精品解析：河北保定市第三中学2026-2027学年第一学期高一9月学业素养评估数学试题

保定三中2026-2027学年第一学期9月学业素养评估 高一年级数学 时间：120分钟 分值150分 一、单选题：本题共8小题，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可. 【详解】由题意可得：，则. 故选：A. 2. 集合的真子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】 先化简集合，再列举出所有真子集，从而可得答案． 【详解】因为， 所以A的真子集为 可得真子集的个数为， 故选：． 3. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，“”是“”的充分必要条件，不合题意； 对于B，由推不出，但是由可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意； 对于C，由推不出，但是由可以推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，符合题意； 对于D，由推不出，比如满足，不满足， 但是由可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意． 故选：C 4. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个选项推导或举反例判断即可. 【详解】对A，若，，则，故A错误； 对B，若，则，但，故B错误； 对C，若，则，但，故C错误； 对D，若，则，故，即，故D正确. 故选：D 5. 设集合，集合，若，，，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合，的定义，分别确定与的奇偶性，再判断两数的和与积所属的集合． 【详解】由可知为奇数，由可知为偶数． 奇数与偶数的和为奇数，积为偶数，因此，． 所以A正确，B、C、D均错误． 6. 已知x＞2，则函数的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】 由，根据基本不等式求最小值． 【详解】 当且仅当时，取等号 . 故选：D 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，掌握基本不等式求最值的条件：一正二定三相等是解题关键．属于基础题. 7. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 所求的分母特征，利用变形构造，再等价变形，利用基本不等式求最值. 【详解】解：因为满足， 则 ， 当且仅当时取等号， 故选：． 【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 8. 学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（    ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】结合韦恩图，列出方程求解即可. 【详解】设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为，只参加田径的人数为，只参加球类比赛的人数为， 则只参加游泳比赛的人数为，画出韦恩图，如图所示， 则，解得，所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 的最小值为2 D. 的最小值为2 【答案】AB 【解析】 【分析】利用基本不等式，注意等号成立条件判断A、B、D，根据不等式性质判断C. 【详解】当时，， 当且仅当时，即时等号成立，故A正确； 当时，， 当且仅当时，即时等号成立，故B正确； 当时，显然不成立，故C错误； 因为， 当且仅当时等号成立，此时无解，故取不到等号，故D错误． 故选：AB 10. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 由所确定的实数集合为 B. 同时满足的整数解的集合为 C. 集合可以化简为 D. 中含有三个元素 【答案】BC 【解析】 【分析】利用绝对值的意义，去绝对值符号，即可判定A；解不等式得到x的取值范围，用列举法表示出整数解的集合即可判定B；由，，，用列举法可判定C；用试根的方式找出满足条件的元素可判断D. 【详解】解：对于选项A， 当都是正数时，原式 当都是负数时，原式 当两正一负时，原式 当两负一正时，原式故A错误； 对于选项B，由，得， 所以符合条件的整数解的集合为，故B正确； 对于选项C，由，，， 可以得到符合条件的数对有，，，故C正确； 对于选项D，当时，；当时， 当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以集合A含有四个元素2，1，0，，故D错误. 故选：BC. 11. 已知不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是（ ）. A. B. 若不等式的解集为，则 C. 若不等式的解集为，则 D. 若不等式的解集为，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理进行求解. 【详解】由题意，不等式的解集是， 所以，，所以A正确； 对于B：变形为，其解集为， 所以，得，故成立，所以B正确； 对于C：若不等式的解集为，由韦达定理知： ，所以C错误； 对于D：若不等式的解集为， 即的解集为，由韦达定理知： ， 则，解得， 所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题：“，”的否定是________. 【答案】 【解析】 【分析】全称量词：“”改为存在量词：“”，“”改为“”，即可得解. 【详解】命题为全称命题，则命题：“∀x＜0，x2﹣2x+3≤0”的否定为：， 故答案为：. 【点睛】本题考查了写全称命题的否定，属于基础题. 13. 若由，，组成的集合A与由，，组成的集合B相等，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】由集合相等及分式有意义得，分与两种情形，利用集合元素的互异性逐一验证. 【详解】由有意义可知. 若，则两集合分别为与， 由集合相等得，即. 当时，不满足互异性，舍去； 当时两集合均为，满足条件. 若，则，左集合不含，而右集合含，两集合不可能相等，舍去. 综上，，所以. 14. 设是自然数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“酷元”.给定，设，且集合有两个元素，且这两个元素都是的“酷元”，那么这样的集合有________个. 【答案】5 【解析】 【分析】由集合求得可取，根据题意得到集合不能含有，也不能同时含有，利用列举法，即可求解. 【详解】由，解得，又由，可得可取， 由题意知，集合不能含有，也不能同时含有， 故集合可以是， 即这样的集合有共有个. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了集合的新定义，集合表示方法，其中解答中正确理解题目给出的新定理是解答的关键，属于基础题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合求. 【答案】；； 或； 或或. 【解析】 【分析】利用集合的交并补运算，借助于数轴表示即可逐一求得. 【详解】依题意，； ； 或或； 或或或. 16. 已知关于x的不等式． （1）若不等式的解集为，求实数k的值； （2）若不等式的解集为R，求实数k的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据不等式与对应一元二次方程的关系，利用根与系数的关系求出k的值； （2）根据不等式恒成立，结合二次函数的图像，讨论k的取值，求出结果即可． 【小问1详解】 由不等式的解集为， 可知，和1是一元二次方程的两根， 所以有，解得. 【小问2详解】 不等式的解集， 若，不等式为，符合题意； 若，则有，解得， 所以不等式的解集为R，求实数k的取值范围为 17. 为缓解市民吃肉难的问题，某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1000元，猪肉在运输过程中损耗费（单位：元）是汽车速度（单位：千米/时)值的2倍.（说明：运输的总费用=运费+装卸费+损耗费） （1）若运输的总费用不超过1260元，求汽车行驶速度值的范围； （2）若要使运输的总费用最小，汽车应以多少千米的速度行驶？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设汽车行驶的速度为千米/小时，列出总费用的表达式，根据题意及一元二次不等式的解法，即可求得答案； （2）设汽车行驶的速度为千米/小时，列出总费用的表达式，利用基本不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 解：设汽车行驶的速度为千米/小时，运输的总费用运费装卸费损耗费， ，化简得 解得： 运输的总费用不超过1260元，汽车行驶速度的范围为：. 【小问2详解】 解：设汽车行驶的速度为千米/小时，运输的总费用运费装卸费损耗费， 运输的总费用： 当且仅当即时取得等号， 若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时千米的速度行驶. 18. 已知命题，命题， （1）若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据条件设，可知，，分两种情况，当和时，根据题意列不等式(或组），解不等式即可求解. （2）根据条件设或，则，分两种情况，当和时，根据题意列不等式(或组），解不等式即可求解. 【小问1详解】 设， 由是的必要不充分条件，可知， ①，可得，得， ②，则需满足（等号不同时成立）， 解得， 综上所述，m的取值范围为或． 【小问2详解】 根据题意，或， 设或， 由是的充分不必要条件，则为的真子集， ①，可得，得， ②，则需满足或， 解得或， 综上所述，m的取值范围为或． 19. 对在平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“下位点” （1）点是点的“下位点”吗？请简单说明理由． （2）若点是点的“下位点”，试判断，，之间的大小关系． （3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得点是点的“下位点”，且点是点的“下位点”，求正整数的最小值． 【答案】（1）是，由“下位点”的定义，，所以点是点的“下位点”． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入定义中的不等式直接判断； （2）先由“下位点”条件得到两个分式的大小关系，再通过作差比较第三个分式； （3）将两个“下位点”条件化为严格不等式，取求的下界，再构造正整数验证下界可以取到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为点是点的“下位点”，所以． 又，，，均为正数，因此． 另一方面，，． 综上，． 【小问3详解】 根据定义，对每个，都存在正整数，使得，． 先证明． 取，则，． 令，，则，都是正整数，故，． 注意到，有． 从而． 再验证可以满足题意． 对任意，取正整数，则， ． 故对集合中的每个，都存在这样的正整数使两个“下位点”条件同时成立． 因此的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保定三中2026-2027学年第一学期9月学业素养评估 高一年级数学 时间：120分钟 分值150分 一、单选题：本题共8小题，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 集合的真子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 3. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 设集合，集合，若，，，，则（     ） A. B. C. D. 6. 已知x＞2，则函数的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 7. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（    ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 的最小值为2 D. 的最小值为2 10. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 由所确定的实数集合为 B. 同时满足的整数解的集合为 C. 集合可以化简为 D. 中含有三个元素 11. 已知不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是（ ）. A. B. 若不等式的解集为，则 C. 若不等式的解集为，则 D. 若不等式的解集为，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题：“，”的否定是________. 13. 若由，，组成的集合A与由，，组成的集合B相等，则的值为____． 14. 设是自然数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“酷元”.给定，设，且集合有两个元素，且这两个元素都是的“酷元”，那么这样的集合有________个. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合求. 16. 已知关于x的不等式． （1）若不等式的解集为，求实数k的值； （2）若不等式的解集为R，求实数k的取值范围． 17. 为缓解市民吃肉难的问题，某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1000元，猪肉在运输过程中损耗费（单位：元）是汽车速度（单位：千米/时)值的2倍.（说明：运输的总费用=运费+装卸费+损耗费） （1）若运输的总费用不超过1260元，求汽车行驶速度值的范围； （2）若要使运输的总费用最小，汽车应以多少千米的速度行驶？ 18. 已知命题，命题， （1）若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 19. 对在平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“下位点” （1）点是点的“下位点”吗？请简单说明理由． （2）若点是点的“下位点”，试判断，，之间的大小关系． （3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得点是点的“下位点”，且点是点的“下位点”，求正整数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $