4.2 一元一次方程及其解法（分层作业17题）-2026-2027学年苏科版七年级上册数学

2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 4.2 一元一次方程及其解法（分层作业17题） 一、选择题 1．下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．马小哈在计算一道有理数运算时，一不小心将墨水泼在作业本上了，其中“”是被墨水污染看不清的一个数，他便问同桌，同桌故弄玄虚地说：“该题计算的结果等于6”，那么被墨水遮住的数是（     ） A．3 B．或9 C．9 D．3或 3．已知是一元一次方程的解，则的值为（   ） A．4 B． C．8 D． 4．若m，n为整数，且，则可能的结果有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 5．下列解方程的变形过程正确的是（     ）． A．由移项得 B．由移项得 C．由去分母得 D．由去括号得 6．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．以为解的一元一次方程可为______（写一个即可）． 8．定义：若两个一元一次方程的解之和为3，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”：__________． 9．当x取任意一个有理数时，等式都成立，则的值为________． 10．对于、定义新运算：，比如，如果，那么 _____． 11．如图，在数轴上有A、B两点，所表示的数分别为，6，点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度也向右运动．设运动时间为t秒，当P、Q两点相距2个单位长度时，t的值为_________秒． 12．小琪在解关于的一元一次方程的去分母环节时，错误地得到了方程，因而求得的解是，则原方程实际的解为________． 三、解答题 13．解方程： （1）； （2）． 14．已知（为常数），（为常数），且代数式． （1）若，，化简代数式； （2）当是关于的一元一次方程时，求代数式的值． 15．如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“和解方程”．例如：方程和为“和解方程”． （1）请判断方程与方程是否为“和解方程”，请说明理由； （2）若关于的方程与方程是“和解方程”，求的值． 16．在工厂和生产场所中，安防巡检机器人可以定期巡视设备和生产线，监测设备运行状态、温度和振动等参数，及时发现异常并预防事故发生．某天晚上一台巡检机器人在一条生产线上巡检了7次，为方便记录，规定向右为正，向左为负，巡检记录如下：3，，8，，7，▲，（单位：米）．已知机器人第七次巡检结束时刚好回到起点． （1）第五次结束时机器人的位置在起点的左边还是右边？距离起点多远？ （2）路程记录中的数据“▲”是多少？ （3）该机器人这天晚上一共行驶了多少米？ 17．【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是________________________________________，当时，则________； （2）当，则的值为________； （3）当________时，的值最小，最小值为________； 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 4.2 一元一次方程及其解法（分层作业17题） 一、选择题 1．下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、中未知数次数为2，不是一元一次方程，不符合题意； B、中有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； C、是一元一次方程，符合题意； D、中未知数为分母，不是整式，不是一元一次方程，不符合题意． 2．马小哈在计算一道有理数运算时，一不小心将墨水泼在作业本上了，其中“”是被墨水污染看不清的一个数，他便问同桌，同桌故弄玄虚地说：“该题计算的结果等于6”，那么被墨水遮住的数是（     ） A．3 B．或9 C．9 D．3或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，设被墨水遮住的数为，已知，根据绝对值的性质进行求解即可． 【详解】解：设被墨水遮住的数为，则， ∴或， 解得或． 3．已知是一元一次方程的解，则的值为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值，理解方程的解满足方程是解答的关键． 将代入方程得到，再提取公因式2即可求解 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 4．若m，n为整数，且，则可能的结果有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】因为，为整数，所以和都是非负整数，结合两个绝对值的和为1，分两种情况讨论计算即可． 【详解】解：，且，为整数， 和都是非负整数， 分两种情况讨论： ①当，时， 可得，， 即或， 此时，或； ②当，时， 可得， 即或，， 此时，或； 综上，的值为或． 则可能的结果有2种． 5．下列解方程的变形过程正确的是（     ）． A．由移项得 B．由移项得 C．由去分母得 D．由去括号得 【答案】D 【分析】根据一元一次方程变形中的移项、去分母、去括号法则判断即可． 【详解】解：A、由，移项得，原变形错误； B、由，移项得，原变形错误； C、由，去分母时两边同乘10，得，原变形错误； D、由，去括号得，原变形正确． 6．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用换元思路，通过变形第一个方程，使两个方程结构一致，得到与的对应关系，结合已知的解即可求出的值． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为 将方程变形，把改写为，把改写为， 代入原方程得 两边同时加，得 对比关于的方程， 可得 ∵ ∴． 二、填空题 7．以为解的一元一次方程可为______（写一个即可）． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题考查一元一次方程的定义，一元一次方程只含有一个未知数，且未知数的次数为1，一次项系数不为0，只需构造满足解为的一元一次方程即可． 【详解】解：符合要求的一元一次方程可为（答案不唯一）． 8．定义：若两个一元一次方程的解之和为3，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”：__________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】先求解已知方程，再根据“方程”的定义得到所求方程的解，即可构造出符合要求的方程． 【详解】解：解方程得， 互为“方程”的两个一元一次方程的解之和为， 方程的“方程”的解为， 满足条件的一个“方程”为（答案不唯一）． 9．当x取任意一个有理数时，等式都成立，则的值为________． 【答案】/ 【分析】首先解方程得到，然后根据题意得到，，求出a，b后代入求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 根据题意得，， ∴， ∴． 10．对于、定义新运算：，比如，如果，那么 _____． 【答案】1 【分析】根据新的运算法则“”，将代入得一个关于x的方程，求解 x的值即可． 【详解】解：根据新运算可得 即如果，那么． 11．如图，在数轴上有A、B两点，所表示的数分别为，6，点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度也向右运动．设运动时间为t秒，当P、Q两点相距2个单位长度时，t的值为_________秒． 【答案】3或5 【分析】数轴上的点向右移动多少个单位长度，表示的数就加多少；数轴上两点之间的距离等于位置之差的绝对值． 【详解】解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或， 当P、Q两点相距2个单位长度时，t的值为3或5秒． 12．小琪在解关于的一元一次方程的去分母环节时，错误地得到了方程，因而求得的解是，则原方程实际的解为________． 【答案】 【分析】将错误求得的解代入错误方程，先求出参数的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：由题意得，将代入错误的方程得，， ， 整理得， 解得， 将代入原方程得，， ， ， ， 解得． 三、解答题 13．解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【详解】（1）解： （2）解： 14．已知（为常数），（为常数），且代数式． （1）若，，化简代数式； （2）当是关于的一元一次方程时，求代数式的值． 【答案】（1）； （2）． 【分析】本题综合考查了代数式求值及解一元一次方程，掌握整式的混合运算法则是关键． （1）先化简代数式，再把，代入即可； （2）依据一元一次方程的定义求出，的值，再根据化简后的一元一次方程求出的值，最后将，，的值一并代入的表达式求值．． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ， ， ， ∴． 把，代入中，得： ， ， ， ∴； （2）∵是关于的一元一次方程时， ∴且，解得，， ∴整理得， ∴． ∵将，，代入（1）中， ∴， ， ， ， ∴． 15．如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“和解方程”．例如：方程和为“和解方程”． （1）请判断方程与方程是否为“和解方程”，请说明理由； （2）若关于的方程与方程是“和解方程”，求的值． 【答案】（1）这两个方程不是“和解方程”；理由如下： 解第一个方程， ， ， 解第二个方程， ， 解得：， ， 这两个方程不是“和解方程”． （2） 【分析】（1）分别解出这两个方程的解，看它们的和是否为，即可得到答案； （2）先求出第一个方程的解，再解第二个关于的方程的解，把两个解相加让结果为，再解关于的方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：解第一个方程：， ， 解得：， 解第二个方程， ， ， 解得， 关于的方程与方程是“和解方程”， ， ． 16．在工厂和生产场所中，安防巡检机器人可以定期巡视设备和生产线，监测设备运行状态、温度和振动等参数，及时发现异常并预防事故发生．某天晚上一台巡检机器人在一条生产线上巡检了7次，为方便记录，规定向右为正，向左为负，巡检记录如下：3，，8，，7，▲，（单位：米）．已知机器人第七次巡检结束时刚好回到起点． （1）第五次结束时机器人的位置在起点的左边还是右边？距离起点多远？ （2）路程记录中的数据“▲”是多少？ （3）该机器人这天晚上一共行驶了多少米？ 【答案】（1）在起点的右边，距离起点米 （2）路程记录中的“▲”是 （3）该机器人这天晚上一共行驶了米 【分析】（1）计算前五次记录数据的代数和，根据结果的正负判断方向，结果的绝对值为到起点的距离； （2）根据七次巡检结束后回到起点，即七次记录数据的代数和为，计算可得▲的值； （3）总行驶路程为所有路程记录的绝对值之和，代入数值计算即可． 【详解】（1）解：计算前五次记录数据的代数和：（米） ∵规定向右为正，结果为正 ∴第五次结束时机器人在起点右边，距离起点米； （2）设▲表示的数为 ∵第七次巡检结束时刚好回到起点 ∴七次记录数据的代数和为 解得 即路程记录中的“▲”是； （3）解：总路程为各次路程的绝对值之和：（米） 答：该机器人这天晚上一共行驶了米． 17．【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是________________________________________，当时，则________； （2）当，则的值为________； （3）当________时，的值最小，最小值为________； 【答案】（1）数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离；或． （2）或． （3）；． 【分析】（1）把写成，按两点间距离的定义说明几何意义；再由绝对值的意义，把化为与两个一元一次方程求； （2）先求表示与的两点间的距离为，再按表示的点在这两点之间、在的右边、在的左边分类，去掉绝对值后解一元一次方程； （3）把原式看作数轴上表示的点到表示、、的三点的距离之和，先由“两点之间距离和最小”把前两段合成一个定值，再由的非负性求最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离． ∵， ∴或， ∴或． （2）解：数轴上表示与的两点之间的距离为． 当表示的点在这两点之间（包括这两个点）时，，不满足题意； 当时，， ∴，解得； 当时，， ∴， 解得． ∴的值为或． （3）解：表示点到表示与的两点的距离之和． ∵表示与的两点之间的距离为， ∴当点在这两点之间（包括这两个点）时，； 当点在的左边时，它到表示的点的距离已经大于，当它在的右边时同理，故此时大于． 又表示点到表示的点的距离，它不小于，当点与表示的点重合（即）时等于， ∴原式的值不小于． 当时，， ∴当时，原式的值最小，最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $