精品解析：四川成都市教育科学研究院附属中学2026-2027学年高二上学期10月定时训练数学试题

高2025级高二上学期10月定时训练（数学学科） （满分：150分 时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法，抽出一个容量为的样本，样本中型号的产品有16件，那么此样本的容量等于（ ） A. 100 B. 200 C. 90 D. 80 2. 袋中装有质地、大小和形状完全相同的个球，其中有个红色球，个黄色球，个白色球．从袋中不放回地依次随机摸出个球，则下列判断正确的是（ ） A. “摸出的个球颜色不都相同”是必然事件 B. “摸出的个球颜色都不相同”是不可能事件 C. “恰好摸出个红色球”与“恰好摸出个红色球”是对立事件 D. “恰好摸出个红色球”与“恰好摸出个黄色球”是互斥事件 3. 某数据样本的频率分布直方图如下图所示，则该组数据的众数、平均数、中位数的大小关系为（    ） A. 众数<平均数<中位数 B. 众数<中位数<平均数 C. 中位数<平均数<众数 D. 众数=平均数=中位数 4. 在三棱锥中，．，，若点在棱上，且，是中点，是中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨3粒下珠，得到大于20的数的概率是（    ） A. B. C. D. 7. 袋中共有编号为0~9的完全相同的10个小球，甲、乙、丙、丁四名同学分别有放回地各抽取10次，记录抽出小球的编号.甲统计的数据为“平均数为3，中位数为4”，乙统计的数据为“中位数为3，众数为4”，丙统计的数据为“平均数为3，第25百分位数为1”，丁统计的数据为“平均数为2，方差为3”，根据统计数据估计，摸出的10个球的编号一定全部不大于7的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 在三棱锥中，，（），，，，，则实数的取值可能为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是（ ） A. 10月测试成绩为“优秀”的学生人数为40人 B. 9月体育测试中学生的不及格率为18% C. 从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 D. 12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多 10. 在一个有限样本空间中，事件，，发生的概率满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若与相互独立，则 B. 若，则 C. 若与互斥，则 D. 若，与互斥，则 11. 如图，半圆锥的底面直径的长为2，顶点V为矩形的边的中点，母线的长为2，P为半圆弧上任意一点（P不与A，D重合），则下列结论正确的是（ ） A. 该半圆锥的表面积为 B. 三棱锥的四个面都为直角三角形 C. 当直线与平面所成的角为时，异面直线与所成角的余弦值为 D. 当三棱锥的体积最大时，平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，，若与的夹角是钝角，则的取值范围是________． 13. 吉林市一中学有男生900人，女生600人．在“书香校园”活动中，为了解全校学生的读书时间，按性别比例分层随机抽样的方法抽取100名学生，其中男生、女生每天读书时间的平均值分别为60分钟和80分钟，方差分别为10和15．结合上述数据估计该校学生每天读书时间的方差为__________． 14. 学校一班级开展数字闯关小游戏，班长准备了编号为1，2，3，4的四张数字卡片，小张同学有放回地随机抽取3次，每次抽取一张，记前两次抽到数字的平均数为，三次抽到数字的平均数为，则的概率为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． （1）求证：平面； （2）已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值． 16. 在平行六面体中，，，，M为的中点，N为的三等分点且靠近点C．记，，． （1）用，，表示向量，并求的长度； （2）求平面的法向量（用，，表示）． 17. 为了解居民用水情况，相关部门通过抽样，获得了某年100户居民每户的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值并估计该地区月均用水量的60%分位数； （2）现从该地区居民中任选2户居民，将月均用水量落入各组的频率视为概率，不同户居民的月均用水量相互独立，求恰有1户居民月均用水量大于分位数的概率； （3）现有4户居民甲、乙、丙、丁，经调查，甲和乙月均用水量大于分位数，丙和丁月均用水量不大于60%分位数，现从该4户中随机选2户，求所选2户中恰有1户月均用水量大于分位数的概率. 18. 某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战.点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段，双方每轮各派一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面，则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为，乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响. （1）求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率； （2）求经过3轮罚球后，比赛结束的概率； （3）若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以领先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率. 19. 在平行四边形中，，，为上一点，且平分，将沿翻折至． （1）若平面平面． （i）求证：； （ii）设平面，若，求点到平面的距离； （2）试判断锐二面角是否存在最大角，若存在，求出其正弦值，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2025级高二上学期10月定时训练（数学学科） （满分：150分 时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法，抽出一个容量为的样本，样本中型号的产品有16件，那么此样本的容量等于（ ） A. 100 B. 200 C. 90 D. 80 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，得，解得. 2. 袋中装有质地、大小和形状完全相同的个球，其中有个红色球，个黄色球，个白色球．从袋中不放回地依次随机摸出个球，则下列判断正确的是（ ） A. “摸出的个球颜色不都相同”是必然事件 B. “摸出的个球颜色都不相同”是不可能事件 C. “恰好摸出个红色球”与“恰好摸出个红色球”是对立事件 D. “恰好摸出个红色球”与“恰好摸出个黄色球”是互斥事件 【答案】A 【解析】 【详解】选项A，因为个球中有个红色球，个黄色球，个白色球， 从中不放回的依次随机摸出个球，它们不会颜色都相同，所以A正确； 选项B，摸出的个球颜色都不相同，则这三个球为红白黄，这个事件为随机事件， 可能发生，所以B错误； 选项C，摸出的个球颜色可以没有红色球，所以C错误； 选项D，摸出的个球颜色可以是个红色球和个黄色球和个白色球，此时两件事情同时发生，所以D错误. 3. 某数据样本的频率分布直方图如下图所示，则该组数据的众数、平均数、中位数的大小关系为（    ） A. 众数<平均数<中位数 B. 众数<中位数<平均数 C. 中位数<平均数<众数 D. 众数=平均数=中位数 【答案】B 【解析】 【详解】由频率分布直方图可知，样本数据在左侧较集中，右侧尾部较长，分布呈右偏. 在频率分布直方图中，众数是最高矩形底边中点的横坐标，中位数是使左右两侧面积均为0.5的分界点，平均数受右侧较大数据的影响更明显. 因此平均数最大，中位数居中，众数最小，即众数<中位数<平均数. 4. 在三棱锥中，．，，若点在棱上，且，是中点，是中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理，结合图形和条件计算即得. 【详解】如图，因是中点，则， 又因是中点，则， 因点在棱上，且， 则， 故. 5. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以， 所以， 则向量在向量上的投影向量为· 6. 算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨3粒下珠，得到大于20的数的概率是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题有，算盘所表示的数可能有：17，26，8，35，62，71，80，53，其中大于20的数有：26，35，53，62，71，80，故所求事件的概率为. 7. 袋中共有编号为0~9的完全相同的10个小球，甲、乙、丙、丁四名同学分别有放回地各抽取10次，记录抽出小球的编号.甲统计的数据为“平均数为3，中位数为4”，乙统计的数据为“中位数为3，众数为4”，丙统计的数据为“平均数为3，第25百分位数为1”，丁统计的数据为“平均数为2，方差为3”，根据统计数据估计，摸出的10个球的编号一定全部不大于7的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】举出反例可得ABC错误；D选项，假设若有个小球的编号大于7，不妨设为8（因为此时方差最小），推出矛盾，得到D正确. 【详解】“平均数为3，中位数为4”有可能有大于7的编号，例如0，0，1，1，4，4，4，4，4，8； “中位数为3，众数为4”有可能有大于7的编号，例如0，0，1，1，2，4，4，4，5，9； “平均数为3，第25百分位数为1”有可能有大于7的编号，例如0，0，1，1，4，4，4，4，4，8； “平均数为2，方差为3”，由方差公式，得． 若有一个小球的编号大于7，不妨设为8（因为此时方差最小）， 则，与统计数据有矛盾，故D正确． 8. 在三棱锥中，，（），，，，，则实数的取值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意推出平面，结合已知线段长和线面位置关系判断不垂直，从而建立空间直角坐标系，设，结合确定C点坐标，根据建立方程，求出，进而得，利用解不等式求出参数范围，即可确定答案. 【详解】由于，，，故，则， 又，平面，故平面， 若，结合平面，故平面， 平面，故， 作，垂足为E，连接，而平面， 故平面，而平面，故， 又，则， 即， 可得，结合平面，平面，可得, 则H为的中点，由可知H不是的中点，出现矛盾， 故可知不垂直， 故以H为坐标原点，以所在直线为x轴，过点H作的垂线为y轴， 以所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， ，设，由， 得，得，即, 由于，即点到的距离均为， 结合， 得, 即得，， 化简得， 两式相减可得，代入得， 结合，故，即， 解得，结合，可得， 结合选项可知，只有符合题意. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是（ ） A. 10月测试成绩为“优秀”的学生人数为40人 B. 9月体育测试中学生的不及格率为18% C. 从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 D. 12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多 【答案】BCD 【解析】 【详解】总人数人，四次测试总人数不变， 对于A：月优秀占比，优秀人数人人，故A错误； 对于B：月不及格人，不及格率，故B正确； 对于C：折线图中月到月优秀占比依次为，占比逐渐增长，故C正确； 对于D：月较月增长：人，月较月增长：人， ，月增长优秀人数比月多，正确. 10. 在一个有限样本空间中，事件，，发生的概率满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若与相互独立，则 B. 若，则 C. 若与互斥，则 D. 若，与互斥，则 【答案】BD 【解析】 【分析】依次对四个选项进行判断，A利用独立事件概率公式结合加法公式计算；B用概率加法公式先求出，再分别计算两个互斥事件概率相加；C用互斥事件的定义分析；D利用并集概率不等式进行放缩判断. 【详解】对于A，由与相互独立，所以， 所以，故A错误； 对于B，，所以， 所以， 所以，， 由与互斥，所以，故B正确； 对于C，与互斥，则，所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 11. 如图，半圆锥的底面直径的长为2，顶点V为矩形的边的中点，母线的长为2，P为半圆弧上任意一点（P不与A，D重合），则下列结论正确的是（ ） A. 该半圆锥的表面积为 B. 三棱锥的四个面都为直角三角形 C. 当直线与平面所成的角为时，异面直线与所成角的余弦值为 D. 当三棱锥的体积最大时，平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项,半个圆锥的表面积为一个弧面、一个半圆、一个三角形的面积之和；对于B选项，主要运用线面垂直的判定定理从而证明线线垂直然后得出直角三角形；对于C选项，建立空间直角坐标系，求出与的向量坐标，再运用向量的相关计算求出异面直线与所成角的余弦值；对于D选项，先求出P点坐标，再求出三棱锥的外接球的球心，然后求出所得截面的半径从而求出面积. 【详解】对于A选项，因为，所以, 半圆锥的表面积等于圆锥侧面的一半+半圆+， 即，故A选项正确； 对于B选项，取的中点连接，因为为半圆锥的圆心，为半圆锥的顶点， 所以平面，又因点和点分别是，的中点，所以， 所以平面，所以， 所以为直角三角形，三点在圆上且为直径， 所以，且，所以平面， 又平面，故，， 所以为直角三角形， 综上所述三棱锥的四个面都为直角三角形，故B选项正确. 对于C选项，以为x轴，以为y轴，如下图作z轴建立空间直角坐标系， 则，，故， 由题可设，其中， 因为直线与平面所成的角为且面，面， 故面面，且面面，所以P投影在面上点在直线上， 故，所以， 即，且，解得，故， 因此，， 则异面直线与所成角的余弦值为，故C选项错误； 对于D选项， 运用到C选项的空间直角坐标系，除点P坐标未知其余坐标不变， 因为， h为的长，以为底，高为点到的距离，因为三棱锥的体积最大， 所以点到的距离就要最大，所以， 设三棱锥的外接球的球心， 则，解得， 球的半径，，， ，，设面的法向量， 则，令，则，故， 则点M到面的距离为， 故平面截三棱锥的外接球所得截面的半径， 平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为，故D选项正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，，若与的夹角是钝角，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量夹角为钝角的等价条件：且两向量不反向共线，结合坐标运算求解的取值范围 【详解】由题意得：，解得， 又与不共线，所以，所以， 所以. 13. 吉林市一中学有男生900人，女生600人．在“书香校园”活动中，为了解全校学生的读书时间，按性别比例分层随机抽样的方法抽取100名学生，其中男生、女生每天读书时间的平均值分别为60分钟和80分钟，方差分别为10和15．结合上述数据估计该校学生每天读书时间的方差为__________． 【答案】108 【解析】 【分析】先求该校学生每天读书时间的平均值，再代入方差相关计算公式求解. 【详解】设该校男生、女生每天读书时间的平均值分别为，方差分别为，该校全体学生每天读书时间的平均值为，方差为， 学校有男生900人，女生600人，从中抽取100人，则抽样比为， 其中抽取男生（人），抽取女生（人）， 则（分钟）， . 14. 学校一班级开展数字闯关小游戏，班长准备了编号为1，2，3，4的四张数字卡片，小张同学有放回地随机抽取3次，每次抽取一张，记前两次抽到数字的平均数为，三次抽到数字的平均数为，则的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先确定总基本事件数，根据题意列不等式并化简不等式， 分类讨论符合条件的事件数，确定概率. 【详解】有放回抽取3次，每次4种选择，总事件数为， 设三次抽取数字为，则前两次平均数， 三次平均数，代入， 得：， 整理得：，即， 由于是整数，所以为整数， 因此不等式等价于：， ：，共种（按和为讨论）； ：，共种； ：，共种； ：，共种. 符合条件的总事件数为. 因此. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． （1）求证：平面； （2）已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）在三棱柱中，，， ，则. 又四边形是正方形，则，，所以 . 又，平面，因此 平面. 又平面，所以. 在等边中，为中点，则， 又，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理、线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，结合向量法求线面角求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点为，中点为，则 ， . 由（1）知， 平面， 平面，则.又，故. 又 ， 平面，则平面. 即两两垂直. 以为坐标原点，，，的方向为轴､轴､ 轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为为线段中点，所以. ，，. 设平面 的法向量为， 则，即，故可取. 设直线 与平面 所成角为 ， 则 所以直线 与平面 所成角的正弦值为. 16. 在平行六面体中，，，，M为的中点，N为的三等分点且靠近点C．记，，． （1）用，，表示向量，并求的长度； （2）求平面的法向量（用，，表示）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算，利用空间向量的数量积和模长公式计算即可求解； （2）设平面的法向量，根据法向量的定义结合向量数量积的运算性质即可求解. 【小问1详解】 由题意知：， ，； 【小问2详解】 ，，设平面的法向量，， 由，得 ①； 由，得 ②； 令，由①②得，，． 17. 为了解居民用水情况，相关部门通过抽样，获得了某年100户居民每户的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值并估计该地区月均用水量的60%分位数； （2）现从该地区居民中任选2户居民，将月均用水量落入各组的频率视为概率，不同户居民的月均用水量相互独立，求恰有1户居民月均用水量大于分位数的概率； （3）现有4户居民甲、乙、丙、丁，经调查，甲和乙月均用水量大于分位数，丙和丁月均用水量不大于60%分位数，现从该4户中随机选2户，求所选2户中恰有1户月均用水量大于分位数的概率. 【答案】（1），2.25吨 （2）0.48. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用各小矩形面积和为1求出，再利用分位数的意义列式求解. （2）利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求解. （3）利用列举法求出古典概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得，因此； 数据落在区间的频率为， 数据落在区间的频率为，则用水量吨数的分位数， 由，解得， 所以估计该地区月均用水量的分位数为2.25吨. 【小问2详解】 设事件表示第i户居民月均用水量大于分位数，则， 事件B表示恰有1户居民月均用水量大于分位数，， 因此， 所以恰有1户居民月均用水量大于分位数的概率为0.48. 【小问3详解】 试验的样本空间(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙),(乙,丁),(丙,丁)，共6个样本点， 事件M表示所选2户中恰有1户月均用水量大于分位数， 则(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙),(乙,丁)，共4个样本点，则， 所以所选2户中恰有1户月均用水量大于分位数的概率为. 18. 某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战.点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段，双方每轮各派一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面，则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为，乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响. （1）求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率； （2）求经过3轮罚球后，比赛结束的概率； （3）若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以领先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率. 【答案】（1）甲、乙两队打成平局的概率为 （2）求经过3轮罚球后，比赛结束的概率为 （3）甲队第5个球员需出场罚球的概率为 【解析】 【分析】（1）平局包含两人都罚进或两人都罚不进两个互斥事件，利用独立事件乘法分别计算两种情况的概率，再相加即可. （2）3 轮后两队各剩 2 次罚球机会，落后方最多追回2分，因此分差≥3时比赛提前终止. 3轮内分差≥3，仅有两种极端比分：甲 3:0 乙、乙 3:0 甲（前两轮分差均未达终止条件，天然成立）.分别计算两种比分的概率，求和即得总概率. （3）分析甲队第5个球员需出场的前提条件：前两轮甲队2:0领先，若甲队第5个球员需出场，说明第三、四轮罚球结束后比赛未提前终止，即前四轮总比分甲队与乙队的分差不超过1分，分别计算三种比分情况2:1、2:2、3:2的概率，再计算概率之和即可. 【小问1详解】 设甲队球员罚进点球为事件，未罚进为事件，乙队球员罚进点球为事件，未罚进为事件. 因为，所以；同理，因为，所以. 则甲、乙均罚进的概率为， 甲、乙均未罚进的概率为， 所以甲、乙两队打成平局的概率为. 【小问2详解】 设踢完轮后，甲队总得分为，乙队总得分为. 分类讨论：踢完3轮分差大于或等于3，且前1、2轮未提前结束， ①当3轮后甲队比乙队多3分，甲队3轮全进，乙队3轮全不进，即，则概率为： ​ ②当3轮后乙队比甲队多3分，乙队3轮全进，甲队3轮全不进，即，则概率为： 综上，求经过3轮罚球后，比赛结束的概率为. 【小问3详解】 因为甲队第5个球员需出场罚球，则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分，即四轮罚球结束时比分可能为或或，则需要分以下情况来讨论： ①比分为的概率为： . ②比分为的概率为： . ③比分为的概率为： . 综上，甲队第5个球员需出场罚球的概率为. 19. 在平行四边形中，，，为上一点，且平分，将沿翻折至． （1）若平面平面． （i）求证：； （ii）设平面，若，求点到平面的距离； （2）试判断锐二面角是否存在最大角，若存在，求出其正弦值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）（i）因为，， 在中，由余弦定理，，, 所以，即，所以. 因为平面平面，平面平面， 平面，， 所以平面． 因为平面，所以； （ii） （2）存在，正弦值最大值为 【解析】 【分析】（1）（i）由平面平面，得 平面，推出； （ii）方法1（坐标法）：建系写出所有点坐标，求出平面的法向量，利用点到平面距离公式算出距离；方法2（等体积法）：，分别求出底面面积、高，解方程得到点到平面距离； （2）求出锐二面角的正弦值的最大值为，由正弦函数的单调性知角存在最大角. 【小问1详解】 （i）略； （ii）设，连接， 因为，平面，平面， 所以． 因为平分，所以， 所以，， 由（1）知，，，，平面． 法1： 以为原点，，及垂直平面所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 因为，，， 设平面（即）的一个法向量为， 所以，即，令，则，， 所以， 设到平面的距离是， 所以， 所以点到平面的距离是； 法2： 由，得， 所以的面积为． 由（1）知平面，平面，所以． 又,平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以，即； 在中，由余弦定理得，所以， 设到平面的距离为， 因为，所以， 所以，所以点到平面的距离是； 【小问2详解】 以为原点，，及垂直平面所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，设， 因为，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，所以， 解得，令，则， 所以， 又因为，， 设平面的一个法向量为， 所以，所以， 得， 所以， 令，则， 所以， 设， 因为，， 所以当，即时，取得最小值， 所以， 设锐二面角的大小为， 因为，所以， 所以锐二面角的正弦值的最大值为，由正弦函数的单调性知角存在最大角. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $