2026--2027学年苏科版八年级上学期期中重难点检测卷（提高卷）

八年级上学期期中重难点检测卷（提高卷） 【考试范围：三角形、实数的初步认识、勾股定理】 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间100分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（24-25八年级上·江苏·期中）三角形的两边长分别是2和3，则第三边的边长可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 2．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）用四舍五入法取的近似数正确的是（    ） A．精确到的结果是 B．精确到的结果是 C．精确到百分位的结果是 D．精确到千分位的结果是 3．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值为（   ） A．65 B．70 C．75 D．80 4．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）我们把两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”：如图，四边形是一个筝形，其中，，则下列结论不正确的是（     ） A．垂直平分 B． C． D．筝形的面积 5．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出y的值是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知，在射线上取一点，且，以点为顶点作，将绕点旋转，的两边分别与射线相交于点，连接，线段与线段的交点记为，以下4个结论：①是等腰三角形；②当点为中点时，是等边三角形；③当时，；④在旋转过程中，四边形的面积始终不发生改变．其中结论正确的有（   ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 7．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）已知实数x、y满足|x－4|+ ＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形周长是（   ） A．20或16 B．20 C．16 D．18 8．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）将一副直角三角板如图放置，，，作的平分线交于点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 9．（26-27八年级上·江苏连云港·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．1 10．（24-25八年级上·山东泰安·期中）如图，高速公路上有A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（　　）． A．4 B．5 C．6 D． 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11．（25-26八年级上·江苏南通·期中）已知3是的一个平方根，的立方根是3，则______． 12．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，在锐角中，D是的中点，，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为3，则的最小值为___． 13．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，，，点是射线上一动点，设，要使△的形状、大小是唯一确定，则的取值范围是__． 14．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知，点在边上，，点、在边上，，若，则的长为_____． 15．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，点D在边上．将沿折叠，使点C落在点处，连接，则的最小值为________． 16．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，，若，则的值是______． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根 18．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   19．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）阅读：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． (1)【初步尝试】如图1，已知中，，，，P为上一点，当______时，与为积等三角形； (2)【理解运用】如图2，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长； (3)【综合应用】如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点．请根据上述条件，回答以下问题． ①的度数为______°； ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． 20．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．    (1)将两个全等的直角三角形按如图所示方式摆放，使点A、E、D在同一条直线上，请利用图2证明勾股定理． (2)探究发现：如图3以直角三角形的三边为边，向外部作正方形面积分别为，请猜想的等量关系，并证明你的结论． (3)拓展应用：如图，中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则 ． 21．（2026八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，为的中点，已知． (1)如图①，____________； (2)如图②，将沿折叠，使点落在外点处，连接，则线段的长为___________． 22．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）年惠山区第十九届中小学生田径运动会在无锡市洛社初级中学（雅西分校）成功举办，该校“振勇”数学学习小组对学校宣传标语的悬挂高度开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量宣传标语的悬挂高度 【测量工具】卷尺、所有示意图均为其截面图 【活动过程】 活动1：测量宣传标语的高度 该小组开展对宣传标语悬挂高度的测量活动（如图1），测得此时绷直的标语的底端距离墙角的距离为．该小组将标语的底端松开后将其一部分紧贴墙壁，测得此时多余部分的长为，如图2． （1）求宣传标语的悬挂高度（即线段的长）； 活动2：测量宣传标语的高度 该小组开展对不可以到达墙角（墙角处种有绿植，但不影响地面测量）的宣传标语悬挂高度的测量活动（如图3），测得此时绷直的宣传标语的底端距离墙角的距离为．该小组将标语的底端松开后移动到点处（此时绷直），测得此时，如图4． （2）求宣传标语的悬挂高度（即线段的长）． 23．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，点A，B在格点上（每个小正方形的顶点称为格点）．按要求回答问题： (1)直接写出AB的长为______； (2)在网格中找到一格点C，使得，，判断的形状，并求点A到BC的距离． 24．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，圆柱形玻璃杯高为、底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少？ 25．（26-27八年级上·江苏南京·单元测试）在中，，点D在射线上，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段（点E不在直线上），过点E作，交直线于点F． (1)如图1，，点D与点C重合，求证：； (2)如图2，，点D在线段的延长线上，点F在线段的延长线上，连接，求证：； (3)如图3，点D，F都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级上学期期中重难点检测卷（提高卷） 【考试范围：三角形、实数的初步认识、勾股定理】 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间100分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（24-25八年级上·江苏·期中）三角形的两边长分别是2和3，则第三边的边长可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理，即构成三角形的条件—“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据三角形的三边关系定理，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值． 【详解】解：设这个三角形的第三边长为， 根据三角形的三边关系定理，得：， 解得， 在四个选项的数值中，只有数值3符合， 故选：B． 2．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）用四舍五入法取的近似数正确的是（    ） A．精确到的结果是 B．精确到的结果是 C．精确到百分位的结果是 D．精确到千分位的结果是 【答案】B 【分析】本题主要考查了近似数的精确度和有效数字等知识点，掌握近似数的确定方法（①精确到多少位或者精确到小数点后第几位；②保留几个有效数字.确定有效数字时，要注意两点：一是从左边第一个不是零的数字起；二是到精确到的数位止，所有的数字，都是这个数的有效数字）是解题的关键． 根据近似数的确定方法逐项判断即可解答． 【详解】解：A. 精确到的结果是，故该选项错误，不符合题意；     B. 精确到的结果是，故该选项正确，符合题意；     C. 精确到百分位的结果是，故该选项错误，不符合题意；     D. 精确到千分位的结果是，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 3．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值为（   ） A．65 B．70 C．75 D．80 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用、全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键 找到图中的等量关系并熟练使用勾股定理解答． 【详解】解：∵八个直角三角形全等，四边形，，是正方形， ∴，，， ∴ ， ∵， ， ， ∴ ． 故选：C ． 4．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）我们把两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”：如图，四边形是一个筝形，其中，，则下列结论不正确的是（     ） A．垂直平分 B． C． D．筝形的面积 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的判定，等腰三角形的性质和分割法求面积，逐项判断即可． 【详解】解：A、，， 是的垂直平分线，即垂直平分； B、根据题中的条件，无法证明； C、，垂直， ； D、垂直， 筝形的面积； 综上：选项B符合题意． 5．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出y的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的x值是64时，取算术平方根得， 由于8是有理数，所以再取立方根得， 由于2是有理数，所以再取算术平方根得， 由于是无理数，所以输出y的值是． 6．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知，在射线上取一点，且，以点为顶点作，将绕点旋转，的两边分别与射线相交于点，连接，线段与线段的交点记为，以下4个结论：①是等腰三角形；②当点为中点时，是等边三角形；③当时，；④在旋转过程中，四边形的面积始终不发生改变．其中结论正确的有（   ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线性质定理以及直角三角形的性质等知识，过作于点P，于点Q，证明可判断①正确；证明可判断②正确；分别证明和即可判断③正确；证明,根据可判断④正确． 【详解】解：①过作于点P，于点Q，则，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故①正确； ②∵，点为中点， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴是等边三角形，故②正确； ③当时，，， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，, ∴， 又， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴, ∴， ∴为定值，故④正确， 综上，正确的结论是①②③④， 故选：D． 7．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）已知实数x、y满足|x－4|+ ＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形周长是（   ） A．20或16 B．20 C．16 D．18 【答案】B 【分析】根据绝对值与二次根式的非负性即可求出x与y的值．由于没有说明x与y是腰长还是底边长，故需要分类讨论． 【详解】由题意可知：x-4=0，y-8=0， ∴x=4，y=8， 当腰长为4，底边长为8时， ∵4+4=8， ∴不能围成三角形， 当腰长为8，底边长为4时， ∵4+8＞8， ∴能围成三角形， ∴周长为：8+8+4=20， 故选：B． 【点睛】本题考查了算术平方根，以及三角形三边关系，解题的关键是正确理解非负性的意义，以及三角形三边关系，本题属于基础题型． 8．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）将一副直角三角板如图放置，，，作的平分线交于点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角板可知：，，利用勾股定理可得，易得；利用角平分线的定义可得，根据含30度直角三角形的性质可得，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由三角板可知：，， ∵， ∴，解得：， ∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴，解得：． 9．（26-27八年级上·江苏连云港·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图， 由题意得，正方形的面积为1， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， “生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2023， 故选：A 10．（24-25八年级上·山东泰安·期中）如图，高速公路上有A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（　　）． A．4 B．5 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设，则，根据C、D两村庄到E站的距离相等，可得到，则由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵C、D两村庄到E站的距离相等， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11．（25-26八年级上·江苏南通·期中）已知3是的一个平方根，的立方根是3，则______． 【答案】 【分析】本题根据平方根和立方根的定义得到关于x和y的等式，求出x、y的值，再计算即可． 【详解】解：是的一个平方根，的立方根是， ，， 整理得：，， 解得：， 把代入，得， ． 12．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，在锐角中，D是的中点，，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为3，则的最小值为___． 【答案】9 【分析】连接，由得到，得出，，由D是的中点推导得出，得出的面积，从而求出边上的高，根据垂线段最短得出的最小值即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，， D是的中点， ，， ， ∴， ， ， 设边上的高为h， ， ， ， ， 的最小值为9． 13．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，，，点是射线上一动点，设，要使△的形状、大小是唯一确定，则的取值范围是__． 【答案】或 【分析】此题考查了勾股定理、三角形全等的判定等知识，分类讨论是解题的关键． 分两种情况讨论求解即可得到答案． 【详解】解：①当时， 如图， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 解得， 此时，的形状、大小是唯一确定的； ②当时，以点C为圆心，为半径画弧，此弧与射线有唯一公共点，则的形状、大小是唯一确定的， 综上所述，的取值范围为或． 故答案为：或． 14．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知，点在边上，，点、在边上，，若，则的长为_____． 【答案】4 【分析】过点P作于点D，求出，则可求出的长，由三线合一定理求出的长，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴． 15．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，点D在边上．将沿折叠，使点C落在点处，连接，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角不等关系是解题的关键． 由折叠性质可知，然后根据三角不等关系可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴当、、B三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为； 故答案为：． 16．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，，若，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，由勾股定理结合正方形的面积可得，据此解答，熟记勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理结合正方形的面积可得，， 又∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据算术平方根、平方根的定义列方程可求a，b，根据可求c的值； （2）根据平方根的定义代入计算即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是3， ， ； 的平方根是， ， ， ； ，c是的整数部分， ． （2）解：的平方根为． 18．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   【答案】(1) (2)6180 【分析】本题主要考查了立方根的性质： （1）根据表格可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位，即可求解； （2）根据（1）中的规律解答即可． 【详解】（1）解：完成表格，如下： 式子 …… …… 结果 …… 6 60 …… 由此发现，被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位； ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴． 故答案为：6180． 19．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）阅读：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． (1)【初步尝试】如图1，已知中，，，，P为上一点，当______时，与为积等三角形； (2)【理解运用】如图2，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长； (3)【综合应用】如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点．请根据上述条件，回答以下问题． ①的度数为______°； ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． 【答案】(1) (2)2或3 (3)①180；②， 理由如下：延长至G，使，连接，如图3所示： ∵F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 由①得：， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，勾股定理，直角三角形的性质，倍长中线的问题，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． （1）求出，根据新定义“积等三角形”可得出答案； （2）延长至E，使，连接，证明，得出，根据三角形三边关系可得出答案． （3）①由周角的定义可得出答案；②延长至G，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）解：如图1中，在上截取， 在中，， ∵， ∴， ∵与不全等， ∴与为积等三角形， 当时，与为积等三角形； 故答案为：； （2）解：如图2，延长至E，使，连接， ∵与为积等三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或3， ∴的长为2或3． （3）解：①∵， ∴， 故答案为：180； ② 略 20．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．    (1)将两个全等的直角三角形按如图所示方式摆放，使点A、E、D在同一条直线上，请利用图2证明勾股定理． (2)探究发现：如图3以直角三角形的三边为边，向外部作正方形面积分别为，请猜想的等量关系，并证明你的结论． (3)拓展应用：如图，中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则 ． 【答案】(1) 证明：由题意得， ， ， ； (2) ，理由如下， 如图，   ， ∵， ∴； (3) 【分析】本题考查勾股定理的证明及运用； （1）通过三个直角三角形的面积等于大直角梯形的面积可以推导出勾股定理； （2）由题意得，可得； （3）分别交、于点、点，设，，，，，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：略； （2）解：略； （3）解：如图，分别交、于点、点，    ∵，，均是等腰直角三角形， ∴，，， 设，，，，， ∵，，， 又∵， ∴， ∵，， ∴ ∴． 故答案为：． 21．（2026八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，为的中点，已知． (1)如图①，____________； (2)如图②，将沿折叠，使点落在外点处，连接，则线段的长为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，再根据三角形内角和定理计算即可． （2）根据折叠性质得到，从而得到对应边相等，再利用求三角形面积求出，根据三角形内角和定理得到是直角三角形，利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵为的中点，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 根据三角形内角和定理得， ∴． （2）解：连接交于， ∵，为的中点， ∴， ∵（折叠的性质）， ∴，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 根据勾股定理得， ∴． 22．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）年惠山区第十九届中小学生田径运动会在无锡市洛社初级中学（雅西分校）成功举办，该校“振勇”数学学习小组对学校宣传标语的悬挂高度开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量宣传标语的悬挂高度 【测量工具】卷尺、所有示意图均为其截面图 【活动过程】 活动1：测量宣传标语的高度 该小组开展对宣传标语悬挂高度的测量活动（如图1），测得此时绷直的标语的底端距离墙角的距离为．该小组将标语的底端松开后将其一部分紧贴墙壁，测得此时多余部分的长为，如图2． （1）求宣传标语的悬挂高度（即线段的长）； 活动2：测量宣传标语的高度 该小组开展对不可以到达墙角（墙角处种有绿植，但不影响地面测量）的宣传标语悬挂高度的测量活动（如图3），测得此时绷直的宣传标语的底端距离墙角的距离为．该小组将标语的底端松开后移动到点处（此时绷直），测得此时，如图4． （2）求宣传标语的悬挂高度（即线段的长）． 【答案】（1）宣传标语的悬挂高度为；（2）宣传标语的悬挂高度为． 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，运用方程建模思想与勾股定理变形技巧，解题关键是设未知数后利用直角三角形三边关系列方程并联立求解，易错点是混淆勾股定理中斜边与直角边的平方关系． 【详解】（1）解：设，则标语长为， ∴由勾股定理得：，解得：． 答：宣传标语的悬挂高度为． （2）解：设 ，则标语长为， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：． ∴． ∴在中，由勾股定理得：． 答：宣传标语的悬挂高度为． 23．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，点A，B在格点上（每个小正方形的顶点称为格点）．按要求回答问题： (1)直接写出AB的长为______； (2)在网格中找到一格点C，使得，，判断的形状，并求点A到BC的距离． 【答案】(1) (2)如图：点C即为所求的格点；是直角三角形；点A到BC的距离为2． 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理画出线段，，并根据勾股定理的逆定理判断的形状，再利用等面积法求点A到BC的距离即可． 【详解】（1）解：． （2）解：作图略； ∵，，， ， 是直角三角形． 设点A到BC的距离为h， ∵， ∴，解得：， ∴点A到BC的距离为2． 24．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，圆柱形玻璃杯高为、底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少？ 【答案】蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，求最短距离，解题的关键是利用轴对称的性质以及勾股定理进行求解． 将杯子侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离， 由题意可得，，， 由勾股定理可得，， 答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是． 25．（26-27八年级上·江苏南京·单元测试）在中，，点D在射线上，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段（点E不在直线上），过点E作，交直线于点F． (1)如图1，，点D与点C重合，求证：； (2)如图2，，点D在线段的延长线上，点F在线段的延长线上，连接，求证：； (3)如图3，点D，F都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明：由旋转知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点D与点C重合， ∴， ∴； (2)证明：如图2，在的延长线上取一点H，使， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3)，证明： 如图3，在的延长线上取一点G，使，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）因为线段旋转得到，所以，结合得，得，由证明，得，由D与点C重合，可得． （2）在的延长线上取一点H，使，可得，证明与全等，得到的度数，结合计算的度数即可完成垂直的证明． （3）在的延长线上取一点G，使，证明，得到，可得，得到，最后结合线段和差关系推导与的数量关系． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $