精品解析：辽宁辽阳市第十一中学2026-2027学年九年级上学期10月限时练习数学

26-27（上）九年级数学 九年级上学期月限时练习 数学学科 全卷满分为120分，时间为120分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个维度逐一判断各选项． 【详解】解：选项A：中未知数最高次数为1，不符合题意； 选项B：不是整式方程，且含有两个未知数和，不符合题意； 选项C：是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2，符合题意； 选项D：中未知数最高次数为3，不符合题意； 故答案为C． 2. 下列说法中，错误的是（ ）． A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 B. 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 C. 顺次连接对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形是菱形 D. 有一组邻边相等的平行四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定与性质，以及中点四边形的性质，逐个判断选项即可． 【详解】解：A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形，说法正确； B. 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，说法正确； C. 顺次连接对角线相等的四边形各边的中点，根据三角形中位线定理，所得四边形每条边都相等，因此所得的四边形是菱形，说法正确； D. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不是正方形，说法错误． 3. 多项式的最小值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用完全平方公式求最值，通过完全平方公式将多项式配方，再利用非负性求最小值即可． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴当, 时，多项式取最小值 3， 故选C． 4. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理；解题的关键是由折叠性质得，结合平行线内错角相等推出，从而，设，在中用勾股定理列方程求解． 【详解】解：矩形沿折叠，点落在点处， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 5. 某种短视频播放量，第一天万次，连续两天增长，这三天总播放量一共万次，设每天增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：第一天播放量为万，第二天播放量为万，第三天播放量为万． ∵三天总播放量为万， ∴可列方程． 6. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 7. 如图，在中，，点是边的中点，以点为圆心，的长为半径画弧，与线段相交于另一点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，由，点是边的中点，得到，从而得到， 由题意可知，，得到，再根据三角形内角和定理得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，点是边的中点， ∴， ∴， 由题意可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 8. 新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共90张，设小组有人，列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该小组共有x人，则每人赠送张贺卡，与全组共送贺卡90张，据此列出关于x的一元二次方程即可解答． 【详解】解：设该小组共有x人，则每人赠送张贺卡， 依题意得：． 故选A． 9. 如图，在正方形中，若，则①；②；③平分，平分；④．正确结论有( )个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】利用旋转变换构造全等三角形，结合正方形性质和勾股定理逐一判断四个结论，将绕点逆时针旋转得到，证明，进而判断①②，对于③，由得，将绕点逆时针旋转得到，连接，证明得到，进而根据勾股定理，即可判断④． 【详解】解：对于①，如图， 将绕点逆时针旋转得到，则，，，， ， ,即三点共线， 在和中， ，故①正确 对于②，，故②正确 对于③，由得，即平分同理可证平分，故③正确 对于④，如图， 将绕点逆时针旋转得到，则，， 在和中， 在中， ，故④正确 综上所述，正确的结论有4个． 10. 如图，菱形的边长是2，，为与点不重合的动点，以为边作菱形，且，连接，则的周长的最小值是（　　） A. 2 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】连接、相交于H，连接，根据菱形的性质和直角 三角形的性质，由勾股定理求得，，再证明，得出，然后由三角形周长和两点之间线段最短得的周长，即可求解． 【详解】解：连接、相交于H，连接，如图， ∵菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长 ∴的周长的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若方程是关于x的一元二次方程，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列出等式和不等式求解即可。 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴，且， 解得， 即或 又由得 ∴． 12. 在四边形中，，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了中点四边形，三角形中位线定理，平行四边形和矩形的定义等知识点，画出图形、利用三角形的中位线推理证明是解题的关键． 连接、、、的中点、、、，根据三角形的中位线定理，得出，，，，求出、的长，推出，，根据平行四边形和矩形的定义证明四边形是矩形，根据矩形的面积，计算得出答案即可． 【详解】解：如图，、、、分别为、、、的中点，连接点、、、， ∴，，，，，（三角形的中位线定理）， ∴，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）， ∴矩形的面积． 故答案为：． 13. 如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，P为线段上的一个动点，过点P分别作轴于点F，轴于点E，连接．则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据题意可得出四边形是矩形，则，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点，的坐标，结合勾股定理，可求出的长，再利用点到直线的距离，垂线段最短，可求出长的最小值，即长的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵过点P分别作轴于点F，轴于点E，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵直线与x轴交于点B，与y轴交于点A， 当时，；当时，，解得：， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 当时，最小，则最小，此时， 的最小值为， 长的最小值为． 14. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据“同伴方程”的定义，两个方程有且只有一个相同的实数根．先求解方程的根，再分析方程 的根，再根据新定义进行求解即可． 【详解】解：， 因式分解得， 解得，； 方程的根为，． 由题意，，得或，得； 故的值为或； 故答案为：或． 15. 已知菱形的边长为，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用菱形性质得到对角线平分内角，结合直角三角形中角的性质将线段变形，再根据垂线段最短求解最小值． 【详解】解：∵ 菱形中， ∴ ，平分，菱形边长为，即， ∴ ， 对上任意动点，过作于点，连接， ∵ 在中，， ∴ ， 即， 因此原式可变形为： 根据垂线段最短，当，，三点共线，且时，取得最小值，最小值为点到直线的距离， 在中，， ∴ ， ∴ 的最小值为． 三、解答题（共8个小题，共75分） 16. 选择适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）用直接开平方法解一元二次方程； （2）用因式分解法解一元二次方程； （3）用公式法解一元二次方程； （4）用因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， 方程两边同时除以得：， 方程两边同时开平方得：， 当时， 可得：， 当时， 可得：， 方程的解为，； 【小问2详解】 解：， 分解因式得：， 可得：或， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 方程的解为，； 【小问3详解】 解：， 整理得：， 其中，，， ， ， 方程的解为，； 【小问4详解】 解：， 移项得：， 提公因式得：， 可得：或， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 方程的解为，． 17. 如图，在平行四边形中，于，于，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）四边形是平行四边形，则，证明，所以，然后通过菱形的判定方法即可求证； （）连接交于，由菱形的性质可得，，，由勾股定理求得，所以，然后通过菱形面积公式即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵于，于， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：连接交于，如图所示， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 18. 已知关于的方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根，是一个矩形两邻边的长， 且矩形的对角线长为，求的值． 【答案】（1）证明：在方程中， ，，， ∴ ． ∵， ∴，即， ∴该方程总有两个实数根． （2）的值为． 【解析】 【分析】（1）由根的判别式得，即可得证； （2）由勾股定理得，由根与系数关系得，，即可求解． 【小问1详解】 证明略． 【小问2详解】 解：，是一个矩形两邻边的长， ， ， 由根与系数关系得，， ，， 解得，（舍去），， 故的值为． 19. 如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的周长． 【答案】（1）证明：∵点E是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 点D为等腰的底边的中点， ，即， 四边形是矩形 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据对角线互相平分证明为平行四边形，再由三线合一得到，即可证明为矩形； （2）先证明是等边三角形，然后利用勾股定理求解，即可求解周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等腰三角形，，， 是等边三角形， ， 点D是的中点， ， ， ， 矩形的周长． 20. 为落实新课程教学要求，提高学生科学素养，我市某中学2023年投资20万元新增一批电脑，计划以后两年以相同的增长率进行投资，2025年投资万元． （1）求该学校为新增电脑投资的年平均增长率； （2）从2023年到2025年，该学校三年为新增电脑共投资多少万元？ 【答案】（1） （2）万元 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． （1）设年平均增长率为，根据投资金额列出方程求解即可； （2）根据增长率求出2024年的投资金额，然后求出总和即可． 【小问1详解】 解：设年平均增长率为，根据题意得， ， 解得（不合题意，舍去）， ∴该学校为新增电脑投资的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：2024年投资为（万元）， （万元）， ∴该学校三年为新增电脑共投资万元． 21. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在两边都足够长的直角墙一角，围成一个矩形菜地作为实践基地，如图所示，为了方便出入，在边开一个宽为的门（建在处，另用其它材料）． （1）若设，则的长为_________ ；（用含x的代数式表示） （2）当矩形菜地的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的矩形菜地？ 【答案】（1） （2）当长和宽分别为10米和8米时，能围成一个面积为的矩形菜地． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，根据清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在边开一个宽为的门，得的长为，即可作答． （2）理解题意，根据围成一个面积为的矩形菜地，进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在边开一个宽为的门，设， ∴， 则的长为； 【小问2详解】 解：由（1）得，则， ∵围成一个面积为的矩形菜地， ∴， 整理得， 解得． 当时，； 当时，； 答：当长和宽分别为10米和8米时，能围成一个面积为的矩形菜地． 22. 某超市“玫瑰香”进价元，单价元时每周销售，每上涨元每周销量减少；物价部门规定单价不超过元，若每周获利元，则销售单价应上涨多少元？每周的销量是多少？ 【答案】销售单价应上涨6元，每周的销量是280kg． 【解析】 【分析】根据总利润=每千克利润×销售量列一元二次方程，结合单价不超过15元的限制取舍解，再计算对应销量． 【详解】解：设销售单价应上涨元．每千克利润为元，每周销量为kg． 由题意得． 整理得． 解得，． ∵单价不超过15元， ∴，即． ∴不符合题意，舍去． ∴．每周销量为（kg）． 答：销售单价应上涨6元，每周的销量是280kg． 23. 如图，在矩形中，，，点P从点A沿边向终点B以的速度移动；同时，点Q从点B沿边向终点C以的速度移动．设移动时间为t秒．解答下列问题： （1）用含t的代数式表示： ， ； （2）当t为何值时，的面积等于8？ （3）是否存在t的值，使得的面积为31？若存在，请求t的值；若不存在，请说明理由． （4）是否存在t的值，使得是以，为腰的等腰三角形？若存在，请求t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）当或时，的面积等于 （3）存在，当或时，的面积等于． （4） 【解析】 【分析】（1）由题知，，； （2）根据的面积等于，列方程求解即可； （3）根据的面积为31，列方程求解即可； （4）根据勾股定理可得，再解方程即可． 【小问1详解】 解：在矩形中，，， ∴，， ∵点P从点A沿边向终点B以的速度移动；同时，点Q从点B沿边向终点C以的速度移动．设移动时间为t秒， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：∵的面积等于，即， ∴， ∴， 解得，， 当或时，的面积等于． 【小问3详解】 解：存在， 的面积为，理由如下： 由（1）得：， ∴ ， ， ∴， ∴， 解得：或， ∴当或时，的面积等于． 【小问4详解】 解：∵矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：， ∵，解得：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 26-27（上）九年级数学 九年级上学期月限时练习 数学学科 全卷满分为120分，时间为120分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中，错误的是（ ）． A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 B. 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 C. 顺次连接对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形是菱形 D. 有一组邻边相等的平行四边形是正方形 3. 多项式的最小值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 2 4. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 5. 某种短视频播放量，第一天万次，连续两天增长，这三天总播放量一共万次，设每天增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，点是边的中点，以点为圆心，的长为半径画弧，与线段相交于另一点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共90张，设小组有人，列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，若，则①；②；③平分，平分；④．正确结论有( )个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，菱形的边长是2，，为与点不重合的动点，以为边作菱形，且，连接，则的周长的最小值是（　　） A. 2 B. 2 C. D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若方程是关于x的一元二次方程，则的值为_________． 12. 在四边形中，，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是______． 13. 如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，P为线段上的一个动点，过点P分别作轴于点F，轴于点E，连接．则的最小值为______． 14. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则的值为_______． 15. 已知菱形的边长为，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是______． 三、解答题（共8个小题，共75分） 16. 选择适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 如图，在平行四边形中，于，于，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求四边形的面积． 18. 已知关于的方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根，是一个矩形两邻边的长， 且矩形的对角线长为，求的值． 19. 如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的周长． 20. 为落实新课程教学要求，提高学生科学素养，我市某中学2023年投资20万元新增一批电脑，计划以后两年以相同的增长率进行投资，2025年投资万元． （1）求该学校为新增电脑投资的年平均增长率； （2）从2023年到2025年，该学校三年为新增电脑共投资多少万元？ 21. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在两边都足够长的直角墙一角，围成一个矩形菜地作为实践基地，如图所示，为了方便出入，在边开一个宽为的门（建在处，另用其它材料）． （1）若设，则的长为_________ ；（用含x的代数式表示） （2）当矩形菜地的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的矩形菜地？ 22. 某超市“玫瑰香”进价元，单价元时每周销售，每上涨元每周销量减少；物价部门规定单价不超过元，若每周获利元，则销售单价应上涨多少元？每周的销量是多少？ 23. 如图，在矩形中，，，点P从点A沿边向终点B以的速度移动；同时，点Q从点B沿边向终点C以的速度移动．设移动时间为t秒．解答下列问题： （1）用含t的代数式表示： ， ； （2）当t为何值时，的面积等于8？ （3）是否存在t的值，使得的面积为31？若存在，请求t的值；若不存在，请说明理由． （4）是否存在t的值，使得是以，为腰的等腰三角形？若存在，请求t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $