精品解析：辽宁省丹东市元宝区丹东市第十七中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级上学期第一次月考 数学试卷 答卷时间：100分钟 满分值：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图，画出从正面看所得到的图形即可． 【详解】解：根据题意，从正面看所得到的图形为B． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型． 2. 我国自主研发的口径球面射电望远镜（）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为用科学记数法表示数据为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数； 【详解】解：， 故选：D 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，包括幂的乘方、合并同类项、积的乘方和平方差公式．根据同底数幂乘法、合并同类项，单项式的乘法运算，积的乘方，平方差公式逐一计算各选项的正确性即可． 【详解】A．，故选项A计算错误，不合题意； B．与是不同类项，无法合并为，故选项B计算错误，不合题意； C．，选项运算正确，符合题意； D．，故选项D计算错误，不合题意； 故选C． 4. 第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，奥运会图标在视觉设计上主要融入三个方面的内容——对称设计、项目场地的抽象表达以及项目的代表性元素，下列四个图标中是中心对称图形的是（ ） A. 击剑 B. 田径 C. 马术 D. 赛艇 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的概念，根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，逐一判断即可得到答案，熟练掌握中心对称图形的概念并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、图形是中心对称图形，故本选项符合题意； C、图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意 ； 故选：B． 5. 如图，平行线，被直线所截，平分，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据角平分线的性质可得∠GFD＝，再由平行线的性质可得∠EGF＝∠GFD＝． 【详解】解：∵∠EFD＝，且FG平分∠EFD ∴∠GFD＝∠EFD＝ ∵AB∥CD ∴∠EGF＝∠GFD＝ 故选A 【点睛】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 6. 某校健美操队共有10名队员，统计队员的年龄情况，结果如下：13岁3人，14岁5人，15岁2人该健美操队队员的平均年龄为（　　） A. 14.2岁 B. 14.1岁 C. 13.9岁 D. 13.7岁 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数的求法可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： （岁）； 故选C． 【点睛】本题主要考查平均数，熟练掌握求一组数据的平均数是解题的关键． 7. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的倍，故三月份销量为，据此列方程即可． 【详解】设每月增长率为x，则二月份销量为，三月份销量为二月份的倍，即． 根据题意，三月份销量为辆，可得方程为：． 故选B． 8. 如图，，交于点，若，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题关键．根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：， ，，， ，故D选项正确； ， ，，，故A、C选项正确， ，故B选项结论错误， 故选：B． 9. 如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得，则由三角形内角和定理和等边对等角得到，，由大角对大边得到，再由可得． 【详解】解：由作图方法可得，故A结论正确，不符合题意； ∴，，故B、C结论都正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 10. 如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接BE，BD，则△BCD是等边三角形，则求出BE的长度，由折叠的性质和勾股定理，即可求出EF的长度． 【详解】解：如图，连接BE，BD， ∵AB=4=BC=CD，∠A=60°=∠C， ∴△BCD是等边三角形， ∵E是CD中点 ∴DE=2=CE，BE⊥CD，∠EBC=30°， ∴BE=CE=2， ∵CD∥AB， ∴∠ABE=∠CEB=90°， 由折叠可得AF=EF， ∵EF2=BE2+BF2， ∴EF2=12+（4-EF）2， ∴EF=． 故选：A． 【点睛】本题考查了折叠问题，菱形的性质，勾股定理，关键是添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：__________． 【答案】a（a+1）2 【解析】 【分析】先提取公因式a，再对余下的项利用完全平方公式继续分解因式．完全平方公式：a±2ab+b=（a±b） 【详解】：a3+2a2+a， =a（a2+2a+1）， =a（a+1）2． 【点睛】此题考查提公因式法与公式法的综合运用，掌握运算法则是解题关键 12. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． 利用分式的基本性质得出，然后求比值即可． 【详解】解：由得，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在平行四边形中，点在的延长线上，，、交于点．，则的长为__． 【答案】4 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得出，，再结合已知可得，，然后再证明，根据相似三角形的性质得出，进行计算即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 14. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且． ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 15. 如图，在中，，，点在直线上，，过点作交直线于点，连接，点是线段的中点，连接，则的长为______ ． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况当在延长线上和当在上讨论，画出图形，连接，过点作于，利用勾股定理解题即可 【详解】解：当在线段上时，连接，过点作于， 当在线段上时， ， ， ， ， 点是线段的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当在延长线上时，则， 是线段的中点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程：． （2）先化简，再求值：，其中a的值是方程的一个根． 【答案】（1），；（2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，分式的化简求值． （1）先移项，再根据因式分解法解方程即可； （2）先化简原分式，再求出的两根，将符合要求的根代入化简结果计算即可． 【详解】（1）解： 即或 解得：， （2）解： 即或 解得（舍去）， ∴原式 17. 某中学组织七年级全体师生开展红色教育活动，活动需要租车，某旅游公司有A，B两种客车可供租用．若租用2辆A型客车和3辆B型客车共需租金6000元；若租用1辆A型客车和2辆B型客车共需租金3500元． （1）求每辆A型，B型客车的租金各是多少元？ （2）该学校根据实际情况，计划租用A型，B型两种客车共7辆，在保证总租金不超过9000元的前提下，求A型车最多能租用多少辆？ 【答案】（1）每辆A型客车的租金是元，每辆B型客车的租金是元． （2）A型客车最多能租用4辆． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，通过审题从题目中找到合适的数量关系是解题关键． （1）通过两种不同的租车组合方式列方程组求解即可． （2）设租用m辆A型客车，则租用辆B型客车，再根据租金的不等关系列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每辆A型客车的租金是x元，每辆B型客车的租金是y元． 根据题意可列方程组， 解得， 答：每辆A型客车的租金是元，每辆B型客车的租金是元． 【小问2详解】 设租用m辆A型客车，则租用辆B型客车， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为4， 答：A型客车最多能租用4辆． 18. 国家航天局消息：神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功，某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图： （1）此次调查中接受调查的人数为______人，扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为______； （2）补全条形统计图； （3）该校九年一班非常关注的学生有A、B、C、D四人，随机选取两人去参加学校即将举办的航天知识竞赛，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到A、B两位同学的概率． 【答案】（1）50， （2） 补全条形统计图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查了树状图求概率及条形统计图和扇形统计图等知识． （1）由“关注”的人数除以所占百分比得出此次调查中接受调查的人数；用关注的人数所占百分比乘以即可得到“关注”对应扇形的圆心角的度数； （2）求出“非常关注”的人数，补全条形统计图即可； （3）列出表格，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A、B两位同学的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， ， 故答案为：50；； 【小问2详解】 解：“非常关注”的人数为：（人）， 【小问3详解】 解：如表所示： A B C D A B C D 共有12种等可能结果，其中抽到A、B两位的结果有2种：，， ． 19. 如图，在四边形中，，E是的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点E作于点F，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，E是的中点， ∴， 又∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质和菱形的判定解答即可； （2）根据菱形的性质和面积解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点A作于点G， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∵， ∴． 【点睛】此题考查菱形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是根据菱形的性质和判定解答． 20. 暑假期间某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加2元，每天的销售数量将减少20件．（销售利润销售总额进货成本） （1）若该纪念品的销售单价涨价8元时，则当天销售量为______件． （2）当该纪念品的销售单价为多少元时（只考虑涨价），该产品的当天销售利润是2610元？ 【答案】（1）200 （2）59元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出方程和算式求解是解题的关键． （1）用280减去因为涨价8元减少的销售量即可得到答案； （2）设该纪念品的销售单价涨价x元时，该产品的当天销售利润是2610元，则每件的销售利润为元，销售量为件，根据总利润等于每件的利润乘以销售量建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，该纪念品的销售单价涨价8元时，则当天销售量为件； 【小问2详解】 解：设该纪念品的销售单价涨价x元时，该产品的当天销售利润是2610元， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， 答：当该纪念品的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元． 21. 如图，直线与轴，轴分别交于点，，点的坐标为，点的坐标为，点是线段上的一个动点． （1）求的值； （2）求点在运动过程中的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）求面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3）最大值为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，利用点在直线上得出点的坐标，利用三角形的面积公式是求函数关系式的关键． （1）将点坐标代入解析式可求的值； （2）由点在直线上可得点坐标，由三角形面积公式可求与的函数关系式； （3）根据（2）中解析式，点的横坐标取值范围即可求面积的最大值． 【小问1详解】 解：直线过点， ， ； 【小问2详解】 解：∵点的坐标为， ∴， 点在直线上， 点， ， ， 点在线段上的一个动点， ； 【小问3详解】 解：点是线段上的一个动点，，且， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为． 22. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】 （1）若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点的坐标为___________． 【尝试应用】 （2）若关于的一元二次方程为 ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的衍生点的坐标； ②由①得到的所有衍生点都在同一条直线上，则直接写出直线解析式为． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 观察下列式子：解： ∵ ∴ ∴的最小值是4 请用上述例题方法解题：在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值； 【拓展提高】 （3）是否存在，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，若有，请直接写出的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①∵这个方程根的判别式为， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ， 因式分解，得， 解得（满足）， ∴该方程的衍生点的坐标为． ②；③7；（3）存在，， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、一次函数、二次函数等知识，正确理解一元二次方程的衍生点的定义是解题关键． （1）利用因式分解法求出方程的解，再根据一元二次方程的衍生点的定义即可得； （2）①利用一元二次方程根的判别式即可得证；再利用因式分解法求出方程的解，由此即可得； ②根据这个一元二次方程的衍生点的坐标即可得； ③先求出，再根据可得，由此即可得； （3）先求出直线的图象经过定点，则可得关于的方程的两个根为，再代入计算即可得． 【详解】解：（1）， 因式分解，得， 解得（满足）， 则这个方程的衍生点的坐标为， 故答案为：． （2）① 略 ②∵该方程的衍生点的坐标为， ∴所有衍生点都在同一条直线上，这条直线的解析式为， 故答案为：． ③∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为7． （3）将代入直线得：， ∴直线的图象经过定点， 要使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上， 则关于的方程的两个根为， ∴， ∴，， 故存在，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，此时，． 23. 在四边形中，点在的延长线上，且，点为直线上一点，连接．作交直线于点． （1）连接，当四边形为正方形时； ①如图1，当点为中点时，证明：． ②如图2，当点在线段上，且不为中点时，试探究线段，三者之间的数量关系，并证明你的结论． （2）如图3，当四边形为矩形，点在的延长线上时，请先补全图形，试探究线段三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）①证明：如图1，连接， 在中，，， ∴，， ，， ， 记与的交点为， ∵四边形是正方形， ， ，， ， ， 在和中，， ∴， ； ②解：； 理由：如图2，过点作， 由（1）知，， ，，， 同（1）的方法得出，， 在和中，， ， ， ； （2）或，证明如下： Ⅰ、点在的延长线上时，补全图形如图3所示， ； 理由：过点作交延长线于， 同（2）的方法得出，，，， 在和中，， ， ， ， ， 即：； Ⅱ、点在或延长线上时，补全图形如图④所示， ； 理由：过点作， 同（2）的方法得出，， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）先判断出，，进而得出，即可得出结论； （2）构造全等三角形，同（1）的方法判断出，，再出出最后用等量代换即可； （3）由题意可分点在的延长线上时，点在或的延长线上时．同（1）（2）的方法判断出，，再出最后用等量代换即可． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 略 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期第一次月考 数学试卷 答卷时间：100分钟 满分值：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 我国自主研发的口径球面射电望远镜（）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为用科学记数法表示数据为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，奥运会图标在视觉设计上主要融入三个方面的内容——对称设计、项目场地的抽象表达以及项目的代表性元素，下列四个图标中是中心对称图形的是（ ） A. 击剑 B. 田径 C. 马术 D. 赛艇 5. 如图，平行线，被直线所截，平分，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 某校健美操队共有10名队员，统计队员的年龄情况，结果如下：13岁3人，14岁5人，15岁2人该健美操队队员的平均年龄为（　　） A. 14.2岁 B. 14.1岁 C. 13.9岁 D. 13.7岁 7. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，交于点，若，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：__________． 12. 若，则______． 13. 如图，在平行四边形中，点在的延长线上，，、交于点．，则的长为__． 14. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 15. 如图，在中，，，点在直线上，，过点作交直线于点，连接，点是线段的中点，连接，则的长为______ ． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程：． （2）先化简，再求值：，其中a的值是方程的一个根． 17. 某中学组织七年级全体师生开展红色教育活动，活动需要租车，某旅游公司有A，B两种客车可供租用．若租用2辆A型客车和3辆B型客车共需租金6000元；若租用1辆A型客车和2辆B型客车共需租金3500元． （1）求每辆A型，B型客车的租金各是多少元？ （2）该学校根据实际情况，计划租用A型，B型两种客车共7辆，在保证总租金不超过9000元的前提下，求A型车最多能租用多少辆？ 18. 国家航天局消息：神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功，某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图： （1）此次调查中接受调查的人数为______人，扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为______； （2）补全条形统计图； （3）该校九年一班非常关注的学生有A、B、C、D四人，随机选取两人去参加学校即将举办的航天知识竞赛，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到A、B两位同学的概率． 19. 如图，在四边形中，，E是的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点E作于点F，若，，求的长． 20. 暑假期间某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加2元，每天的销售数量将减少20件．（销售利润销售总额进货成本） （1）若该纪念品的销售单价涨价8元时，则当天销售量为______件． （2）当该纪念品的销售单价为多少元时（只考虑涨价），该产品的当天销售利润是2610元？ 21. 如图，直线与轴，轴分别交于点，，点的坐标为，点的坐标为，点是线段上的一个动点． （1）求的值； （2）求点在运动过程中的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）求面积的最大值． 22. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】 （1）若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点的坐标为___________． 【尝试应用】 （2）若关于的一元二次方程为 ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的衍生点的坐标； ②由①得到的所有衍生点都在同一条直线上，则直接写出直线解析式为． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 观察下列式子：解： ∵ ∴ ∴的最小值是4 请用上述例题方法解题：在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值； 【拓展提高】 （3）是否存在，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，若有，请直接写出的值；若没有，请说明理由． 23. 在四边形中，点在的延长线上，且，点为直线上一点，连接．作交直线于点． （1）连接，当四边形为正方形时； ①如图1，当点为中点时，证明：． ②如图2，当点在线段上，且不为中点时，试探究线段，三者之间的数量关系，并证明你的结论． （2）如图3，当四边形为矩形，点在的延长线上时，请先补全图形，试探究线段三者之间的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $