精品解析：四川省什邡中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

四川省什邡中学高2024级第三学期第一次月考 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷总分：150分） 说明：本试卷分为Ⅰ、Ⅱ两卷，第Ⅰ卷为选择题，请将正确选项用2B铅笔填涂在答卷相应位置，第Ⅱ卷为非选择题，请用0.5毫米的黑色签字笔填写在答卷相应位置，不按要求作答者，不给分. 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 在三棱柱中，为棱的中点．设，用基底表示向量，则（ ） A. B. C. D. 5. 若空间中三个点，则直线与直线夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 在如图所示的电路图中，开关，，闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 要得到函数的图像，只需将函数的图像 A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 8. 在棱长为2的正方体中，M为线段上一动点，求的最小值（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 为了关注学生的健康成长，某校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则样本中（ ） A. 身高在A层次中的女生人数比男生多 B. 身高在B层次中的人数最多 C. 身高在D层次的女生，占女生人数的比例超过15% D. 身高在E层次中的男生有3人 10. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在轴上的截距为则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为 C. 在区间上单调递增 D. 为偶函数 11. 如图，在平行六面体中，，，底面ABCD为菱形，，与AB，AD所成的角均为（ ） A. B. 四边形为矩形 C. D. 如果，那么点M在平面内 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为__________． 13. 若一个圆台的上、下底面圆的半径分别为3和8．母线长为13，则该圆台的体积为__________． 14. 已知函数（）.若，且，则的值是_______. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知平面向量，，且.求： （1）向量在向量上的投影向量； （2）的值. 16. 某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且. （1）求与的值； （2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率． 17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，证明：△ABC是直角三角形． 18. 近年来，我国超重和肥胖率呈快速上升趋势，儿童和青少年的肥胖问题尤为突出.超重和肥胖与多种慢性疾病密切相关，严重威胁公共健康.青少年时期是培养健康饮食和运动习惯的关键阶段，早期干预能够有效预防肥胖问题.今年“两会”期间，国家卫健委宣布从2025年起实施“体重管理年”三年计划，旨在通过系统性措施改善青少年健康状况，降低肥胖率.体重指数（BMI）=体重（kg）/身高，青少年的BMI理想范围参考值为：男生（15-18岁）：17.5-23.5；女生（15-18岁）：17.5-23.0；某城市对1000名高中生的体重指数（BMI）进行了调查，BMI的分组区间为、、、、、、，调查结果的频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中的值及高中生的平均数及中位数； （2）在BMI为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取10名学生，则BMI在的学生中应抽取多少名？ （3）在（2）条件下，在BMI为和的两组学生中任取2名学生，求这2名学生来自同一组学生的概率. 19. 如图，为圆锥的顶点，A，为底面圆上两点，，为中点，点在线段上，且. （1）证明：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省什邡中学高2024级第三学期第一次月考 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷总分：150分） 说明：本试卷分为Ⅰ、Ⅱ两卷，第Ⅰ卷为选择题，请将正确选项用2B铅笔填涂在答卷相应位置，第Ⅱ卷为非选择题，请用0.5毫米的黑色签字笔填写在答卷相应位置，不按要求作答者，不给分. 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由并集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算进行化简，再根据复数的几何意义即可判断. 【详解】， 故复数对应的点为，在第四象限， 故选：D 3. 已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线过的两点的坐标，可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小. 【详解】直线l经过点，所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 即，所以. 故选：B. 4. 在三棱柱中，为棱的中点．设，用基底表示向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，连接，，根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】取的中点，连接，， 因为是的中点，， 所以. 故选：A 5. 若空间中三个点，则直线与直线夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出向量，利用向量夹角公式求解可得. 【详解】因为，所以， 记直线与直线的夹角为， 则. 故选：B 6. 在如图所示的电路图中，开关，，闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】灯亮即闭合，且，至少有一个闭合，结合对立事件和独立事件的概率可解得结果. 【详解】灯亮即闭合，且，至少有一个闭合，所以灯亮的概率. 故选：C. 7. 要得到函数的图像，只需将函数的图像 A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】根据左加右减得到结果. 【详解】因为 故只需要将 的图像向左平移个单位， 故答案为D. 【点睛】本题考查诱导公式，以及y=Asin（ωx+∅）图象的变换，把两个函数化为同名函数是解题的关键；函数图像平移满足左加右减的原则，这一原则只针对x本身来说，需要将其系数提出来，再进行加减. 8. 在棱长为2的正方体中，M为线段上一动点，求的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将绕翻折至与共面，当共线时，最小，再由余弦定理求解即可. 【详解】连接，如图， 由正方体的性质可得为等腰直角三角形，故， 为直角三角形，， 将图中绕翻折至与共面，如图， 所以由图可知，共线时，最小， 此时， 由余弦定理可知， 所以最小值为. 故选：B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 为了关注学生的健康成长，某校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则样本中（ ） A. 身高在A层次中的女生人数比男生多 B. 身高在B层次中的人数最多 C. 身高在D层次的女生，占女生人数的比例超过15% D. 身高在E层次中的男生有3人 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合已知和两个统计图表，对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】对于A，样本中女生人数为人，则样本中男生人数为60人， 样本中A层次身高的男生人数为人，女生人数为4人， 所以，样本中A层次身高的女生少于男生，A错误； 对于B，因为男生中B层次的比例最大，女生中B层次的人数最多， 所以样本中B层次身高人数最多，B正确； 对于C，样本中D层次身高的女生有8人，占女生人数的比例为，C正确； 对于D，样本中E层次身高的男生有人，D正确. 故选：BCD 10. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在轴上的截距为则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为 C. 在区间上单调递增 D. 为偶函数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数图象易得其最小正周期为，排除A；利用图象经过的和确定的值，即得函数解析式，易得B正确；将看成整体角，结合正弦函数的图象即可判断C；利用奇偶性定义，通过举反例排除D. 【详解】由题意，，因，故得，故的最小正周期为，故A错误； 因图象在轴上的截距为，故① ，又函数图象过点，故② ， 由 ② 可得，因，则，代入① ，可得， 此时，，故B正确； 对于C，由可得，因在上单调递增， 则在区间上单调递增，故C正确； 对于D，记， 因而，故D错误. 故选：BC. 11. 如图，在平行六面体中，，，底面ABCD为菱形，，与AB，AD所成的角均为（ ） A. B. 四边形为矩形 C. D. 如果，那么点M在平面内 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算可判断A；根据余弦定理，可得，进而证得平面，即可判断B；据题设，可得是等腰三角形，进而求得，从而判定C；根据空间向量的共面定理推论可判定D. 【详解】选项A，在平行六面体中， ，正确； 选项B，设， 因为， ， 又，与AB，AD所成的角均为， 所以，又O为BD中点，则， 又，，，平面， 所以平面，由于平面，故， 由于，则，所以四边形为矩形，正确； 选项C，因为四边形ABCD为菱形，，所以， 所以，即是等腰三角形， 又， 所以， 所以，即，错误； 选项D，若，由于， 所以M，B，D，四点共面，故点M在平面内，正确． 故选：ABD 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，由三点共线，可设，利用空间向量共线的充要条件，列出方程，即可求解. 【详解】因为，， 可得， 又因为三点共线，可设，即， 因为不共线，可得，解得， 所以实数的值为. 故答案为：. 13. 若一个圆台的上、下底面圆的半径分别为3和8．母线长为13，则该圆台的体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出圆台的高，再由圆台的体积公式求解即可． 【详解】因为圆台的上、下底面半径分别为3和8，母线为13， 所以圆台的高为：， 由圆台的体积公式， 求得圆台体积为：． 故答案为： 14. 已知函数（）.若，且，则的值是_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换得，由，可得，根据的范围，可得，最后利用求解即可. 【详解】 ， 由，可得， 又因为， 所以， 而，所以， 所以； 所以 . 故答案为： 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知平面向量，，且.求： （1）向量在向量上的投影向量； （2）的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，再由投影向量的公式求解即可； （2）由求解即可. 【小问1详解】 因为，，， 所以， 解得， 所以向量在向量上的投影向量为； 【小问2详解】 因为 . 16. 某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且. （1）求与的值； （2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率． 【答案】（1） ； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，假设该同学通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且，利用相关公式建立方程组，即可求得与的值； （2）根据题意，可知不低于4分包括了得分为4分、5分、6分三种情况，之后应用乘法和加法公式求得结果. 【详解】（1）依题，解得 （2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为， 获得本选修课学分分数不低于4分为事件， 则；；. 故. 【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有相互独立事件同时发生的概率，互斥事件有一个发生的概率，注意对公式的正确应用是解题的关键. 17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，证明：△ABC是直角三角形． 【答案】（1）； （2）因为，所以， 即①， 又②， 将②代入①得，， 即，而，解得， 所以， 故， 即是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，可化为，即可解出； （2）根据余弦定理可得，将代入可找到关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出． 【详解】（1）因为，所以， 即， 解得，又， 所以； （2）略 【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题． 18. 近年来，我国超重和肥胖率呈快速上升趋势，儿童和青少年的肥胖问题尤为突出.超重和肥胖与多种慢性疾病密切相关，严重威胁公共健康.青少年时期是培养健康饮食和运动习惯的关键阶段，早期干预能够有效预防肥胖问题.今年“两会”期间，国家卫健委宣布从2025年起实施“体重管理年”三年计划，旨在通过系统性措施改善青少年健康状况，降低肥胖率.体重指数（BMI）=体重（kg）/身高，青少年的BMI理想范围参考值为：男生（15-18岁）：17.5-23.5；女生（15-18岁）：17.5-23.0；某城市对1000名高中生的体重指数（BMI）进行了调查，BMI的分组区间为、、、、、、，调查结果的频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中的值及高中生的平均数及中位数； （2）在BMI为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取10名学生，则BMI在的学生中应抽取多少名？ （3）在（2）条件下，在BMI为和的两组学生中任取2名学生，求这2名学生来自同一组学生的概率. 【答案】（1）；平均数；中位数 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图面积和为1即可得到，再由平均数以及中位数的计算公式代入计算，即可得到结果； （2）由分层抽样的公式代入计算，即可得到结果； （3）由古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由频率分布直方图面积和为1可得， 解得， 高中生的平均数为， 因为前三组的频率之和为， 所以中位数在组， 设中位数为，则，解得， 所以中位数为. 【小问2详解】 、、的频率之比为， 共抽10名，则的学生中应抽取名. 【小问3详解】 由（2）可知，抽3人，设人分别为 则抽取人，2人分别为， 设事件表示抽取的2名学生来自同一组学生， 总情况数有 10种， 2名学生来自同一组学生的情况由4种， 则. 19. 如图，为圆锥的顶点，A，为底面圆上两点，，为中点，点在线段上，且. （1）证明：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 设圆O的半径为r， 在中，，，， 故，又，故， 在中，由余弦定理得， 所以，即； 圆锥中，底面，底面，故， 又，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证线面垂直再得面面垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 有，即，解得， 设直线与平面所成角为， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $