精品解析：黑龙江哈尔滨市第九中学校2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

哈九中2026—2027学年度高一上学期 十月月考数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分共2页） 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 设集合，若，则实数a等于（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合和关系的韦恩图如下，则阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知条件或，则使得条件p成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 6. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ） A. 25 B. 10 C. 6 D. 5 8. 对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与函数是同一个函数 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若，，则的取值范围是 D. 函数的定义域为 10. 已知，则下列结论中正确的有（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 11. 已知，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为4 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分） 12. 不等式的解集为________. 13. 已知集合，，，若，则实数的取值范围是____________． 14. 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，．若不等式的解集为，则正数的取值范围是__________． 四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，， （1）求； （2）若，求的取值范围． 16. 已知命题：，；命题：，． （1）若命题为假命题，求实数的取值范围； （2）若与有且仅有一个真命题，求实数的取值范围． 17. 高一（2）班的小明同学为我校运动会设计的会徽《雪花》获得一等奖．他的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，现要批量生产．其中会徽的六个直角（如图2阴影部分）要利用镀金工艺上色．已知一块矩形材料如图1所示，矩形的周长为，其中长边为，将沿向折叠，折过去后交于点． （1）求图1中的面积的最大值，并求出此时的值； （2）已知镀金工艺是2元/，若一个会徽的镀金部分所需费用不超过2元，求的取值范围． 18. 已知关于的不等式解集为． （1）当时，求集合； （2）当时，求集合； （3）若集合中恰有两个整数，求实数的取值范围． 19. 若实数，，满足，则称比接近． （1）若4比接近0，求的取值范围； （2）若对于任意的非零实数，实数比接近，求的取值范围； （3）对于任意的两个不等正数，，判断是否比接近，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈九中2026—2027学年度高一上学期 十月月考数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分共2页） 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 设集合，若，则实数a等于（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集的元素，分类求解，确定a的值，即得答案. 【详解】由题意集合，， 可得当时，，不符合集合元素的互异性， 当时，解得或（舍去）， 故实数a等于， 故选：B 2. 命题“，”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得. 【详解】命题“，”的否定是“”. 3. 已知集合和关系的韦恩图如下，则阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断出阴影部分表示，然后求得，再求得. 【详解】依题意可知，，且阴影部分表示. ， 所以. 故选：B 【点睛】本小题主要考查根据韦恩图进行集合的运算，属于基础题. 4. 若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】定义域，值域，且函数要求一个只能对应唯一， 结合图象可知，D正确． 5. 已知条件或，则使得条件p成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分不必要的定义判断即可. 【详解】使得条件p成立的一个充分不必要条件应为或的真子集， 只有或满足要求. 故选：. 6. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法以及韦达定理，可得参数的值，利用分式不等式的解法，可得答案. 【详解】由不等式的解集为， 则方程的解为或，且， 可得，， 由不等式等价于，即， 则，可得，解得或. 故选：A. 7. 已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ） A. 25 B. 10 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】将不等式同向变形为参数的上界，再利用基本不等式求该上界的最小值，并检查等号成立条件． 【详解】因为，，所以． 原不等式恒成立，当且仅当． 令，则， 当且仅当，即时取等号． 因此，且最小值为，故的最大值为． 8. 对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由新定义，列举计算即可； 【详解】当都是偶数或都是奇数时， 则或或或或或或或或； 当是偶数，是奇数时，，或； 当是奇数，是偶数时，，或； 集合中含有个元素，它的子集个数为， 故选：B 二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与函数是同一个函数 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若，，则的取值范围是 D. 函数的定义域为 【答案】BD 【解析】 【详解】的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故A错误； 则，满足充分性；，则或，不满足必要性，故B正确； ，则；，则，故，故C错误； ，则，解得或， 故定义域为，D正确． 10. 已知，则下列结论中正确的有（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例即可说明A；由不等式的性质，即可说明B；利用作差法即可判断C；根据配方法即可判断D． 【详解】对A：当时，结论不成立，故A错误； 对于B：因为，所以，所以故B正确； 对于C：， 因为，所以，所以，即，故C正确； 对于D：等价于，成立，故D正确； 故选：BCD． 11. 已知，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】将条件代入选项，利用基本不等式和二次函数的性质，即可判断选项. 【详解】对于A选项，，当时等号成立，故A选项正确； 对于B选项，，故当时，有最小值，故B选项错误； 对于C选项，，当时等号成立，故C选项正确； 对于D选项，，当且仅当，即时，等号成立，故D选项正确. 故选：ACD． 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分） 12. 不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【详解】，则， ，解得， 所以解集为． 13. 已知集合，，，若，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先解不等式确定集合，再按是否为空集分类，将交集为空的条件转化为区间端点之间的关系． 【详解】由，得． 当时，，解得，此时成立； 当时，，即，且． 此时，则得，结合，得． 综上，实数的取值范围为． 14. 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，．若不等式的解集为，则正数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的求解方法结合的定义列不等式组求解即可. 【详解】可化为， 令，解得或. 因为，则，所以不等式的解为. 当时，可取的整数为-1,0,1,2,3， 因为不等式的解集为，所以，解得. 故正数的取值范围是. 四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，， （1）求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值不等式求出集合，再根据交集及补集运算求解即可. （2）由，得，根据集合的包含关系分情况列不等式组求解即可. 【小问1详解】 由，得，则. 所以或， 故. 【小问2详解】 由，得. 当时，，解得. 当时，，解得. 综上，的取值范围为. 16. 已知命题：，；命题：，． （1）若命题为假命题，求实数的取值范围； （2）若与有且仅有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知恒成立，分、两种情况讨论，结合二次不等式恒成立运算求解； （2）若命题为真命题，解得或，分类讨论命题与的真假性，列式求解即可. 【小问1详解】 若命题为假命题，则命题为真命题，即，恒成立， 当时，可得，符合题意； 当时，需使，解得； 综上，实数的取值范围为. 【小问2详解】 若命题：，为真命题，则，解得或. 因为与有且仅有一个真命题， 若为真命题，为假命题，则，可得； 若为假命题，为真命题，则，可得或； 综上，实数的取值范围为. 17. 高一（2）班的小明同学为我校运动会设计的会徽《雪花》获得一等奖．他的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，现要批量生产．其中会徽的六个直角（如图2阴影部分）要利用镀金工艺上色．已知一块矩形材料如图1所示，矩形的周长为，其中长边为，将沿向折叠，折过去后交于点． （1）求图1中的面积的最大值，并求出此时的值； （2）已知镀金工艺是2元/，若一个会徽的镀金部分所需费用不超过2元，求的取值范围． 【答案】（1）当时，的面积取到最大值 （2） 【解析】 【分析】（1）设cm，根据条件可得，进而可得的面积，结合基本不等式求最值； （2）设一个会徽的镀金费用为y元，整理可得，，令解不等式即可. 【小问1详解】 因为cm，所以cm， 设 cm，则cm， 因为，，， 所以，所以cm， 在中，由勾股定理得， 即，解得，则， 可得的面积， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，的面积取到最大值. 【小问2详解】 设一个会徽的镀金费用为y元，则，， 令，整理可得，解得或， 所以的取值范围为． 18. 已知关于的不等式解集为． （1）当时，求集合； （2）当时，求集合； （3）若集合中恰有两个整数，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，； 当时，或； 当时，； 当时，； 当时，； （3） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解即可； （2）对参数分类讨论，利用一元二次不等式的解法求解即可， （3）结合（2）分类讨论，结合已知可求实数的取值范围． 【小问1详解】 当时，不等式为，所以， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 由，得， 当时，不等式为，解得，所以； 当时，解不等式得或，所以或； 当时，，解不等式得，所以； 当时，不等式无解，所以； 当时，，解不等式得，所以； 综上所述：当时，； 当时，或； 当时，； 当时，； 当时，； 【小问3详解】 当时，，集合中整数多于两个，不符合题意； 当时，或，集合中整数多于两个，不符合题意； 当时，，集合中没有整数，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 由集合中恰有两个整数，得，解得. 所以实数的取值范围为． 19. 若实数，，满足，则称比接近． （1）若4比接近0，求的取值范围； （2）若对于任意的非零实数，实数比接近，求的取值范围； （3）对于任意的两个不等正数，，判断是否比接近，并说明理由． 【答案】（1）或 （2） （3）比接近，理由如下： 因为且，所以，且， 所以 ， 则，即， 故比接近． 【解析】 【分析】（1）解不等式可得结论； （2）求出的最小值，然后解不等式可得结论； （3）作差，确定其正负后可得结论. 【小问1详解】 由题意得：，则或， 解得或，所以的取值范围或； 【小问2详解】 由题意：对于，且恒成立， 当时，，当且仅当时等号成立， 当时，则，所以， 当且仅当时等号成立，所以，则. 综上，．故，解得， 所以的取值范围为． 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $