精品解析：福建省厦门海沧实验中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷

2024-2025学年福建省厦门市海沧实验学校高二（上）段考 数学试卷（12月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 若，，则（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】先求出,再利用向量的模长计算公式即可 【详解】因为 所以 故选:A 2. 在等差数列中，，公差，则首项（ ） A. B. 4 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式即可得到答案. 【详解】. 故选：D. 3. 如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算即可求解； 【详解】=. 故选：C. 4. 已知的三个顶点分别为，则边上的中线所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由中点坐标公式可得边的中点坐标为，可得边上的中线的斜率，由点斜式可得边上的中线所在直线的方程. 【详解】因为， 设边的中点为，则，即， 又，所以， 故边上的中线所在直线的方程为，即． 故选：D. 5. 圆上的点到直线的距离的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离以及半径关系，求解即可. 【详解】由，得，圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 故圆上的点到直线的距离的最小值为. 故选：A 6. 椭圆：的左焦点为，椭圆上的点与关于坐标原点对称，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】令椭圆C的右焦点，由已知条件可得四边形为平行四边形，再利用椭圆定义计算作答. 【详解】令椭圆C的右焦点，依题意，线段与互相平分，于是得四边形为平行四边形， 因此，而椭圆：的长半轴长， 所以. 故选：D 7. 数列满足，且，则等于（ ） A. 148 B. 149 C. 152 D. 299 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推公式求和偶数项之间的递推关系，然后由累加法可得. 【详解】由题意得，因为，， 所以， 所以． 故选：B． 8. 过抛物线上一动点P作圆（r为常数且）的两条切线，切点分别为A，B，若的最小值是，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，再求出函数的最小值即可. 【详解】设，则，圆的圆心，半径为， 由切圆于点，得， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 可知的最小值为， 整理可得，解得或， 且，所以，即. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：根据切线的性质，将转化为，根据面积结合几何性质求解. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过点且不垂直轴 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】将直线方程进行转化可确定AB正误；根据直线平行、垂直的关系直接构造方程组可得CD正误. 【详解】对于A，对于直线，令，解得：，在轴上的截距为，A正确； 对于B，由直线方程得：， 直线斜率存在，即直线不垂直于轴，且经过点，B正确； 对于C，，，解得：，C错误； 对于D，，，解得：，D正确. 故选：ABD. 10. 已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（ ） A. 双曲线的一条渐近线方程为 B. 椭圆和双曲线共焦点 C. 椭圆的离心率 D. 椭圆和双曲线的图象有4个公共点 【答案】AD 【解析】 【分析】利用给定的椭圆、双曲线方程，结合它们的相关性质逐项判断. 【详解】对于A，双曲线的渐近线为，A正确； 对于B，椭圆的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴上，B错误； 对于C，椭圆中，长半轴长，半焦距，离心率，C错误； 对于D，由，解得，此方程组有4个解，因此椭圆和双曲线有4个公共点，D正确. 故选：AD 11. 已知四面体的所有棱长都为分别是的中点，是该四面体内切球球面上的两点，是该四面体表面上的动点，则下列选项中正确的是（ ） A. 的长为 B. 到平面的距离为 C. 当线段最长时，的最大值为 D. 直线与直线所成角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，将四面体补形并建立空间直角坐标系，利用空间中两点距离公式判断A，利用空间向量法的点面距离公式判断B，利用空间向量数量积的运算律，结合内切球半径的求法判断C，利用空间向量法求异面直线所成角判断D，从而得解. 【详解】依题意，将四面体补形为正方体，并建立空间直角坐标系，如图， 因为四面体的所有棱长都为，则正方体的棱长为， 则， 又分别是的中点，则， 对于A，，故A错误； 对于B，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，故， 所以到平面的距离为，故B正确； 对于C，设是四面体内切球的球心，其半径为，则， 当线段最长时，为内切球的直径，是的中点，则， 所以， 因为该四面体的体积为， 表面积为， 所以，解得，则， 因为是该四面体表面上的动点，当为正四体的顶点时，最大， 其最大值为， 所以的最大值为，故C正确； 对于D，， 所以，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，将四面体补形为正方体，并建立空间直角坐标系，从而得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线经过点，则的倾斜角为__________. 【答案】 【解析】 【分析】代入点坐标求得斜率即可得倾斜角. 【详解】将点代入直线方程可得， 所以直线的倾斜角满足，解得. 故答案为： 13. 设是等差数列的前项和，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式，以及等差数列下标和性质，结合已知条件，即可求得. 【详解】由题可知：. 故答案为：. 14. 已知等边三角形ABC的边长为12，点P满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量的坐标运算求出点坐标即可求解. 【详解】 建立如图所示坐标系，其中为的中点， 所以， 设，则， 又因为， 所以， 解得， 所以，所以， 故答案为:. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据作差即可得解； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得. 【小问1详解】 数列的前项和为， 当时， 当时， 所以， 又当时，也成立， 数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可得， 设数列的前项和为， 则 . 16. 已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的标准方程； （2）求过点且与曲线相切的直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设，根据得到方程，整理得到曲线的标准方程； （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，当斜率不存在时，满足要求，当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，求出答案. 【小问1详解】 设，则， 故， 化简整理得， 故曲线的标准方程为； 【小问2详解】 曲线是以为圆心，1为半径的圆， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到的距离为1，故与圆相切，满足要求， 当过点的直线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到的距离， 解得，故切线方程为，即， 综上，过点且与曲线相切的直线方程为或. 17. 已知抛物线的焦点F到其准线的距离为2. （1）求p的值； （2）直线与抛物线C交于A，B两点，以为直径的圆经过坐标原点，求实数a的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的几何性质可得； （2）利用韦达定理，结合求解可得. 【小问1详解】 抛物线的焦点为，准线方程为， 因为焦点F到准线的距离为2，所以. 【小问2详解】 由（1）可得抛物线方程为，联立得， 因为直线与抛物线C有两个交点， 所以，，解得且， 设，则， 得， 因为以为直径的圆经过坐标原点，所以， 所以，解得. 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，. （1）判断直线与是否垂直，并说明理由； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）和不垂直，理由如下： 设，则， 在中，，所以为等边三角形，所以， 因为，，所以，从而， 所以在直角中，，， 又因为，所以，所以在中，满足， 故为直角三角形，则； 又因为，，所以平面； 因为，所以，所以， 故以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，； 所以，，，，， 所以，，所以， 所以不成立，故和不垂直. （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可设，计算出，的值，从而证明到，再由可证平面；所以建立空间直角坐标系，用坐标表示向量和，将判断直线是否垂直转化为判断向量是否垂直，即可得证. （2）在第一问的基础上，分别求出平面与平面的法向量，利用公式计算可得平面与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，，所以平面， 故为平面的一个法向量； 又，，设平面的法向量， 所以，即，取，则，，故， 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 已知是椭圆上的两点． （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的上顶点和右焦点的直线与椭圆交于另一个点B，P为直线上的动点，直线分别与椭圆交于（异于点），（异于点）两点，证明：直线经过点． 【答案】（1） （2） 由（1）可知，，则直线的方程为 联立方程组,整理得，解得或，则， 设，直线的方程为，直线的方程为， 设， 联立方程组 ，整理得， 可得， 联立方程组 ，整理得， 则，得从而． 因为， ， 即，所以三点共线， 所以直线经过点F． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程，求得 ,即得答案； （2）确定，求出直线的方程，联立椭圆方程求得，表示出直线的方程，进而求得坐标，结合直线斜率关系，可证明结论. 【小问1详解】 由题意可得 ,解得 ， 故椭圆E的方程为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年福建省厦门市海沧实验学校高二（上）段考 数学试卷（12月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 若，，则（ ） A. B. C. 5 D. 10 2. 在等差数列中，，公差，则首项（ ） A. B. 4 C. 0 D. 3. 如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知的三个顶点分别为，则边上的中线所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 圆上的点到直线的距离的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 6. 椭圆：的左焦点为，椭圆上的点与关于坐标原点对称，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 7. 数列满足，且，则等于（ ） A. 148 B. 149 C. 152 D. 299 8. 过抛物线上一动点P作圆（r为常数且）的两条切线，切点分别为A，B，若的最小值是，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过点且不垂直轴 C. 若，则或 D. 若，则 10. 已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（ ） A. 双曲线的一条渐近线方程为 B. 椭圆和双曲线共焦点 C. 椭圆的离心率 D. 椭圆和双曲线的图象有4个公共点 11. 已知四面体的所有棱长都为分别是的中点，是该四面体内切球球面上的两点，是该四面体表面上的动点，则下列选项中正确的是（ ） A. 的长为 B. 到平面的距离为 C. 当线段最长时，的最大值为 D. 直线与直线所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线经过点，则的倾斜角为__________. 13. 设是等差数列的前项和，若，则______． 14. 已知等边三角形ABC的边长为12，点P满足，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 16. 已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的标准方程； （2）求过点且与曲线相切的直线的方程. 17. 已知抛物线的焦点F到其准线的距离为2. （1）求p的值； （2）直线与抛物线C交于A，B两点，以为直径的圆经过坐标原点，求实数a的值. 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，. （1）判断直线与是否垂直，并说明理由； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 已知是椭圆上的两点． （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的上顶点和右焦点的直线与椭圆交于另一个点B，P为直线上的动点，直线分别与椭圆交于（异于点），（异于点）两点，证明：直线经过点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $