辽宁丹东市第十七中学2026-2027学年度九年级上学期数学学科素养评估

2026-2027学年度九年级上学期 数学学科素养评估 2026年10月 答卷时间：120分钟 满分值：120分 第一部分选择题（共30分）▲ 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 一、单选题 1.若关于x的一元二次方程x2+2x-1=0有实数根，则k的取值范围是（▲） A.k≥-1 B.k≥-1且k≠0 C.k>-1 D.k>-1且k≠0 2.根据下列表格的对应值，判断方程2+bx+c=0.05(a≠0，a、b、c为常数)一个解的范围是（▲ 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c 0.06 -0.02 0.03 0.09 A.3<x<3.23 B.3.23<x<3.24 C.3.24<x<3.25 D.3.25<x<3.26 3.若关于x的一元二次方程2+bx+5=0(a≠0)有一个根2026，则方程a(x+2)+b(x+2)=-5, 必有一个根为（▲） A.2020 B.2024 C.2023 D.2022 4.小张学习了四边形内容后，梳理了四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图，如图所示.下 列条件中对应序号填写错误的是（▲） 第4题图 A.①AB平行且等于CD B.②∠ADC=90° C.③AC⊥BD D.⑤AB=AD 5.如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△ABC',以下说法不正确的是（▲） 第1页， A.AB:A'B'=1:2 B.点A,O,三点在同一条直线上 C.CC=1:4 D.BCI B'C' 6.如图，在矩形ABCD中，AC交BD于点O,∠AOB=45°，BE⊥AC,垂足为E,BE=1,则矩形两 条对角线的长度之和是（▲） A.4 B.22 C.4V2 D.43 7.下列各组线段是成比例线段的是（▲） A.1,1,2,3 B.1,2,3,4 C.2,3,4,5 D.2,6,3,9 8.如图，直线I2I,直线AC和DF被l,I2,I3所截，AB=5,BC=6,EF=4,则DE的长为（▲） A. 10 B.3 C.4 D.2 3 A A D B B 第5题图 第6题图 第8题图 第9题图 9.在小孔成像问题中，根据如图所示，蜡烛长20cm,若O到AB的距离是40cm,O到CD的距离是10cm, 则像CD的长是（▲） A.10cm B.5cm C.4cm D.3cm 1O.如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O,H为AB延长线上的一点，且BH=BD,连接DH, 别交4C,BC于点E,P连接BE,则下列结论：①8=片：②加2：⑧E平分∠CBD AH ④2AB2=DE.DH.其中正确结论的个数是（▲） A.1个 B.2个 C.3个 D.4 E 第10题图 H B 共3页 第二部分非选择题（共90分) 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分) 11.若m,n是关于x的方程x2-3x-3=0的两根，则代数式m2+n2-2mm=▲ 12.若点C是线段AB的黄金分割点(BC>AC),AB=8cm,则AC=▲· 13.如图，利用标杆BE测量建筑物的高度.己知标杆BE高1.2m,测得AB=1.6m,BC=12.4m,则建筑 物CD的高是▲一· OA'2 14.如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O, OA=3,△ABC的面积为9，则△4'B'C'面 积为▲· 15如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE.折叠该纸片，使点A落在AE上 的G点，并使折痕经过点B,得到折痕BF,点F在AD上.若DE=5,则GE的长为▲ D E 0 0 B 第13题图 第14题图 第15题图 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16.(8分)计算：(1)3x2-4x+1=0（公式法) (2)(x-3)2=2x(x-3) 17.(7分)已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0. (1)求证：k取任何实数，方程总有实数根： (2)若Rt△ABC的斜边长为4，另两边m,n的长恰好是这个方程的两个根，求k的值. 18.(8分)如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC交边AB于点E,交 边CD于点F,连接AF、CE. D (I)求证：四边形AECF是菱形： (2)连接OB,若AD=8,CF=10,求线段OB的长， B 第2页 19.(7分)银杏又叫公孙树，生长缓慢、寿命极长。丹东的百年银杏见证城市百年变迁，每株古树配 有保护挂牌，园林部门专门做古树根系养护，每年秋季举办银杏文化月，满城金黄，是东北著名的秋日 文旅景观。我校九年级“数学实践小组”赴银杏大道开展研学实践活动，计划运用所学数学知识测量银杏 树的高度。某小组经讨论决定采用镜面反射法进行测量，观测数据见“高度测量报告”. 银杏树高度测量报告 课题 利用镜面反射法测量银杏树高度 测量小组 数学实践小组 光的反射定律（反射角=入射角），借助镜面构造相似三角形（借鉴《海 测量原理 岛算经》的重测法思想) 1.两次观测时，观测者眼睛到地面的高度均为EF=CD=1.5m: 2.第一次观测：观测者站在点F处，将镜子放置于点M处，当观测者眼 睛E从镜中恰好看到柏树顶端A时，测得FM=2.0m; 测量记录 3.第二次观测：观测者沿大树方向向前走4.2m到达点D处（即 FD=4.2m),将镜子放置于点N处，当观测者眼睛C从镜中恰好看到银 杏树顶端A时，测得DN=1.7m: 4.点位说明：点F、M、D、N、B在同一条水平直线上；（镜子的厚 度和大小忽略不计) 测量图示 E 请根据测量报告中的相关数据，求银杏树AB的高度， 共3页 20.(10分)如图，等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE=60° (I)求证：△ABD∽△DCE: (2)若BD=2,CE=,求等边△ABC的边长. 609 D 21. (10分)草莓是丹东的特产之一，请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题， 信息及素材 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改 素材一 进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2024年草莓平均每株产量是 10千克，2026年达到了16.9千克，每年的增长率相同. 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖。 随着草莓产量的提高，部分草莓商铺开始进行打折销售，根据A商铺的市 素材三 场调查显示：若每斤草莓15元，每天可售出200斤；若每斤降低1元，则 可多售出40斤. 48 60 (图1) (图2) (1)依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率： (2)现有长60cm,宽48cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如 图2)，为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为1120cm2的纸盒，计算此时纸盒的高： (3)某天，A商铺以9元每斤的价格购进一批草莓，当草莓每斤降价多少元时，A商铺的日利润能达到1320 元？如果能，请计算出每斤草莓的定价：若不能，请说明理由. 第3页， 22.(12分)(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,求证：AC2=AD·AB. (2)如图②，在矩形ABCD中，AD=2,点F在AB上，FB=3AF,DF⊥AC于点E,求AE的长 (3)如图③，在矩形ABCD中，点E在边BC上，△DCE与△DFE关于直线DE对称，点C的对称点 F在边AB上，G为AD中点，连接GC交DF于点M,GC∥FE,若AD=6,求GM的长. D G M E F 图① 图② 图③ 23.(13分)在平面直角坐标系xOy中，如果一次函数直线1与某个图形G有且只有一个交点，则定义 该函数为图形G的唯美函数”， 例如：如图1，点M(2,2),点N(2,5),一次函数y=x+1与线段MN交于点P(2,3),则该函数是线段MW 的唯美函数”. DY 图1 图2 图3 图4 D迦图2，在矩形ABCD中，点A-3,点C3,D,若一次函数y=+h是矩形ABCD的唯美函数， 则b=: (2)如图3，在菱形ABCD中，点A(-1,-3),点C(6,O),点B在y轴上，一次函数y=c+4k+1是菱形ABCD 的“唯美函数”. ①求点D的坐标： ②求k的值. (3)如图4，点A,C是直线y=-x+1上的两点，点A的横坐标为m,点C的横坐标为m+2;将正方形ABCD 的边AB,BC,CD所组成的图形定义为G(其中点B的横坐标为m),若直线I:y=mx-I是图形G的唯 美函数”，直接与出的取值范围. 共3页■ 九年级数学答题卡 学校： 姓名： 班级： 考号： 注意事项： 1,考生答题前，在规定的地方准确填写 粘贴条码处 学校、班级、考号和姓名 2.选择题作答时，须用2B铅笔填涂，如 需对答案进行修改，用橡皮轻擦干净，注 意不要擦破答题卡 3在答题卷对应题号指定的答题区域内 用2B铅笔这样填涂 ■ 答题，切不可超出黑色边框，超出黑色边 不允许这样填涂 力☒Z☑口·✉ 框的答案无效 4.保持卷面清洁，不要将答题卡折叠， 弄破 第一部分选择题（共30分） 1.[A][B][c][D] 2.[A][B][c][D] 3.[A][B][c][D] 4.[A][B][c][D] 5.[A][B][c][D] 6.[A][B][c][D] 7.[A][B][c][D] 8.[A][B][C][D] 9.[A][B][c][D] 10.[A][B][c][D] 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 12. 13 14. 15. 16. (8分)(1)3x2-4x+1=0(公式法)(2)(x-3)2=2.x(x-3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(7分) 18.(8分) D R C O A E B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(7分) S2 20.(10分) E 1609 B C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22.(12分) D D C G M B B A F B 图① 图② 图③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23. (13分) A DYA ■ 0 图1 图3 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效九年级数学参考答案 选择题： 题号 1 3 4 5 6 8 9 10 题号 B D B D D B D 填空题：11.21 1 .(12=4W⑤)cm 13. 10.5m 14. 4- 15. 13 16.(1)3x2-4x+1=0 (2)(x-3)2=2.x(x-3) a=3,b=4,c=1, (x-3)(x-3-2x)=0 △=b2-4ac=(-42-4×3×1=4 (x-3)(-x-3)=0 x=42 解得5=-3,63=3 6 解：专=16号 171)证明见分析(2)k=23 (1)证明：，△=(k+2)}2-8k=(k-2)2≥0 ∴无论k取任何实数，方程总有实数根： (2)解：，m=2k,m+n=k+2,m+n>4∴.k>2; m2+n2=42即(m+m)2-2m=16, ∴.(k+2)-4k=16,解得：k=23,或k=-25(舍去)： 18.(1)证明：在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点， .AB‖CD,OA=OC, .∴.∠OAE=∠OCF, EF⊥AC交边AB于点E,交边DC于点F, ∴.EF是对角线AC的垂直平分线， ∴.EA=EC,FA=FC,∠AOE=∠COF=90°， 在△AOE和△COF中， [∠AOE=∠COF OA=OC ∠OAE=∠OCF ∴.△AOE≌aCOF(ASA), .∴.EA=FC, ∴.EA=EC=FA=FC, ∴.四边形AECF是菱形： (2)4V5 【分析】(1)依题意得EF是对角线AC的垂直平分线，则EA=EC,FA=FC, ∠AOE=∠COF=90°，进而可证明△AOE≌aCOF(ASA)得EA=FC,由此得 EA=EC=FA=FC,据此可得出结论： (2)由CF=10得AF=CF=I0,在Rt△ADF中，由勾股定理得DF,在Rt△ACD中， 由勾股定理得AC=85,然后由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得出 0B=4AC=4W5. 【详解】(1)略 (2)解：如图连接BD,则O为BD的中点， D F C B ,CF=10, ∴.AF=CF=10, 在矩形ABCD中，AD=8,AB=CD,OB=BD,∠ADF=∠DAB=90°， 2 在Rt△ADF中，由勾股定理得：DF=√AF2-AD2=V102-82=6, ..CD=DF+CF=6+10=16, .AB=CD=16, 在RtAACD中，由勾股定理得：AC=√AD2+CD2=V82+162=8√5， .OA=OC,∠ABC=90°， 0B=4C=4N5. 2 19.大树AB的高度为19.5米 【分析】设NB=x米，则MB=(x+3.9)米.通过ACND∽aANB和△EMF∽△AMB的 性质求得x的值，然后可求得大树的高. 【详解】解：由题意得EF=CD=1.5m,FD=4.2m,FM=2.0m,DN=1.7m, 则 MD=FD-FM=4.2-2.0=2.2m. 设NB=x米，则MB=MD+DN+BN=2.2+1.7+x=(x+3.9)米. 由题意，得∠CND=∠ANB,∠CDN=∠ABN=90°， .△CND∽△ANB, CD DN AB BN 同理，△EMF∽AAMB, EF FM AB BM EF=CD, DN FM BN-BM 即172.0 xx+3.9 解得x=22.1, 经检验x=22.1是原方程的解， 即BN=22.1, CD DN AB BN' .1.5 1.7 AB22.1 解得AB=19.5. 经检验AB=19.5是原方程的解. 答：大树AB的高度为19.5米 20解：(1)证明见分析(2)6 (1)证明：，△ABC是等边三角形， ∴.∠B=∠C=60°， 又，∠ADE=60°， ∴.∠ADB+∠CDE=180°-60°=120°，∠ADB+∠DAB=180°-60°=120°， ∴.∠CDE=∠DAB, .△ABD∽△DCE: (2)设等边△ABC的边长为x, :BD=2,CB=学 ∴.BC=AB=x,DC=x-2, .'△ABD∽△DCE, .DC EC AB BD 2 21 解得：x=6, ∴.等边△ABC的边长为6. 21.(1)草莓产量的年平均增长率为30% (2)纸盒的高为10cm (3)不能：理由： 若设每斤草莓降价m元，则每斤草莓获利(15-m-9)元，每天可售出(200+40m)斤， 根据题意得： (15-m-9)(200+40m)=1320, 整理得：m2-m+3=0, △=(-1)2-4×1×3=-11<0， 此方程无解， ∴.A商铺的日利润不能达到1320元. 【分析】(1)设草莓产量的年平均增长率为x,根据“2023年草莓平均每株产量是 10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率相同”列出方程求解即可 (2)设此时纸盒的高为hcm,根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可； (3)若设每斤草莓降价m元，由题意得每斤草莓获利15-m-9)元，每天可售出 (200+40m)斤，根据日利润为1320元列方程，判断方程是否有解即可. 【详解】(1)解：设草莓产量的年平均增长率为x,由题意得： 10(1+x)}2=16.9, 解得x=0.3=30%,x2=-2.3(舍去)， 答：草莓产量的年平均增长率为30%： (2)解：设此时纸盒的高为hcm, (60-2h)(48-2h)=1120, 解得h=10,h=44(舍去)， 答：此时纸盒的高为l0cm; 22.(1)证明见分析 2)4B=25 (3) 【详解】解：(1)证明：，'∠ACB=90° .∴.∠ACD+∠BCD=90° .CD⊥AB .∴.∠DCB+∠B=90° ..∠B=∠ACD ,∠A=∠A ∴.△CAD∽△BAC :AC、AB AD AC ∴.AC2=AD.AB;…(4分) (2)·FB=3AF ,∴.AB=AF+BF=4AF 在矩形ABCD中，AB‖CD,AB=CD,∠ADC .∴.△AFE∽ACDE AE AF 1 CE CD 4 ∴.CE=4AE .∴.AC=AE+EC=5AE .DF⊥AC,∠CDA=90° .∴.∠ADE+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90° 即：∠ADE=∠DCE GM=3√2-3 ∴.△ADC∽△AED ADAB AC AD ∴.DA2=AEAC .'22=AE 5AE ..AB= 5 ;…(8分) (3)解：在矩形中，∠BCD=∠CDA=∠A=90° ∴.∠ADF+∠CDM=90 ,△DCE与△DFE关于直线DE对称 ∴.△DFE≌ADCE ∴.∠DFE=∠DCE=90°，DC=DF ,GC∥FE ,'.DM⊥GC =90° .∠CDM+∠DCM=90° ,∴.∠ADF=∠DCM ∴.△CDM≌△DFA(AAS) .∴.CM=DA=6 ,G是AD的中点 .DG=GA=3 由(1)可得：△GDCAGMD 4 .'DG=GM.GC 设GM=x,CG=GM+CM=x+6 则32=x(x+6) .x2+6x-9=0 解得：=3V2-3或x=-3W2-3(舍去负根) ∴GM=3√2-3…(12分) 23.a6=2 .9 2@5号》：@k-名-号 3 3)3-1 ≤m<-2或m=-1或1≤m<3+7 2 2 【详解】(1)在矩形ABCD中，点A(-1,3),点C(3,1), .B(-1,1),D(3.3) ©一次函数y=+b是矩形ABCD的唯美函数” 一次函数y=-x+b必过点B或点D, 2 1 当一函数y=2x+6过点B(-,)时， )+b=1,解得：b= 当一函数y=2x+b过点D(3.3)时， +b=3,解得：b=9 2 :b=2或2 1 (2)①如图，连接AC、BD交于点M,设B(O,t), B C 广x四边形ABCD是菱形， A D ∴.MA=MC,MB=MD,AC⊥BD, A(-1,-3),C(6,0), )6引 .B(0,t),MB=MD, .D(5,-3-), AC⊥BD, .AM2+BM2=AB2, 5 j-*明 解得：1=13 ②一次函数y=c+4k+1中，当x=4时，y=1, .一次函数y=+4k+1过点(-4,1)， ,一次函数y=c+4k+1是菱形ABCD的“唯美函数” .一次函数y=+4k+1必过点B或点A, 当一西数y=&+4+1过点0号）时 1=4k+1,解得：k= 6 当一函数y=x+4k+1过点A(-1,-3)时， -k+4k+1=-3,解得：k=-4 k=或行 4 (3):点A,C是直线y=-x+1上的两点，点A的横坐标为m, ∴.A(m,-m+1),C(m+2,-m-1), .B(m,-m-1),D(m+2,-m+1), 1:y=mx-1中，当x=0时，y=-1, .直线1：y=mx-1过点(0，-1)， 直线：y=mx-1是图形G的“唯美函数”， ∴.直线I:y=mx-1与正方形ABCD的边AB,BC,CD只有一个交点， 如图，当m+2<0,即m<-2时， 从图形可以看出当线I:y=mx-1过点B或在A右侧或过线段CD时，直线 1:y=mx-1是图形G的“唯美函数”， 将B(m,-m-1)代入1：y=mx-1得-m-1=m2-1,解得m=-1或m=0(都舍去)， 将C(m+2,-m-1)代入1：y=mx-1得-m-1=m(m+2)-1,解得m=-3或m=0(舍 去)， 点C的横坐标为m+2, 将D(m+2,-m+1)代入1：y=mx-1得-m-1=m2-1,解得m=3-7或 2 -3+V17 m= (舍去)， 2 :-3-17 <-2 2 6 如图，当m<0且m+2>0,即-2<m<0时， 从图形可以看出当线：y=mx-l过点B或过点C或在线段AD之间时，直线 1:y=mx-1是图形G的“唯美函数”， 将B(m,-m-1)代入1：y=x-1得-m-1=m2-1,解得m=-1或m=0(舍去)， 将C(m+2,-m-1)代入1：y=mx-1得-m-1=m(m+2)-1,解得m=-3或m=0(都 舍去)， 将D(m+2,-m+)代入1：y=mx-1得-m-1=m2-1,解得m=3-匝或 m=-3+V17 (都舍去)， 2 将A(m,-m+1)代入1：y=mx-1得-m+1=m2-1,解得m=-2或m=1(都舍去)， ∴.m=-1: 如图，当m>0时， 从图形可以看出当线：y=mx-1过点B或在线段AD之间时，直线：y=mx-1是 图形G的唯美函数”， 将B(m,-m-1)代入1：y=mx-1得-m-1=m2-1,解得m=-1或m=0(都舍去)， 将D(m+2,-m+)代入1：y=mx-1得-m-1=m2-1,解得m=37 2 (舍去)或 m=-3+7 2 将A(m,-m+)代入：y=mx-1得-m+1=m2-1,解得m=-2（舍去)或m=1, Ism<3 2 综上所述，m的取值范国是3，万≤m5-3或m=-1或1≤m<3+回 2 2 【点睛】本题考查一次函数的应用，“唯美函数”的定义，菱形及正方形的性质等知 识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题.