四川省德阳第五中学2026-2027学年高二上学期第一次自主检测数学试题

德阳五中高2025级2026年秋期第一次自主检测数学试题 考生须知： 1．本卷共3页满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字； 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；考试结束后，只需上交答题纸. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，不共线，，，，则（ ） A. 与共线 B. 与共线 C. A，B，C，D四点不共面 D. A，B，C，D四点共面 4. 已知，，是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 5. 在三棱柱中，为棱的中点．设，用基底表示向量，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知电路中4个开关每个断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为球球面上的三个点，若，球的表面积为，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ） A. p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B. 该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C. 该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D. 该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，是同一试验中的两个事件，下列说法正确的是（ ） A. 如果，那么与相互对立 B. 若，是互斥事件，则 C. 从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是对立事件 D. 已知事件，发生的概率分别为，且，则事件，相互独立 10. 在我们发布的各类统计数据中，同比和环比都是反映增长速度的核心数据指标．如图是某专业机构统计的2022年1-12月中国校车销量走势图，则下列结论正确的是（ ） A. 8月校车销量的同比增长率与环比增长率都是全年最高 B. 1-12月校车销量的同比增长率的平均数小于环比增长率的平均数 C. 1-12月校车销量的环比增长率的极差大于同比增长率的极差 D. 1-12月校车销量的环比增长率的方差大于同比增长率的方差 11. 如图，在棱长均为2的正四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱，的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 过，，三点的平面截四棱锥，截面是等腰梯形 C. 为棱上动点，则最小值为 D. 三棱锥与四棱锥体积之比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，且，则实数___________． 13. 已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，，若他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为______． 14. 如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，设． （1）若，，求的值． （2）若，求的最小值，及此时实数的值． （3）若，求的取值范围. 16. 近年来，我国超重和肥胖率呈快速上升趋势，儿童和青少年的肥胖问题尤为突出.超重和肥胖与多种慢性疾病密切相关，严重威胁公共健康.青少年时期是培养健康饮食和运动习惯的关键阶段，早期干预能够有效预防肥胖问题.今年“两会”期间，国家卫健委宣布从2025年起实施“体重管理年”三年计划，旨在通过系统性措施改善青少年健康状况，降低肥胖率.体重指数（BMI）=体重（kg）/身高，青少年的BMI理想范围参考值为：男生（15-18岁）：17.5-23.5；女生（15-18岁）：17.5-23.0；某城市对1000名高中生的体重指数（BMI）进行了调查，BMI的分组区间为、、、、、、，调查结果的频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中的值及高中生的平均数及中位数； （2）在BMI为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取10名学生，则BMI在的学生中应抽取多少名？ （3）在（2）条件下，在BMI为和的两组学生中任取2名学生，求这2名学生来自同一组学生的概率. 17. 如图，在长方体中，，点E在棱AB上移动. （1）求证：. （2）当点E为棱AB的中点时，求CE与平面所成角的正弦值. （3）在棱AB上是否存在点M，使平面与平面AMC所成的角为？若存在，求出AM的值；若不存在，请说明理由. 18. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，证明：△ABC是直角三角形． 19. 如图，已知是边长为4的等边三角形，，分别是，的中点，将沿着翻折，使点到点处，得到四棱锥． （1）设平面平面，证明：平面； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点在平面的射影在四边形的内部，四棱锥的体积，设点在线段上运动（不含端点），记直线与平面所成的角为，四棱锥的高为，求的取值范围． 德阳五中高2025级2026年秋期第一次自主检测数学试题 考生须知： 1．本卷共3页满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字； 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；考试结束后，只需上交答题纸. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2）最小值为，此时 （3） 【16题答案】 【答案】（1）；平均数；中位数 （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1） 以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设，， 则，，，，， 所以，则， 所以. （2） （3） 存在，. 【18题答案】 【答案】（1）； （2）因为，所以， 即①， 又②， 将②代入①得，， 即，而，解得， 所以， 故， 即是直角三角形． 【19题答案】 【答案】（1）∵，分别是，的中点， ∴又平面，平面，∴平面， 又∵平面平面，平面，∴， 又∵平面，平面，∴平面． （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $