江苏省南京市玄武区2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟练习卷

2026-2027学年江苏省南京市玄武区八年级数学上学期期中模拟练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版八年级上册第1~3章。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各组数中是勾股数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（     ） A．表示16的平方根，等于 B．2的算术平方根是4 C．1的平方根是1 D．没有平方根 3．如图，平分，，点B为上一点，若，则（     ） A． B． C． D． 4．根据图中的程序，当输入的为时，输出的值是（        ） A． B． C． D． 5．如图所示的是放在地面上的一个长方体盒子，其中．点M在棱上，且，N是的中点．一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（     ） A．10 B． C．9 D． 6．如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与相交于点，与相交于点，连接，则度数为（     ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共88分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分）7．若一个三角形的三边长分别是，10，2，则m的取值范围为________． 8．在生活中，我们经常会看到为抄近道而踩踏草坪的不文明现象．如图，在中，，表示两条互相垂直的小路，表示在草坪上踩踏出来的“小路”，经测量，得，，那么抄近道可以少走________． 9．已知实数x，y满足，则代数式的值为________ 10．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和是______． 11．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多，当他把绳子的下端拉开后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为__________． 12．当 时， 也成立，若将看成的立方根，看成的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数．”若 ，则的值为 ________________________． 13．如图，，．，，垂足分别是点D，E，，，则的长是________． 14．如图，在中，为边上的中线，为上一点，连接并延长交于，若，则的长度是_________． 15．如图，在中，，分别以为边向外作正方形、正方形，若，则正方形和正方形的面积之和为________． 16．观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 三、解答题（本大题共10小题，满分68分，期中17题6分，18题6分，19题6分，20题6分，21题6分，22题6分，23题6分，24题6分，25题10分，26题10分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．计算、解方程： (1) (2)． 18．如图，是等边三角形，是中线，延长至点，连接， (1)求证：； (2)过点作，垂足为．若，求的周长． 19．如图，在中，，，，，， (1)求的面积； (2)求中边上的高的长度． 20．已知实数a，b满足：． (1)求a，b的值； (2)求的平方根，并在图所示的数轴上标出平方根的大概位置．（标出后在对应位置旁写出你求的平方根） 21．【应用举例】 观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；… 可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过， 当勾为3时，股，弦； 当勾为5时，股，弦； 当勾为7时，股，弦． 请仿照上面三组样例，用发现的规律填空： (1)如果勾用（，且为奇数）表示时，请用含有的式子表示股和弦，则股__________，弦__________ 【问题解决】 (2)如果，，（为大于1的整数），则、、为勾股数．请你证明其正确性； (3)已知在（2）的条件下，，请判断以，，为三边长的三角形的形状． 22．【生活发现】 （1）如图1，把两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到了一个面积为2的大正方形，则大正方形边长为______． 根据有理数的定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数． 【提出猜想】 通过不断估算，发现不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商．因此，提出猜想：不是有理数． 【数学证明】 假设：为有理数，那么存在（与是互质的两个整数，且）， 则，即． 是整数且不为0， 是2的倍数． 设（是整数，且）， 则． ． 也是2的倍数，与，是互质的整数矛盾． 不是有理数． 【类比迁移】 （2）如图2，是一个顶点与原点重合的正方形，且该正方形面积为5，请你利用尺规，在数轴上标出表示的点； （3）请你模仿上述过程，证明：不是有理数． 23．实验探究：物理课上，胡老师带着科技小组进行物理实验 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（A、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度． 初始状态 图1物体静止在轨道上，绳子与地面垂直，其中，． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务： (1)求绳子的总长度； (2)图2若物体升高，求滑块B向左滑动的距离． 24．如图，在中． (1)尺规作图：请在图中的左侧作（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)在（1）的基础上，已知点O是的中点，连接并延长，交射线于点D，请补全图形（不要求尺规作图）．若，求的长． 25．已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒，在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为秒， (1)当秒时，求的面积； (2)是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上？若存在，求出值，若不存在，请说明理由； (3)当在边上时，是否存在某一时刻，使点在的角平分线上？若存在求出值，若不存在，请说明理由； (4)若将周长分为两部分，求出的值． 26．根据题意解答下列问题： (1)【问题初探】在数学活动课上，朱老师给出如下问题：如图，在中，，点D在外，连接、、，且，过点A作于点E，请直接写出、、之间的数量关系． 小马的解题思路如下：如图1，在BD上截取，连接AF，通过证明，进而得到、、之间的数量关系为________； (2)【类比分析】为了帮助学生更好地感悟转化思想，朱老师提出下面的问题，请你解答．如图2，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交于点F，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； (3)【学以致用】如图3，在中，，，点D在边上，过点B作交的延长线于点E，延长至点F，连接，使，连接交于点G，若，，求的面积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D D C A B 1．C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】先排除不是正整数的选项，再验证剩余选项中较小两数的平方和是否等于最大数的平方即可． 【详解】解：、不是正整数，不是勾股数; 、，不是勾股数； 、，是勾股数； 、，不是勾股数． 2．D 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【详解】解：A、∵是16的算术平方根，∴，A错误； B、∵2的算术平方根是，∴B错误； C、1的平方根是，C错误； D、∵是负数，∴没有平方根，D正确． 3．D 【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理 【分析】根据垂线段最短可得时，最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解． 【详解】解：当时，的值最小， 平分，， ， ， 的最小值为，即. 4．C 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】根据程序框图的逻辑顺序，依次判断条件并计算的值． 【详解】解：当时，， ． 是有理数， 将重新输入． ， ． 是无理数， 输出． 5．A 【知识点】几何体展开图的认识、最短路径问题、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】结合题意，分三种情况讨论，然后比较即可获得答案． 【详解】解：∵长方体盒子中，且，N是的中点， ∴，， 分三种情况讨论： ①如图1， ∵在直角三角形中，， ∴由勾股定理得：； ②如图2，过点作于点，则， ∵在直角三角形中，， ∴由勾股定理得：； ③如图3， ∵在直角三角形中，， ∴由勾股定理得：． ∵， ∴蚂蚁沿长方体表面从点爬行到点的最短距离为10． 6．B 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质 【分析】先证明，得出，再证明，得出，证明为等边三角形即可得出结论． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴度数为． 7． 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】依据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，把当作第三边，列出不等式求出的范围，再解不等式得到的取值范围． 【详解】解：根据三角形三边关系得， ， ． 8．4 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】已知是直角三角形，先用勾股定理算出斜边的长度，再计算原来走两条小路总长与的差值，得到少走的路程． 【详解】解：，，， ， ， 抄近道可以少走． 9． 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算、利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】算术平方根和绝对值都是非负数，若几个非负数的和为，则每个非负数都为，据此先求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴． 10．2027 【知识点】勾股树（数）问题、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和． 【详解】解：如图， 由题意得：，由勾股定理得：， 则“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2027． 11． /米 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】旗杆垂直地面，绳子拉开后形成直角三角形，直角边分别为旗杆高和水平拉开的距离，斜边为绳长，已知绳长比旗杆高多，水平距离为，设旗杆的高为 ，用勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：设旗杆的高为，则绳子的长度为， ∵旗杆垂直于地面， ∴绳子、旗杆、地面构成直角三角形， 由勾股定理可得： ， 解得： ， 即旗杆的高为． 12． 【知识点】相反数的应用、立方根概念理解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】根据题干给出的“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”的结论，即可求解． 【详解】解：， 与互为相反数， 根据题干结论，可得与互为相反数， ， 整理得， 解得． 13．2 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】证明即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 14． 【知识点】根据三角形中线求长度、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定 【分析】延长至点E，使得，再连接，证明，得到，结合，可得，推出，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点E，使得，连接， ∵为边上的中线，， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．256 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】由勾股定理可得，再结合正方形的面积为，正方形的面积为即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形和正方形的面积之和为． 16． 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【详解】解：∵，，，…… 规律为 ∴． 原式 ． 17．(1) (2)， 【知识点】求一个数的算术平方根、利用平方根解方程、求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】（1）先计算立方根、绝对值和算术平方根，再加减运算即可解答； （2）利用平方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：开平方得， 解得，． 18．(1)证明：△是等边三角形， ， ∵是中线， ， ， ， 又， ， ， ； (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、三线合一、根据等角对等边证明边相等、等边三角形的性质 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，再根据角之间的关系求得，根据等角对等边即可得到． （2）由的长可求出，进而可求出的长，则的周长即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ， ∵是中线， ∴， ， 的周长． 19．(1) (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】（1）利用勾股定理求解，再证明，进一步可得答案； （2）利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积为：． （2）解：如图，过作于， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴中边上的高的长度为． 20．(1)， (2)，图见解析 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根、实数与数轴 【分析】（1）根据算术平方根，绝对值的非负性求解即可； （2）先求解的平方根为，再估算，进一步画图即可. 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为， ∵，， ∴数轴表示如下图所示 . 21．(1) (2)证明：，，（为大于1的整数）， ，，都是正整数， ，， ， 故、、为勾股数． (3)解：以，，为三边长的三角形是直角三角形．理由如下： ，，（为大于1的整数）， 当时， ， 解得 ，， ，， ， 所对的角为， 故该三角形是直角三角形． 【知识点】列代数式、数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算、勾股树（数）问题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】（1）根据特例发现，股中括号里的第一项恰好是勾的平方，弦中括号里的第一项恰好是勾的平方，其余特点，保持不变，解答即可； （2）根据勾股数的定义，解答即可； （3）根据勾股定理逆定理解答即可． 【详解】（1）解：略； （2）证明：略． （3）解：略． 22．（1）； （2）如图，点即为所作； （3）证明：假设为有理数，那么存在（与是互质的两个整数，且）， 则，即． 是整数且不为0， 是10的倍数． 设（是整数，且）， 则． ． 也是2的倍数，与，是互质的整数矛盾． 不是有理数． 【知识点】算术平方根的实际应用、实数与数轴 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）根据大正方形的面积等于两个小面积之和，进而问题可求解； （2）该正方形面积为5，则边长为，对角线长为； （3）依照例题求解即可． 【详解】解：（1）由题意可知：两个小正方形的面积分别为1， ∴大正方形的面积之和为：2， ∴大正方形的边长为； 故答案为：； （2）略 （3）略 23．(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】1）利用勾股定理求出的长，再根据绳子的总长度等于的长即可； （2）设物体升高至点的位置，此时点向左滑动到点的位置，先求出的长度，再求出的长度，进而求出的长度即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 答：绳子的总长度为． （2）解：如图，设物体升高至点的位置，此时点向左滑动到点的位置， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 答：滑块向左滑动的距离为． 24．(1)如图1，即为所作， (2) 【知识点】尺规作一个角等于已知角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）利用作一个角等于已知角的步骤进行作图； （2）画出图形，利用角边角证明三角形全等，得出相等的边即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图2， ∵点O是的中点， ． 在和中， ， ． ． ， ． 25．(1) (2)存在某一时刻，点在的垂直平分线上，此时t的值为秒． (3)存在某一时刻，使点在的角平分线上，此时t的值为秒． (4)2或． 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、列代数式、几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形 【分析】（1）如图：连接，当秒时，、，再利用三角形的面积公式求解即可； （2）如图，设是的垂直平分线，连接，利用垂直平分线的性质可得，且，，再在中，利用勾股定理列方程求解即可； （3）如图，设是角平分线，过Q作，利用角平分线的性质可得，则，且，易证全等三角形的判定与性质可得，即；然后在中，利用勾股定理列方程求解即可； （4）先求得的周长为，，再分当P在上，当Q在上和P在上，当Q在上两种情况，分别画出图形并结合题意列关于t的方程求解即可． 【详解】（1）解：如图：连接， 当秒时，， ∴ ∴的面积为． （2）解：如图，设是的垂直平分线，连接， ∵是的垂直平分线， ∴，且， ∴， 在中，， ∴，解得：符合题意， ∴存在某一时刻，使点在的垂直平分线上，此时t的值为秒． （3）解：如图，设是角平分线，过Q作， ∵， ∴，则，且， ∵， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得：符合题意， ∴存在某一时刻，使点在的角平分线上，此时t的值为秒． （4）解：∵，，， ∴的周长为， ∵它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止， ∴， 如图：当P在上，Q在上，即，此时， ∵将周长分为两部分， ∴或14， 当时，即，解得：，符合题意； 当时，即，解得：，不符合题意． 如图：当P在上，Q在上，即，此时， ∵将周长分为两部分， ∴或14， 当时，即，解得：，不符合题意； 当时，即，解得：，符合题意． 综上，将周长分为两部分，的值为2或． 26．(1)； (2)解：，理由如下， 如图，在上截取，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是边上的中线，是等腰直角三角形， ∴平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角、三线合一、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）在上截取，连接，与交于点，然后证明，则有，再由等腰三角形的三线合一定理可得，从而有，即， （2）在上截取，连接，由等边三角形的性质可得，，，则有，再通过等边对等角可得，证明，所以，再证明为等边三角形，所以，则； （3）过作于点，证明，所以，，则有，然后证明，所以，最后通过即可求解． 【详解】（1）解：如图，在上截取，连接，与交于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）略； （3）解：如图，过作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的面积为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $