精品解析：河北沧州市第一中学2026-2027学年高一上学期第一次学段检测数学试题

沧州一中高一年级第一次学段检测 数学试题 （2026.10.13） （满分：150分，测试时间：120分钟） 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 集合中有两个元素 B. 集合{0}中没有元素 C. ∈{x|x<2} D. {1，2}与{2，1}是不同的集合 2. 集合M满足,则集合M的个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 3. 设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（ ） A. {x|2<x≤3} B. {x|2≤x≤3} C. {x|1≤x<4} D. {x|1<x<4} 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 命题“”的否定是（    ） A. B. C. D. 6. 若，，，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 在R上定义运算：a⊕b＝(a＋1)b.已知1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x)⊕(m＋x)<4成立，则实数m的取值范围为（ ） A. {m|－2<m<2} B. {m|－1<m<2} C. {m|－3<m<2} D. {m|1<m<2} 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或者错选得0分． 9. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 集合A的真子集个数为 10. 使成立的充分不必要条件可以是（ ） A. ， B. C. ， D. ， 11. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设全集，集合，，则________． 13. ，，命题为________命题（填“真”或“假”）． 14. 已知正数，满足，且恒成立，则实数的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，集合． （1）求集合； （2）求和． 16. 设集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）求关于的不等式的解集． 18. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 19. 已知关于的方程． （1）若方程有两个不相等的正实根，求实数的取值范围； （2）若方程有两个实根，，且满足，求实数的取值范围； （3）若方程至少有一个正根，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沧州一中高一年级第一次学段检测 数学试题 （2026.10.13） （满分：150分，测试时间：120分钟） 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 集合中有两个元素 B. 集合{0}中没有元素 C. ∈{x|x<2} D. {1，2}与{2，1}是不同的集合 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合判断A；利用集合的意义及性质判断B，D；利用元素与集合的关系判断C作答. 【详解】对于A，，集合中有两个元素，A正确； 对于B，集合{0}有一个元素0，B不正确； 对于C，，因此，C不正确； 对于D，由于集合中的元素具有无序性，{1，2}与{2，1}是同一集合，D不正确. 故选：A 2. 集合M满足,则集合M的个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合间的包含与真包含关系即可确定集合中的元素组成，即得其个数. 【详解】由可知，可以取 共7个. 故选：C. 3. 设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（ ） A. {x|2<x≤3} B. {x|2≤x≤3} C. {x|1≤x<4} D. {x|1<x<4} 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合并集概念求解. 【详解】 故选：C 【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】因为自然数都是有理数，则“”是“”的充分条件， 而有理数不一定是自然数，则“”是“”的不必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件. 5. 命题“”的否定是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定方法，改变量词，否定结论即可. 【详解】命题“”的否定是“”． 故选：． 6. 若，，，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质和反例即可判断. 【详解】对于AB：取，满足，显然，不成立，错误； 对于C：因为，所以，正确； 对于D：取，显然不成立，错误， 故选：C 7. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次不等式和一元二次方程的对应关系求出参数，再解另一个不等式即可. 【详解】由题设知方程有两根2和3，故由韦达定理得则， 因此，解得． 故选：A． 8. 在R上定义运算：a⊕b＝(a＋1)b.已知1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x)⊕(m＋x)<4成立，则实数m的取值范围为（ ） A. {m|－2<m<2} B. {m|－1<m<2} C. {m|－3<m<2} D. {m|1<m<2} 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义求出(m－x)⊕(m＋x)＝m2－x2＋m＋x，将不等式分离参数后，转化为最大值使不等式成立，根据二次函数求出最大值后，解一元二次不等式即可得解. 【详解】依题意得(m－x)⊕(m＋x)＝(m－x＋1)(m＋x)＝m2－x2＋m＋x， 因为1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x)⊕(m＋x)<4成立， 所以存在1≤x≤2，使不等式m2＋m<x2－x＋4成立， 即当1≤x≤2时，m2＋m<(x2－x＋4)max. 因为1≤x≤2，所以当x＝2时，x2－x＋4取最大值6， 所以m2＋m<6，解得－3<m<2. 故选：C． 【点睛】本题考查了对新定义的理解能力，考查了不等式能成立问题，考查了二次函数求最值，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或者错选得0分． 9. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 集合A的真子集个数为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用交集、并集、补集的概念及真子集的概念计算即可. 【详解】由已知全集，集合，， 对于A，，即A正确 对于B，，所以B错误 对于C，，所以C正确 对于D，集合的真子集有：，，，，，，共个， 所以D错误． 故选：AC． 10. 使成立的充分不必要条件可以是（ ） A. ， B. C. ， D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据题意逐一判断即可. 【详解】由，可以推出，反之不成立，故A满足题意 当时满足，但不满足，故B不满足题意 由，可以推出，反之不成立，故C满足题意 由，可以推出，反之不成立，故D满足题意 故选：ACD 【点睛】本题考查的是充分必要条件的判断，较简单. 11. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用基本不等式及其“1”的代换判断各项正误. 【详解】A：由题设，当且仅当时取等号，对； B：由题设，当且仅当时取等号， 所以，对； C：， 当且仅当时取等号，对； D：，当且仅当时取等号，错. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设全集，集合，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】已知， 由得，解得或， 即，，故. 13. ，，命题为________命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【解析】 【详解】因为恒成立， 所以，为真命题. 14. 已知正数，满足，且恒成立，则实数的取值范围为________． 【答案】（或） 【解析】 【分析】由恒成立，得，利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意得：恒成立，即， ，所以， 当时，即时，等号成立， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，集合． （1）求集合； （2）求和． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 由得：，解得：，； 由得：，解得：，. 【小问2详解】 由（1）得：， ，. 16. 设集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出集合，，根据交集的运算即可求解； （2）由充分不必要条件知是的真子集，据此列出不等式即可求解． 【小问1详解】 ， 当时，， 所以． 【小问2详解】 由于“”是“”的充分不必要条件，故是的真子集， 显然，故只需，解得． 17. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）； （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【解析】 【分析】（1）分、两种情况，结合二次函数的性质即可求解； （2）将原不等式因式分解为，分、、三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）由题意可得对一切实数恒成立， 当时，不等式为，不恒成立，故不符合题意； 当时，则，解得； 综上所述，的范围为. （2）不等式可化为， 当时，不等式为，故解集为； 当时，可得，故解集为； 当时，可得，故解集为. 18. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】（1）米，元 （2） 【解析】 【分析】（1）先求得总报价的表达式，然后利用基本不等式求得最低报价. （2）根据整体报价列不等式，然后分离参数，利用基本不等式求得的取值范围. 【小问1详解】 设甲工程队的总报价为y元， 则， 又， 当且仅当，即时等号成立. 即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元. 【小问2详解】 由题意可得，对任意的恒成立， 即， 所以， 又， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以的取值范围为. 19. 已知关于的方程． （1）若方程有两个不相等的正实根，求实数的取值范围； （2）若方程有两个实根，，且满足，求实数的取值范围； （3）若方程至少有一个正根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二次方程根的分布知识，将“两个不相等正根”转化为判别式、对称轴以及端点值三个条件，联立不等式组求交集； （2）运用数形结合思想，结合二次函数开口向上的性质，将根在特定区间的条件转化为区间端点的函数值符号，列不等式组、、求解； （3）采用补集法，先求出“方程没有正根”的参数范围，进而得到方程至少有一个正根时实数的取值范围. 【小问1详解】 已知， 函数，图象开口向上，对称轴为， 又， 若方程有两个不相等正实根，则 ，解得或， 对称轴在轴右侧： ， 函数在处的函数值为正（保证两根同号）： ， 取交集得：，故的取值范围为. 【小问2详解】 由已知开口向上的二次函数在区间和各有一个零点， 等价于区间端点的函数值满足以下符号条件： ； ； ， 取交集得：，故的取值范围为. 【小问3详解】 方程没有正根，即方程无实根，或两根均为非正根： 方程无实根： ， 两根均为非正根：，解得， 因此“没有正根”的总范围是， 则“至少有一个正根”的范围为， 故实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $