. 【详解】①， ②， 由①②得， ， ， 故函数的值域为，函数的值域也是， 因为，所以，即. 故选：B. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知幂函数，满足 (1)求函数的解析式． (2)若函数，是否存在实数m使得的最小值为0？ (3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在； (3)存在，. 【分析】（1）利用幂函数的定义和已知条件即可求得结果； （2）先化简得到，令得到，，再利用二次函数是的性质分类讨论即可得到结果； （3）首先得到，根据题意得到，从而得到，再利用换元法结合二次函数的性质即可得到结果. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，即，解得或. 当时，，在为减函数，不满足.     当时，，在为增函数，满足.     所以； （2）， 令，因为，所以， 则令，，开口向上，对称轴为. ①当，即时，函数在为增函数， 则，解得； ②当，即时，函数在为减函数，在为增函数， 则，解得，不符合题意，舍去； ③当，即时，函数在为减函数， 则，解得，不符合题意，舍去. 综上所述：存在，使得的最小值为； （3），易见在定义域范围内为减函数， 若存在实数，使函数在上的值域为， 则， ②①得：， 所以， 而，则③. 将③代入②得：. 令，由，知，得，即. 所以，在区间单调递减，所以， 故存在实数，使函数在上的值域为，实数的取值范围为. 【巩固练习2】（25-26高一上·山西大同·期中）已知函数． (1)求在上的值域； (2)解不等式； (3)若关于的方程在上有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）换元后，利用二次函数的单调性即可得解； （2）令则原不等式化为，求出的范围再求的范围； （3）换元后求出的值域即为的范围. 【详解】（1）令 ,则 ，所以，，在区间上单调递增，所以， 所以在上的值域为； （2）令则化为，化简得， 解得，即，解得，所以原不等式的解集为. （3）令因为 ，所以，则， 令，在单调递减，在单调递增，所以时取得最小值， 又时，，时，，所以时取得最大值， 所以 ，所以的取值范围是. 【巩固练习3】设函数的定义域为，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数.已知幂函数在内是单调增函数. (1)求函数的解析式. (2)函数是否为“A佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是， 【分析】（1）根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可； （2）首先得到的解析式，即可判断函数的单调性，再根据题意得到方程组，解得即可. 【详解】（1）因为幂函数在内是单调增函数， 所以，解得， 所以函数的解析式为． （2）由（1）知，，函数的定义域为， 又，所以函数的值域为， 因为在上单调递增， 若存在，使得在上的值域为， 则函数在上单调递增， 有，解得或，或， 显然，所以，， 即存在，使得在上的值域为， 故函数为“佳”函数. “佳”函数的区间为； 【题型5】 幂函数有关的图像问题 基础知识 核心知识 所有幂函数都过定点（） 在（）单调递增 在（）单调递减 在第一象限指数越大在处图像越高 方法技巧 优先画出第一象限图像再根据奇偶性补全其他象限 对比指数大小判断图像高低 利用图像判断单调性解不等式比较大小 典型例题 【例题1】（25-26高一上·全国·课前预习）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质和函数的单调性判断即可. 【详解】易知当时，单调递增，当时，单调递减， 对于A，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于B，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于C，由函数的图象可知， 由的图象可知且，符合题意，正确； 对于D，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，错误. 【例题2】（26-27高一上·全国·课堂例题）幂函数，，，在第一象限内的图象依次对应图中的哪个曲线？ 【答案】，，，. 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】根据幂函数的性质可知，当时，图象在上递增， 且越大，图象递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线； 当时，图象在上递减， 当时，函数的函数值为， 函数的函数值为， 因为，所以是曲线，是曲线； 综上所述幂函数，，，， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·全国·课堂例题）给定一组函数解析式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．请写出图象对应的解析式号码. 【答案】⑥④③②⑦①⑤ 【分析】根据幂函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案. 【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足； 图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足； 图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递减，故满足； 图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递增，故满足； 故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤. 【巩固练习2】（26-27高一上·全国·课后作业）如果幂函数的图象不过原点，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】由幂函数定义结合题设幂函数特征可得答案. 【详解】由幂函数的形式为知. 因为其图象不过原点，所以指数. 由得， 所以.故或. 【巩固练习3】（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象与x轴无交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用幂函数性质列式计算求解. 【详解】因为幂函数的图象与x轴无交点， 所以， 所以，即得 【题型6】 幂函数过定点问题 基础知识 方法技巧 令底数部分等于1解出x再算出y得到定点坐标 区分普通幂函数与带参数复合幂型函数 不要误把指数为0的情况漏掉 典型例题 【例题1】（25-26高一下·陕西安康·期中）函数的图象过定点______. 【答案】 【详解】由，解得，代入函数，可得， 所以函数图象恒过定点. 【例题2】（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的图像恒过点________________． 【答案】 【详解】令得，此时，所以的图象恒过. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·山西·阶段检测）已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． 【答案】3 【分析】根据幂函数过定点得的图象过定点，进而得 【详解】令，则，故的图象过定点， 故，． 故答案为：3． 【巩固练习2】函数的图象恒过点___________. 【答案】 【分析】根据幂函数的图象过定点求解. 【详解】令 ， 此时，无论取何值，都有. 所以函数图象恒过点. 故答案为： 【巩固练习3】（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合幂函数的性质计算即可得. 【详解】因为幂函数的图象过定点，即有， 所以， 即的图象经过定点. 故选：B. 【题型7】 与幂函数型有关复合函数的单调性与最值 基础知识 核心知识 复合函数单调性满足同增异减规则 外层是幂函数内层是一次二次等基础函数 方法技巧 先求函数定义域 拆分内层函数外层 分别判断两层在区间上增减性同增异减判断整体单调性 最值优先在端点或者内层极值点处取得 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课后作业）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得或，即函数的定义域为． 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以由复合函数单调性，可知函数的单调递减区间为． 【例题2】（25-26高一上·重庆·期中）（多选）若函数且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】判断出函数的单调性及图象形状，结合复合函数单调性的判断方法、特殊值法逐项分析即可. 【详解】函数在定义域上为增函数. 选项A：因为，则， 又函数为增函数，所以，即， 所以，A正确； 选项B：令. 取，，则，， 此时，即，也即，B错误； 选项C：因为函数为增函数，函数为增函数，所以函数也为增函数， 因为，所以，C正确； 选项D：函数简图如下： 函数在上为凸函数，此时； 函数在上为凹函数，此时，D错误. 故选：AC. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三上·广东·期中）已知函数，满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数， 当时，因为，均在上单调递增， 所以在上单调递增，又为连续函数， 所以在上单调递增， 不等式，即，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 【巩固练习2】（2025·四川·模拟预测）已知函数，则的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】是上的奇函数且在上递减，即可将原不等式等价转化为，求解即可. 【详解】由于的定义域为，且，故是奇函数， 又因为均为在上的减函数， 则在上单调递减. 从而不等式等价于，即. 此即，即，解得. 故选：B. 【巩固练习3】（24-25高一上·福建泉州·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数解析式求得其定义域，根据二次函数与幂函数的单调性，结合复合函数的单调性，可得答案. 【详解】由函数，则，整理可得，解得， 所以函数的定义域为， 令，，由，则， 易知函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在上单调递减， 所以函数的单调增区间为. 故选：C. 【题型8】 与幂函数有关的奇偶性与单调性解不等式 基础知识 核心知识 奇函数满足偶函数满足 单调函数可以脱去函数符号转化自变量大小关系 方法技巧 先判断幂函数奇偶性确定对称区间单调性 转化时必须保证a b都在定义域内 偶函数要转化为简化计算 典型例题 【例题1】（26-27高一上·河南南阳·阶段检测）已知幂函数 在上是单调递减函数，则不等式的解集为_________. 【答案】 【分析】根据幂函数定义可构造方程求得的值，结合单调性可确定的最终结果；根据奇偶性定义可得的奇偶性，结合定义域和单调性可得自变量大小关系，解不等式即可求得结果. 【详解】为幂函数，，解得：或； 当时，在上单调递减，符合题意； 当时，在上单调递增，不合题意； 综上所述：； 的定义域为，， 为定义在上的偶函数， 故，， 由且，， 解得：或， 的解集为. 【例题2】（26-27高三上·广东河源·阶段检测）已知幂函数在上是严格减函数，其中，则的值为_________；关于的不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】①由幂函数的定义和单调性即可求解；②根据函数的单调性求出不等式的解集即可. 【详解】①因为幂函数在上是严格减函数， 所以，解得或， 当时，，在上是严格增函数，不符合题意，舍， 当时，，在上为严格减函数，符合题意，故； ②由幂函数在上是严格减函数可得，， 解得或，故解集为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·全国·课后作业）若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】构造幂函数，利用幂函数的单调性可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的增函数，则由 ，可得，解得， 故实数的取值范围是. 由， 可得，解得， 故实数的取值范围是. 【巩固练习2】（24-25高一上·广东深圳·期中）已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 【答案】 【详解】由题可设幂函数，则，即， 所以， 所以，即， 所以该函数定义域为，且该函数在上单调递减， 所以若不等式成立， 则，解得，即满足不等式的实数m的解集是. 【巩固练习3】（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据幂函数定义求出，根据函数解析式逐个判断即可. 【详解】因为函数是幂函数， 则， 解得或， 因为对任意，，且，满足， 所以在上单调递增， 时，，在上单调递减，故舍， 所以时，， 对于A，取时，，可能成立； 对于B，取时，，可能成立； 对于C，取时，，可能成立； 对于D，因为，则，则， 由单调性可知，故，与矛盾，一定不成立. 【题型9】 由幂函数的单调性比较大小 基础知识 核心知识 同一幂函数同一单调区间内自变量越大函数值越大（增函数） 底数为正数优先放到同一个幂函数上比较 底数负数先利用奇偶性转化为正数 方法技巧 同指数构造同一个幂函数用单调性比较底数 同底数用指数函数性质 都不同找中间量0或者1搭桥 负数底数先判断符号再比较 典型例题 【例题1】（26-27高一上·河南·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由为幂函数，令，解得或， 时，的图象经过原点，符合题意，所以， 时，，图象不过原点，不合题意， 因为，所以， 因为在上单调递增， 所以. 【例题2】（26-27高一上·北京·期中）若，则它们的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造幂函数，利用函数的单调性，即可得到的大小关系. 【详解】由幂函数在上单调递增，且， 所以，即. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·福建·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是幂函数且图象经过原点确定的值及的解析式，再利用的单调性即可得解． 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 又的图象经过原点，所以，即 因为，所以 ， 又因为在上单调递增， 所以 【巩固练习2】（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，则的大小关系是______．（用小于号连接） 【答案】 【分析】利用幂函数的单调性判断即可. 【详解】由， 因为幂函数在单调递增， 且，所以， 故答案为：. 【巩固练习3】（25-26高三上·河南漯河·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， 所以， 又因为，所以. 故选：A.， 【题型10】 与幂函数有关的最值与不等式恒成立问题 基础知识 核心知识 恒成立问题恒成立等价 恒成立等价 方法技巧 先研究幂函数或者复合幂函数在给定区间单调性 求出函数最值 转化为最值满足和参数有关的不等式求解参数范围 注意定义域对最值的约束 典型例题 【例题1】（2026·江苏镇江·模拟预测）已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)设，求在区间上的最小值的解析式： (3)在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用幂函数的定义及奇偶性求出解析式. （2）由（1）的结论求出，按分类并结合二次函数性质求出最小值. （3）求出当时，在上的最大值，进而建立不等式，利用恒成立求解. 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 当时，是奇函数，不符合题意；当时，是偶函数，符合题意， 所以的解析式为. （2）当时，由（1）得， 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，若，则；； 若，则，； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减 ，由，得， 当时，；当时，； 当时，在上单调递增，， 所以. （3）由（2）知，当时，在上单调递增，； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 而，， 因此当时，， 由对任意的实数，总存在，使得成立， 得对任意的实数，不等式恒成立， 而当时，，于是，解得， 所以实数的取值范围是. 【例题2】（25-26高一上·天津西青·期末）已知幂函数的图象过点，且函数. (1)求幂函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，使得不等式有解，求实数取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明如下： 由（1）知，故， 任取， 则. 因为，则有，，且，. 所以，即. 故在上单调递增； (3) 【分析】（1）由题意设幂函数为，将代入即可求得幂函数的解析式； （2）设，比较与的大小，结合函数单调性即可证明在上的单调性； （3）由（2）知在上单调递增，可解得在上的值域，设，根据题意有，分析二次函数的单调区间即可求其最小值，即的取值范围. 【详解】（1）设幂函数为 ，其图象过点， ，解得， 故幂函数的解析式为； （2）略 （3）由（2）知在上单调递增， 所以，即 令，则不等式有解等价于在上有解， 即，. 令，， 易得在区间上单调递减，在上单调递增， 则有，即. 综上，实数的取值范围是. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，函数. (1)求的解析式. (2)已知对勾函数的形式为均为参数，，该函数在上单调递减，在上单调递增. （i）当时，直接写出在上的单调区间； （ii）若在上的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2)①减区间为，增区间为；② 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性可得出关于的等式与不等式，可求出的值，即可得出函数的解析式； （2）①写出函数的解析式，利用对勾函数的单调性可写出函数的增区间和减区间； ②对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，结合可求得实数的值. 【详解】（1）因为幂函数在上单调递减， 所以，解得，故. （2）①由（1）可得， 当时，， 由题中结论可知，函数在上的减区间为，增区间为； ②当时，函数、在上均为减函数，此时函数在上为减函数， 则，解得，舍去； 当时，函数在上为减函数，此时，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 若，即当时，函数在上单调递增，则，符合题意， 若，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得，舍去， 当时，即当时，函数在上单调递减， 此时，解得，舍去. 综上所述，. 【巩固练习2】（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知幂函数是奇函数，且在上单调递增． (1)求函数的解析式； (2)若正实数满足，求的最小值； (3)对于定义域为D的函数满足存在区间，使在上的值域为，求实数h的取值范围． 【答案】(1)函数的解析式为：； (2)的最小值为4； (3)实数h的取值范围为； 【分析】（1）根据幂函数的定义得，可计算得出，再根据是奇函数，所以，可计算出满足题意，最终得出； （2）结合第（1）问，利用基本不等式中“1”的代换，即可计算出的最小值； （3）根据，化简得，得出在定义域内单调递增，所以，最终可转换为二次函数和直线交点的问题求解实数h的取值范围． 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得，即， 又因为是奇函数，且在上单调递增， 所以，解得，因为，所以，或者； 时，，此时为奇函数，且在上单调递增，满足题意； 时，，此时为偶函数，不满足题意； 所以； （2）由（1）得：，； 因为为正实数，结合基本不等式得：，当时，取等号， 所以；所以的最小值为4. （3）因为，，定义域为； 在定义域内单调递增，所以 ，所以，为方程的两个实数根，即在上有两个不同的实数根； 令，，则，则方程等价于，在上有两个不相等的实数根； 设，在上的图象如图所示： 对称轴为，； 方程，在上有两个不相等的实数根等价于直线与的图像有两个不同的交点， 由图象得：； 所以实数h的取值范围为. 【巩固练习3】（25-26高一上·广东汕头·阶段检测）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)函数在上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)是偶函数，证明： ，所以函数的定义域为，关于原点对称； 又， 所以函数是偶函数. (3)或 【分析】（1）设幂函数解析式，代入已知点求参数即可； （2）函数为偶函数，根据偶函数的定义证明即可； （3）将转化为二次函数，根据对称轴与区间的位置分类讨论，求不同情况下的最小值，结合区间验证解的合理性即可. 【详解】（1）设函数， 则，得， 所以. （2）略 （3）由（1）知，则，对称轴为直线， 当，即时，在上单调递增，， 解得，满足题意； 当，即时，，解得或（舍去）； 当，即时在上单调递减，， 解得（舍去）. 综上，或. 课后过关检测 一、单选题 1．（26-27高三上·安徽六安·阶段检测）已知幂函数的图象与轴没有公共点，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或， 当时，，函数图象过，和轴有交点，不符合题意； 当时：，，与轴没有交点，符合题意. 所以. 2．（26-27高三上·江苏盐城·阶段检测）已知幂函数（且）为奇函数，且在区间上递增，则等于（    ） A．1 B．1或3 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为幂函数（且）为奇函数，且在区间上递增， 则为奇数且，， 故或. 3．（26-27高三上·江西·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义及单调性求解即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，或. 又函数在单调递减，要求指数，所以. 4．（26-27高三上·江西·阶段检测）已知幂函数在区间上单调递减，且为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为函数在区间上单调递减， 所以， 所以可取0,1,2， 当时，为奇函数，舍去； 当时，，符合题意； 当时，为奇函数，舍去； 综上. 5．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由，得， 解得，所以， 的定义域为，是偶函数，在上单调递减， 所以图象的大致形状与选项A中的图象一致． 6．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设幂函数解析式，再应用过点求参数得出，最后应用单调性列式计算求解. 【详解】设幂函数，代入点得，解得，故， 因为函数为偶函数，所以等价于， 因为函数在上单调递增，所以等价于， 平方化简得，解得解集为； 7．（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知函数，不等式对于恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，结合函数性质把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】当时，，所以； 当时，，所以； 当时，. 所以对，总有. 所以函数为奇函数. 当时，，在上单调递减. 结合奇函数的性质和函数图象可得函数在上单调递减. 所以 ， 所以 ，恒成立. 又（当且仅当时取等号）. 所以，可得. 即实数的取值范围为. 二、多选题 8．（2026·江苏淮安·一模）幂函数（为常数），则（    ）. A．当时，是奇函数 B．的图象过定点 C．当时，的值域为 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据奇函数的定义、幂函数的性质、幂函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：当时，，此时该函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以是奇函数，故A正确； B：因为，所以的图象过定点，故B正确； C：当时，，此时该函数的定义域为， 因为该函数是定义域内的增函数， 所以有，因此的值域为，故C正确； D：当时，幂函数在上单调递减， 因为，所以，故D错误. 9．（25-26高一上·贵州遵义·期末）下列说法正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若幂函数图象关于轴对称，则 【答案】ABD 【详解】对于A，设幂函数解析式为，代入点，可得，，解得，解析式为，故A正确， 对于B，，，故B正确， 对于C，函数为幂函数，且，所以在区间上单调递减， 又，所以为偶函数， 根据偶函数的性质可得，在区间上单调递增，故C错误， 对于D，由已知可得，，解得或， 又幂函数图象关于轴对称，，，在区间上单调递增， ，， ，故D正确. 10．（26-27高三上·河南·阶段检测）已知函数（为实数）的定义域为D，，且，则下列说法正确的是（    ） A．的图象不经过第四象限 B．若为偶函数，则为偶数 C．若，则 D． 【答案】AC 【分析】利用幂函数的图象性质可判断A；当时，为偶函数，但是不为偶数，可判断B；利用基本不等式验证，判断C；当时，，可判断D. 【详解】对于A，利用幂函数的图象性质可知，的图象不经过第四象限，故A正确； 对于B，当时，为偶函数，但是不为偶数，故B错误； 对于C，，所以，， 由基本不等式可得，因为，所以等号不成立，故C正确； 对于D，当时，则，故D错误. 三、填空题 11．（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知幂函数 为偶函数，则_______ 【答案】 【详解】由题意可得，解得或， 当时，为奇函数，不符合题意； 当时，为偶函数，符合题意， 所以. 12．（2026·四川南充·模拟预测）已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义与单调性求出参数的值，进而根据“1”的妙用，及基本不等式即可求解． 【详解】由是幂函数，且在上单调递减， 则，即，解得， 则，即，又，， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 13．（25-26高一下·广西钦州·开学考试）写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且. 有 ；③且 有 ；④. 【答案】（答案不唯一） 【分析】抓住第四个条件对应的函数解析式运算特征，分析学过的基本初等函数模型中，幂函数能与之对应，随即可解. 【详解】条件①对应的是偶函数；条件②对应的为函数在上单调递减； 条件③为琴生不等式，对应的是函数的凸凹性：函数在上为下凸函数；条件④对应函数解析式的运算特征， 在所学过的函数模型中，一次函数与幂函数符合，结合①②③，不符合； 在中，取为负偶数即可. 14．（25-26高一上·广东湛江·阶段检测）已知幂函数在上递减，则不等式的解集为________. 【答案】 【分析】根据幂函数定义可构造方程求得的值，结合单调性可确定的最终结果；根据奇偶性定义可得的奇偶性，结合定义域和单调性可得自变量大小关系，解不等式即可求得结果. 【详解】为幂函数，，解得：或； 当时，在上单调递增，不合题意； 当时，在上单调递减，符合题意； 综上所述：； 的定义域为，， 为定义在上的偶函数，故，， 由且， 解得：或， 的解集为. 故答案为：. 四、解答题 15．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若函数，且在的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据幂函数的定义和幂函数的奇偶性求解即可； （2）利用二次函数的性质以及分类讨论法，根据函数的最值分析即可. 【详解】（1）由为幂函数，则， 即，解得：或， 当时，，由函数的定义域关于原点对称，且， 此时函数为偶函数，满足题意， 当时，，由函数的定义域关于原点对称，且， 此时函数为奇函数，不满足题意， 综上所述，函数. （2）由（1）知，则函数， 所以函数为开口向上，对称轴为的二次函数， ①当时，在上单调递增， 此时， 又在的最小值为， 所以，解得：，满足题意， ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又在的最小值为， 所以，解得：（舍去）或， ③当时，在上单调递减， 此时， 又在的最小值为， 所以，解得：，不满足题意， 综上所述，的值为或. 16．（25-26高一上·江西赣州·期末）已知幂函数在区间上单调递增，函数是定义域为的奇函数，且满足时，. (1)求的解析式； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. 【分析】（1）根据幂函数的概念，结合时，幂函数在上单调递增可求得； 再利用奇函数的性质求时的解析式，即可得在R上的解析式； （2）利用的奇偶性和单调性将不等式转化为含参不等式，求解不等式即可. 【详解】（1）因为函数为幂函数， 所以，解得或. 当时，，在上单调递减，不符合题意； 当时，，在上单调递增，符合题意； 所以，， 所以时，. 因为函数是定义在R上的奇函数，所以，， 当时，，则. 故. ∴. （2）由（1）中的解析式易证在上是增函数. ， ， ，即 当时，原不等式可化为，即，所以， 所以此时不等式的解集为. 当时，的两根为，. 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为. 17．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）已知幂函数经过点． (1)求的解析式； (2)设，若在上有且仅有一个零点，求的取值范围； (3)若函数在上的最大值为，最小值为，且满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数过的点可求参数，即可得答案； （2）利用零点存在定理即可求解； （3）写出的表达式，换元可得，，分类讨论确定最值，结合，解不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得，解得. 故 （2）由（1）可知， ①若零点在内，故必须满足 即，解得； ②若零点在端点处取得 （ⅰ）若，则，此时符合题意， （ⅱ）若，则，验证后符合题意， 综上，的取值范围是； （3），令，故，， 故的对称轴为， ①若，在上单调递增，即得，解得，矛盾； ②若，在上单调递减，即得，解得，矛盾； ③若，， 若，则，此时， 解得，则 若，则，此时， 解得，则， 综合可得得的取值范围是 18．（25-26高一上·上海宝山·期末）如果函数满足：对于任意，均有，其中为常数，则称函数在D上具有性质. (1)分别判断函数，，是否在上具有性质，并说明理由. (2)设函数在具有性质，对任意的实数，求证：函数具有性质. (3)若在闭区间上具有，且，求证：对任意的都有. 【答案】(1)函数在上具有性质，函数，在上不具有性质 (2) 函数在上具有性质， 即对于任意，均有成立， 故对任意的实数，，则， 设，则 ， 故函数具有性质； (3) 若在闭区间上具有，且， 则对于任意，， 当时，则， 当时，不妨设，则， 由，得， 由三角不等式可得：， 由于在闭区间上具有，则， 得到， 所以， 由于，则， 得到， 所以当时，有. 综上，对任意的，都有. 【分析】（1）（2）利用函数在D上具有性质.的定义依次判断即可； （3）根据题意可得对于任意，，当，可得，当时，由结合三角不等式即可证明. 【详解】（1）函数在上具有性质，函数，在上不具有性质，理由如下： 对于函数，对于任意，， 故不等式成立，所以函数在上具有性质， 对于函数，，则， 不满足，所以函数在上不具有性质， 对于函数 ，则， 不满足，所以函数在上不具有性质， $