精品解析：湖北武汉市光谷汤逊湖高级中学2026-2027学年第一学期高二数学10月月考试题

2026年高二数学10月月考试卷 一、单选题 1. 已知，，分别为三个内角，，所对的边，若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【详解】在中，由正弦定理可得，解得，  由于，则，即为锐角，故. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法法则化简复数后，再根据其几何意义得结论. 【详解】，对应点坐标为，在第三象限. 3. 已知向量，，且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的充要条件是向量数量积为0，先求向量坐标，再列方程求解. 【详解】已知，，故， 根据两非零向量垂直的充要条件可得：， 则， 整理得，解得. 4. 样本数据14，16，18，20，21，22，24，28的第三四分位数为（　　） A. 16 B. 17 C. 23 D. 24 【答案】C 【解析】 【详解】解：样本数据14，16，18，20，21，22，24，28，共8个， ，由于位置非整数，取第6和第7个值的平均， 故第三四分位数为． 5. 如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取中点，连接，求出的取值范围，再根据 结合数量积的运算律求解即可. 【详解】取中点，连接， 因为是边长为2的正方形，动点在以为直径的半圆上， 所以当在点或点时，取得最大值， 当在弧中点时，取得最小值， 的取值范围为， 又因为，，， 所以 ， 因为的取值范围为， 所以的取值范围为，的取值范围为， 故选：B 6. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】A 【解析】 【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项. 【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M， 则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确； 新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确； 新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确； 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确； 故选A. 点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果. 7. 在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 所以 ， 所以体对角线的长为. 8. 如图，在三棱锥中，，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别取、、的中点、、，连接、、、、，由题意可得或其补角即为异面直线与所成角，再由余弦定理即可得解． 【详解】分别取、、的中点、、，连接、、、、，如图： 由，可得， 所以，， 由中位线的性质可得且，且， 所以或其补角即为异面直线与所成角， 在中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故选：C ． 二、多选题 9. 下列说法错误的有（ ） A. 连续投10次骰子，“连续投出10个1”是必然事件 B. 已知一批产品的次品率为，从中任取99件，“99件全是次品”是不可能事件 C. 对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件 D. 如果两个事件的积事件是不可能事件，那么这两个事件一定是对立事件 【答案】ABD 【解析】 【分析】由必然事件，不可能事件，互斥事件，对立事件的定义即可求解. 【详解】必然事件：在一定条件下一定发生的事件； 不可能事件：在一定条件下一定不发生的事件，发生的概率为0； 互斥事件：在一次试验中不能同时发生的两个事件，且满足； 对立事件：在一次试验中，两个事件有且仅有一个发生，且满足且（为样本空间）， 对于A选项，连续投10次骰子，“连续投出10个1”是有可能发生、也有可能不发生的事件， 属于随机事件，并非必然事件，故A的说法错误，符合题干要求； 对于B选项，已知产品的次品率为，则该批产品存在次品，任取99件时“99件全是次品”是概率很小但仍有可能发生的事件， 属于随机事件，并非不可能事件，故B的说法错误，符合题干要求； 对于C选项，因为对立事件要求两个事件不能同时发生，所以对立事件一定是互斥事件， 但互斥事件仅仅要求不能同时发生，不需要满足“两个事件的并集是整个样本空间”， 因此互斥事件不一定是对立事件，故C的说法正确，不符合题干要求； 对于D选项，两个事件的积事件是不可能事件，仅仅能说明两个事件为互斥事件， 但它们的并集不一定是整个样本空间，因此不一定是对立事件，因此D的说法错误，符合题干要求. 10. 下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ） A. 若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则 B. 若非零向量，，满足，，则有 C. 若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面 D. 若向量，，是空间的一组基底，则，，也是空间的一组基底 【答案】AC 【解析】 【分析】利用空间向量基底的概念与向量和向量间的位置关系逐项判断即可. 【详解】解：对A，若向量，与空间任意向量都不能构成基底，只能这两个向量为共线向量，即，故A正确； 对B，若非零向量，，满足，，则与的关系不确定，故B错误； 对C，若，，是空间的一组基底，且，则，即,可得A，B，C，D四点共面，故C正确； 对D，因为向量=，所以，，共面，不是空间的一组基底，故D不正确. 故选：AC. 11. 已知正四棱柱中，，则（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 三棱锥的外接球的半径为 D. 三棱锥的内切球的半径为 【答案】AD 【解析】 【分析】先利用线线平行的传递性求得为异面直线与所成角，再在中利用余弦定理即可得解判断A，根据线面角的定义证明为直线与平面所成角，解三角形求其余弦即可判断B，对于C，结合条件可得等价于求正四棱柱的外接球半径，结合长方体性质可求半径，由此即可判断，对于D，由条件结合内切球性质求半径即可判断. 【详解】对于A，因为在正四棱柱中，， 所以四边形是平行四边形，则， 所以为异面直线与所成角，     由已知，四边形为正方形，，平面， 在中，，，则， 由余弦定理得，A正确； 对于B，因为平面，所以为直线与平面所成角， 在中，， ，， 所以，即直线与平面所成角的余弦值为，B错误； 三棱锥的外接球也是正四棱柱的外接球， 正四棱柱的外接球的半径为，C错误， 设三棱锥的内切球半径为，三棱锥的表面积为，体积为， 则， 由， ， 所以 ，所以 ，D正确. 三、填空题 12. 若事件与事件互斥，且，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率加法公式，求得，再由对立事件的概率公式，即可求解. 【详解】因为事件与事件互斥，则， 又因为，所以. 故答案为：. 13. 定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的基底，若是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是_____. 【答案】 【解析】 【分析】先由向量在基底下的坐标，写出关于的线性组合，再整理成关于的一个线性组合，即得向量在基底下的坐标. 【详解】因向量在基底下的坐标是， 则， 故向量在基底下的坐标是. 故答案为： 14. 单位圆的内接，满足，则____． 【答案】 【解析】 【详解】由题可知，， 则，即， 所以， 所以. 四、解答题 15. 为普及普洱本土特色产业与科创知识，普洱市科技馆开展“绿色科创体验周”科普活动，设置了两个活动方案，参观者可任选一个方案进行挑战，若挑战成功将获得一份纪念品． 方案一：准备4张“绿色食品知识卡”（涵盖普洱茶､咖啡､热带水果､特色农产品）和2张“生物医药知识卡”（涵盖中药材种植､生物制造产业），参观者从6张卡片中一次性随机抽取2张，如果两张卡片类型不同（即一张绿色食品知识卡､一张生物医药知识卡），则挑战成功． 方案二：回答3道关于普洱特色产业的问题，若至少答对1道题，则挑战成功． （1）求参观者在方案一中挑战成功的概率； （2）如果小明选择方案二，已知他每道题答对的概率均为，且每道题的回答相互独立．你觉得他的选择是否合理？请通过计算说明你的理由． 【答案】（1） （2） 小明的选择合理 【解析】 【分析】（1） 根据古典概型的概率公式计算挑战成功概率； （2）利用对立事件的概率关系求解方案二的成功概率，通过两方案概率比较判断选择的合理性. 【小问1详解】 记4张“绿色食品知识卡”分别为，记2张“生物医药知识卡”分别为. 则从6张卡片中一次性抽取2张，样本空间为Ω. 记参观者在方案一中挑战成功为事件， 则， 所以. 即方案一挑战成功的概率为 . 【小问2详解】 设小明选择方案二挑战成功为事件，其对立事件为3道题全部答错. 由已知得，每道题答错的概率为，且各题回答结果相互独立， 所以  . 所以.  又，， 即， 所以方案二挑战成功概率更高，因此小明的选择合理. 16. 2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，航天员叶光富、李聪、李广苏开始了他们的太空征程．为纪念中国航天事业所取得的成就，发掘并传承中国航天精神，某市随机抽取2000名学生进行了航天知识竞赛，将成绩（满分：150分）整理后分成五组，从左到右依次记为[50,70），[70,90），[90,110），[110,130），[130,150]，并绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）补全频率分布直方图，并估计这2000名学生成绩的平均数、求85%分位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）现从以上各组中采用分层抽样的方法抽取200人，若第三组中被抽取的学生成绩的平均数为94，方差为1，第四组中被抽取的学生成绩的平均数为124，方差为2，求这200人中分数在区间[90,130）的学生成绩的方差． 【答案】（1）平均数是88；85%分位数是120 （2）217.4 【解析】 【分析】（1）利用所有数据频率之和为1算出的频率，再根据平均数和分位数的概念直接计算即可. （2）直接利用分层抽样方差公式计算即可. 【小问1详解】 频率为， 所以该组数据的纵坐标为，补齐的直方图如图： 平均数为， 因为前三组的频率之和， 而前四组的频率之和， 所以第分位数为第四组数据的中点即. 【小问2详解】 设第三组的平均数是，权重为，方差为，设第四组的平均数是，权重为，方差为， 两组的平均数是，方差为，由直方图可知则， ，则， 根据分层抽样方差公式得：. 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求角C的值 （2）若，的面积为，求的周长． （3）若为锐角三角形，且，求的周长取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换求得以及的值； （2）由三角形的面积公式和余弦定理，即可求得的周长； （3）利用正弦定理和三角恒等变换，结合正弦函数的性质，即可求得周长的取值范围. 【小问1详解】 已知等式利用正弦定理化简得：， 整理得：，，， ，又，； 【小问2详解】 由余弦定理得，， ，，，， 的周长为 【小问3详解】 由正弦定理得，可得， ， 为锐角三角形，且， 则，，，， ，的周长取值范围是. 18. 已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：因为点在底面上的射影是与的交点， 所以平面，因为平面，所以， 又因为四边形为菱形，所以， 因为，且平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得平面，所以，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）由平面，得到是直线与平面所成角，在直角中，即可求解； （3）设点到平面的距离为，根据，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为平面，所以直线与平面所成角，即为， 又因为菱形的边长为且，可得为等边三角形，且， 因为是等边三角形，所以， 在直角中，可得， 因为，所以. 【小问3详解】 解：由题意，可得，与都是边长为是等边三角形， 所以，且， 所以， 因为，所以， 设点到平面的距离为，由，可得， 即，解得， 所以点到平面的距离为． 19. 已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义函数的“和谐向量”为非零向量，的“和谐函数”为.记平面内所有向量的“和谐函数”构成的集合为T. （1）已知，，若函数为集合T中的元素，求其“和谐向量”模的取值范围； （2）已知，设（，），且的“和谐函数”为，其最大值为S，求. （3）已知，，设（1）中的“和谐函数”的模取得最小时的“和谐函数”为，，试问在的图象上是否存在一点Q，使得，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）将变成已知条件的形式，再根据“和谐向量”及向量的模的坐标公式计算即可得解； （2）设，再求出，再根据“和谐函数”的定义结合三角恒等变换化简函数，再根据三角函数的性质即可求出，即可得解； （3）结合（1）求出“和谐向量”，进而可得，的解析式，设出点的坐标，再根据数量积的坐标公式，计算分析即可得解. 【小问1详解】 ， 所以函数的“和谐向量”向量， ， 因为，所以， 所以的取值范围为； 【小问2详解】 设， 则， 所以 ， 此时存在，满足，当且仅当时取等号，其中， 所以，即，所以， 所以的最大值， 所以； 【小问3详解】 由（1）知，当时，最小，此时， 所以， 设，令， 则， 因为， 所以，即， 所以，所以，即， 而，则，当且仅当时，等式成立， 所以在的图象上存在一点，使得. 【点睛】关键点点睛：理解“和谐向量”和“和谐函数”是解决本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高二数学10月月考试卷 一、单选题 1. 已知，，分别为三个内角，，所对的边，若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，，且，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 样本数据14，16，18，20，21，22，24，28的第三四分位数为（　　） A. 16 B. 17 C. 23 D. 24 5. 如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 7. 在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法错误的有（ ） A. 连续投10次骰子，“连续投出10个1”是必然事件 B. 已知一批产品的次品率为，从中任取99件，“99件全是次品”是不可能事件 C. 对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件 D. 如果两个事件的积事件是不可能事件，那么这两个事件一定是对立事件 10. 下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ） A. 若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则 B. 若非零向量，，满足，，则有 C. 若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面 D. 若向量，，是空间的一组基底，则，，也是空间的一组基底 11. 已知正四棱柱中，，则（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 三棱锥的外接球的半径为 D. 三棱锥的内切球的半径为 三、填空题 12. 若事件与事件互斥，且，，则______. 13. 定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的基底，若是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是_____. 14. 单位圆的内接，满足，则____． 四、解答题 15. 为普及普洱本土特色产业与科创知识，普洱市科技馆开展“绿色科创体验周”科普活动，设置了两个活动方案，参观者可任选一个方案进行挑战，若挑战成功将获得一份纪念品． 方案一：准备4张“绿色食品知识卡”（涵盖普洱茶､咖啡､热带水果､特色农产品）和2张“生物医药知识卡”（涵盖中药材种植､生物制造产业），参观者从6张卡片中一次性随机抽取2张，如果两张卡片类型不同（即一张绿色食品知识卡､一张生物医药知识卡），则挑战成功． 方案二：回答3道关于普洱特色产业的问题，若至少答对1道题，则挑战成功． （1）求参观者在方案一中挑战成功的概率； （2）如果小明选择方案二，已知他每道题答对的概率均为，且每道题的回答相互独立．你觉得他的选择是否合理？请通过计算说明你的理由． 16. 2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，航天员叶光富、李聪、李广苏开始了他们的太空征程．为纪念中国航天事业所取得的成就，发掘并传承中国航天精神，某市随机抽取2000名学生进行了航天知识竞赛，将成绩（满分：150分）整理后分成五组，从左到右依次记为[50,70），[70,90），[90,110），[110,130），[130,150]，并绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）补全频率分布直方图，并估计这2000名学生成绩的平均数、求85%分位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）现从以上各组中采用分层抽样的方法抽取200人，若第三组中被抽取的学生成绩的平均数为94，方差为1，第四组中被抽取的学生成绩的平均数为124，方差为2，求这200人中分数在区间[90,130）的学生成绩的方差． 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求角C的值 （2）若，的面积为，求的周长． （3）若为锐角三角形，且，求的周长取值范围． 18. 已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求点到平面的距离. 19. 已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义函数的“和谐向量”为非零向量，的“和谐函数”为.记平面内所有向量的“和谐函数”构成的集合为T. （1）已知，，若函数为集合T中的元素，求其“和谐向量”模的取值范围； （2）已知，设（，），且的“和谐函数”为，其最大值为S，求. （3）已知，，设（1）中的“和谐函数”的模取得最小时的“和谐函数”为，，试问在的图象上是否存在一点Q，使得，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $