精品解析：湖北武汉市吴家山中学2026-2027学年上学期10月阶段测试高二数学试卷

高二数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的方向向量与平面法向量的位置关系确定直线与平面的位置关系. 【详解】因为，所以. 所以. 故选：A 2. 已知向量，，向量在向量上的投影向量为 （    ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算及投影向量的公式计算即可. 【详解】由题意可知，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 3. 柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出两只，则取出的鞋成双的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用求古典概型的概率公式直接求解即可. 【详解】柜子里有三双不同的鞋，可设为，，，，，，其中与，与，与分别为一双鞋， 则从中随机取出两只，所有可能的组合有：，，，， ，，，，，，，， ，，，共15种， 取出的鞋成双的有，，共3种情况， 故取出的鞋成双的概率. 4. 在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的加减法运算和向量基本定理进行变形. 【详解】 如图所示： ，因为分别为，的中点， 所以，， 所以． 5. 给出以下命题，其中错误的命题是（ ） A. 若事件互斥，则 B. 若事件相互独立，则 C. 若事件两两互斥，则 D. 若事件两两独立，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若事件互斥，则两个事件不可能同时发生， 根据互斥事件的概率加法公式，可得，所以A正确； 对于B，若事件相互独立，则事件发生不影响事件发生的概率， 可得事件发生不影响事件发生的概率，则也相互独立， 所以，所以B正确； 对于C，若事件两两互斥，则任意两个事件都不可能同时发生， 由互斥事件的概率加法公式，可得，所以C正确； 对于D，例如：抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件为第一枚硬币正面向上， 事件为第二枚硬币正面向上，事件为两枚硬币结果相同，则事件两两独立， 可得，此时， 事件表示两枚硬币的正面都向上，可得， 则，所以D错误. 6. 如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用计算出与所成的角的余弦值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 则， 则与所成的角的余弦值为 . 故选：D 7. 已知某音响设备由五个部件组成，电视机，影碟机，线路，左声道和右声道，其中每个部件能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示．能听到声音，当且仅当与至少有一个正常工作，正常工作，与中至少有一个正常工作．则该音响能听到声音的概率为（ ） A. 0.19738 B. 0.80262 C. 0.80272 D. 0.19728 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得音响能听到声音，需要同时满足：至少一个正常工作，正常工作，至少一个正常工作，且各部件能否正常工作相互独立, ①计算至少有一个正常工作的概率： (故障)(故障)， ②正常工作的概率： , ③计算至少有一个正常工作的概率： (故障)(故障)， 因为以上三部分相互独立，所以音响能听到声音的概率： . 8. 如图，在正三棱台中，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面中，过作的平行线，交的延长线于，连接，则或其补角为异面直线与所成角，结合余弦定理可求角的余弦值. 【详解】由正三棱台的性质可得四边形为等腰梯形，其中， 如图，在梯形中，过作，垂足为， 而，故， 故. 同理，. 在平面中，过作的平行线，交的延长线于，连接， 则或其补角为异面直线与所成角， 因，，故四边形为平行四边形， 故，， 而，故， 故， 故异面直线与所成角的余弦值为， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给出以下命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则异面直线与所成角的余弦值为； B. 若平面与平面的法向量分别是与，则； C. 已知、、三点不共线，点为平面外任意一点，若点满足，则点平面； D. 若向量，，是空间的一个基底，则向量、、也是空间的一个基底； 【答案】BC 【解析】 【分析】利用异面直线夹角范围、法向量数量积、四点共面向量推论、空间基底条件进行逐项判断即可. 【详解】对于A：异面直线夹角的范围为，故夹角的余弦值不可能为负数，故A错误； 对于B：因为，则，故B正确； 对于C：根据空间向量共面定理的推论，因为，且、、三点不共线，所以、、、四点共面，故C正确； 对于D：因为，所以、、共面，不能成为基底，故D错误. 10. 若，，，则下列结论正确的是（ ） A. 与互斥事件 B. C. 与相互独立事件 D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，因 ，则 与不是互斥事件，故 A 错误； 对于B，因，故 B 正确； 对于C，由，得，则， 而，故M与N相互独立，故 C 正确； 对于D，，而，显然 ，故 D 正确. 11. 在长方体中，，，为的中点.动点P满足，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 点P一定在平面内 B. 当时，点P轨迹的长为 C. 当，，三点共线时， D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，利用及共面向量基本定理即可判断；对B，取的中点，即可得出，计算长度即可；对C，由向量共线的性质得解；对D，利用基底表示，运算得解. 【详解】对于A，由， 所以， 所以共面，即故点在平面内，故A正确； 对于B，取的中点，连接，则，又， 所以，则四边形为平行四边形， 当时，，， 可知此时点的轨迹为线段，其长度为，故B正确； 对于C，由及三点共线，故，故C错误； 对于D，由题为一组基底，所以， 所以 ， 当且仅当时，取得最小值，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，已知点，，若点P与点A关于平面对称，则的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间中点的坐标对称关系得点P的坐标，从而可得的坐标. 【详解】已知点， 若点P与点A关于平面对称，则， 所以. 故答案为：. 13. 同时抛掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为4的概率为______； 【答案】 【解析】 【分析】按古典概型概率公式求解. 【详解】同时抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件共有个； 设两枚骰子点数之和为4为事件，则事件包含：，，共3个基本事件， 所以. 故答案为： 14. 已知随机事件、满足，，，则__________． 【答案】. 【解析】 【详解】事件可拆分为互斥事件与，即, 由互斥事件加法公式 ,所以 解得： 事件可拆分为互斥事件与，即 , 同理 所以，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正切求解即得. （2）由（1）的结论，利用三角形面积求出，再利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 又，所以， 所以，即， 又，所以. 【小问2详解】 因为的面积为， 所以，解得， 又因为， 即，所以， 故的周长为. 16. 如图所示，平行六面体中，，. （1）用向量表示向量； （2）求及. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算求解即可； （2）将用来表示，再根据空间向量数量积的运算即可求解；求先求再开方即可. 【小问1详解】 如图，. 【小问2详解】 因为，，， 所以 又， ， 所以. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 【答案】（1）由题意证明如下： 如图，作出符合题意的图形，连接， 在中，，分别为，中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）距离为1. 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可得出结论； （2）方法一：设出，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，得出向量与面的一个法向量的表达式，根据直线与平面所成的角为求出参数，借助几何关系即可求出到面的距离. 方法二：利用直线与平面所成的角为，求出，借助几何关系即可求出到面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，设， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， 建立空间直角坐标系，如下图所示， 得到，，，，， ∴，面的一个法向量为， ∵直线与平面所成的角为， 设直线与平面所成的角为 ∴ 解得，∴，，，，， ∵面，∴由几何知识得，到面的距离为. 法二：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， ∵，平面，平面，平面， ∴平面，， ∴由几何知识得，即为直线与平面所成的角， 直线与平面所成的角为， 在中，，分别为，中点，， ∴直线与平面所成的角为，即， 在Rt中，，，， ∴， 在Rt中，，， 为等腰直角三角形，过点作， 则点为中点，，， 由几何知识得，到面的距离即为. 18. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率； （2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率. 【详解】（1）记事件甲连胜四场，则； （2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输， 则四局内结束比赛的概率为 ， 所以，需要进行第五场比赛的概率为； （3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输， 记事件甲赢，记事件丙赢， 则甲赢的基本事件包括：、、、 、、、、， 所以，甲赢的概率为. 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 所以丙赢的概率为. 【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属于中等题. 19. 如图，在边长为2的正方形中，点、分别是和的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． （1）求证； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）设动点在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在请说明理由． 【答案】（1）由折叠的性质，，且两两垂直， 以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， 则，则， ， 故，即． （2） （3）存在，为线段的中点 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质得出相关线段长度和垂直关系，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，计算得出，从而证明结论； （2）求出相关平面法向量，利用向量夹角余弦公式计算求解； （3）设在线段上，令，得出，利用向量夹角余弦公式结合已知条件构造方程求出，进而求出的坐标，得出点的位置． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面中，，设平面法向量为， 则，令，则； 平面中，，设平面法向量为 则，令，则， 设二面角为，则． 【小问3详解】 设在线段上，令， 则向量， 直线与平面所成角为，由线面角公式： ， 已知，故， 化简整理得，解得或（舍去）， 故点，即为线段的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 或 2. 已知向量，，向量在向量上的投影向量为 （    ）． A. B. C. D. 3. 柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出两只，则取出的鞋成双的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（ ） A. B. C. D. 5. 给出以下命题，其中错误的命题是（ ） A. 若事件互斥，则 B. 若事件相互独立，则 C. 若事件两两互斥，则 D. 若事件两两独立，则 6. 如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知某音响设备由五个部件组成，电视机，影碟机，线路，左声道和右声道，其中每个部件能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示．能听到声音，当且仅当与至少有一个正常工作，正常工作，与中至少有一个正常工作．则该音响能听到声音的概率为（ ） A. 0.19738 B. 0.80262 C. 0.80272 D. 0.19728 8. 如图，在正三棱台中，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给出以下命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则异面直线与所成角的余弦值为； B. 若平面与平面的法向量分别是与，则； C. 已知、、三点不共线，点为平面外任意一点，若点满足，则点平面； D. 若向量，，是空间的一个基底，则向量、、也是空间的一个基底； 10. 若，，，则下列结论正确的是（ ） A. 与互斥事件 B. C. 与相互独立事件 D. 11. 在长方体中，，，为的中点.动点P满足，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 点P一定在平面内 B. 当时，点P轨迹的长为 C. 当，，三点共线时， D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，已知点，，若点P与点A关于平面对称，则的坐标为______． 13. 同时抛掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为4的概率为______； 14. 已知随机事件、满足，，，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 如图所示，平行六面体中，，. （1）用向量表示向量； （2）求及. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 18. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 19. 如图，在边长为2的正方形中，点、分别是和的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． （1）求证； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）设动点在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $