2026-2027学年人教版八年级数学上册期中模拟试卷

2026-2027学年第一学期人教版八年级数学期中模拟试卷 一．选择题（共10小题） 1．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．△ABC中，BC边上的高画法正确的是（　　） A．B． C． D． 3．如图是三角形按边分类的关系图，则图中的Q表示（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 4．如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝12m，那么AB间的距离不可能是（　　） A．29m B．20m C．15m D．5m 5．如图，在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线和高，AE＝3，S△ABC＝6，则CD的长为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 6．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠A＝60°，则∠BFC等于（　　） A．100° B．110° C．120° D．150° 7．等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 8．如图，电信部门要在∠COD内部修建一座电视信号发射塔．按照要求，发射塔到两个城镇A、B的距离相等，到两条公路OC和OD的距离也必须相等．则发射塔应该修建在（　　） A．∠AOB、∠COD两个角的角平分线的交点 B．线段AB的垂直平分线与∠COD的角平分线的交点 C．∠AOB的角平分线与线段CD的垂直平分线的交点 D．线段AB的垂直平分线与线段CD的垂直平分线的交点 9．等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于F，若BF＝12，则△FBC的面积为（　　） A．40 B．46 C．48 D．50 10．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝30°，点D为AC中点，连接BD，点E、点F分别为BD、AB上两动点，过点F作FH⊥BC于点H，当AE+EF+FH取最小值时，，则△ABC的面积是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 11．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，2）关于y轴对称的点的坐标是__________ ． 12．如图，在等边△ABC中，AB＝4，D是AB中点，DE⊥BC于E，则BE＝_____ ． 13．如图，三角形纸片中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm．点D是AC上一点，沿着BD折叠，使点C落在AB上的点E处，则△AED的周长为 _____ cm． 14．在△ABC中，AB＝3，AC＝5，则中线AD长度的取值范围是 ___________ ． 15．汉代初期《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就．如图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小圳固定镜面BC，将镜面BA绕点B逆时针转动（30°＜∠ABC＜180°），在光源P处发出的一束光射到水平镜面BC后沿DM反射到镜面AB上，随后沿MN反射出去．已知∠PDC＝28°，当反射光线MN所在直线与镜面BC所在直线的夹角为60°时，∠ABC＝ _______________ 度． 16．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，D，E分别为AC，AB上的点，∠DBC＝60°，∠ECB＝50°，则∠BDE＝________ ． 三．解答题（共8小题） 17．在△ABC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝60°，求∠DAC的度数． 18．如图，已知点A、F、C、D在同一条直线上，且AF＝DC，若AB＝DE，AB∥DE．求证：∠B＝∠E． 19．如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：OE垂直平分BD． 20．已知△ABC，AD是一条角平分线． 【探究发现】如图①，若AD是∠BAC的角平分线．可得到结论：．小红的解法如下： 过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G， ∵AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC， ∴__________ ． ∴____________________ ． ， ∴____________________ ． 【类比探究】如图②，若AD是∠BAC的外角平分线，AD与BC的延长线交于点D． 求证：． 21．如图，在7×7的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（本题共2问，每问不超过5条线） （1）在图1中，①画出△ABC的中线AE； ②在AC上找一点F，使∠ABF＝45°； （2）在图2中，①作射线CQ，使得CA为∠BCQ的角平分线； ②P是BC上一点，在AC上找一点H，使PH⊥AC． 22．已知AB＝12cm，AC＝BD＝10cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t秒． （1）如图1，若AC⊥AB，BD⊥AB，且点Q的运动速度与点P的运动速度相同，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系和数量关系，请分别说明理由； （2）如图2，若∠A＝∠B＝60°，设点Q的运动速度为vcm/s，是否存在实数v，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出v，t的值；若不存在，请说明理由． 23．探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 已知在△ABC中，∠B＝α，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O． 【初步感知】如图1，α＝60°，求∠AOC的度数； 【问题探究】如图2，α＝60°，S△AOC＝4S四边形OEBD＝3，求△ABC的面积． 【拓展延伸】如图3，α＝90°，AB＝6，BC＝8，AC＝10，在AB的延长线上取一点F，连接OF，使得∠DOF＝∠CAB，则EF＝ ___________________ ． 24．在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，A，B两点坐标分别为（0，a），（b，0），且a，b满足|a﹣b|+（b﹣4）2＝0，点E，D分别是线段OA，AB上的动点． （1）直接写出点A、点B的坐标； （2）如图1，若点E为AO的中点，连接EB，ED，OD，过点D作y轴的平行线交EB于点P，ED＝EP，求证：OD⊥BE； （3）如图2，若点E，点D在运动的过程中，始终有OE＝AD．当BE+OD最小时，求BD的长度． 2026-2027学年第一学期人教版八年级数学期中模拟试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可． 【解答】解：A．选项图形 不是轴对称图形，不符合题意； B．选项图形不是轴对称图形，不符合题意； C．选项图形是轴对称图形，符合题意； D．选项图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形定义是关键． 2．△ABC中，BC边上的高画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高．再据此逐一判断各选项中BC边上高的画法是否符合定义． 【解答】解：钝角三角形BC边上的高是从A点向BC边（或其延长线）作垂线，垂足在BC边（或其延长线）上，据此逐项分析判断如下： 选项A：垂足在AB上，不符合高线的定义； 选项B：垂足在BC上，但不是从A点作的垂线，不符合高线的定义； 选项C：从A点向BC的延长线作垂线，垂足E在BC延长线上，符合高线的定义， 选项D：垂足在AC的延长线上，不符合高线的定义； 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形高的定义，熟练掌握“三角形的高是从顶点向对边作的垂线，垂足在对边（或其延长线）上”是解题的关键． 3．如图是三角形按边分类的关系图，则图中的Q表示（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【分析】根据三角形的分类解答即可． 【解答】解：三角形按边的相等关系分类，可分为两类：三边都不相等的三角形，和至少有两边相等的等腰三角形； 而等边三角形是特殊的等腰三角形，对应图里嵌套在等腰三角形内部的Q， 因此Q表示等边三角形． 故选：D． 【点评】本题考查三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 4．如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝12m，那么AB间的距离不可能是（　　） A．29m B．20m C．15m D．5m 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得16﹣12＜AB＜16+12，再解即可． 【解答】解：根据三角形的三边关系可得：16﹣12＜AB＜16+12， 即4＜AB＜28，故AB间的距离不可能是29m． 故选：A． 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 5．如图，在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线和高，AE＝3，S△ABC＝6，则CD的长为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【分析】利用中线分三角形面积为相等两部分，结合三角形面积公式，先求S△ACD，再通过高AE的长度求出CD的长度． 【解答】解：在△ABC中， ∵AD是中线，S△ABC＝6 ∴3， ∵AE是高，且AE＝3， ∴， ∴CD＝2． 故选：D． 【点评】本题考查三角形的角平分线、中线和高，以及三角形面积，属于基础题． 6．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠A＝60°，则∠BFC等于（　　） A．100° B．110° C．120° D．150° 【分析】由∠A＝60°，求得∠ABC+∠ACB＝120°，因为∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，所以∠FBC∠ABC，∠FCB∠ACB，则∠FBC+∠FCB（∠ABC+∠ACB）＝60°，求得∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝120°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°， ∵∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F， ∴∠FBC∠ABC，∠FCB∠ACB， ∴∠FBC+∠FCB（∠ABC+∠ACB）＝60°， ∴∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝120°， 故选：C． 【点评】此题重点考查三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，正确理解和应用“三角形的内角和等于180°”是解题的关键． 7．等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 【分析】根据题意，分两种情况讨论腰长，再根据三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长． 【解答】解：分两种情况讨论： ①当该等腰三角形的腰长为3时，则底边为7， 此时该该等腰三角形的三边长为：3，3，7， ∵3+3＜7，不满足构成三角形的条件， ∴此种情况不存在； ②当该等腰三角形的腰长为7时，则底边为3， 此时该该等腰三角形的三边长为：7，7，3， ∵3+7＞7，满足构成三角形的条件， ∴该等腰三角形的周长为：7+7+3＝17． 故选：C． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系是解决问题的关键． 8．如图，电信部门要在∠COD内部修建一座电视信号发射塔．按照要求，发射塔到两个城镇A、B的距离相等，到两条公路OC和OD的距离也必须相等．则发射塔应该修建在（　　） A．∠AOB、∠COD两个角的角平分线的交点 B．线段AB的垂直平分线与∠COD的角平分线的交点 C．∠AOB的角平分线与线段CD的垂直平分线的交点 D．线段AB的垂直平分线与线段CD的垂直平分线的交点 【分析】由线段垂直平分线的性质可知：要两个城镇A，B的距离，发射塔必须建在线段AB的垂直平分线上，再根据角平分线的性质可知要到两条高速公路m和n的距离相等需要建在∠1的平分线上，即可知发射塔要在两线的交点位置． 【解答】解：要两个城镇A，B的距离，发射塔必须建在线段AB的垂直平分线上，要到两条高速公路m和n的距离相等需要建在∠1的平分线上， ∴发射塔应该修建在∠COD的平分线和线段AB的垂直平分线的交点处． 故选：B． 【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，线段垂直平分线的性质，作图﹣应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握角平分线和线段的中垂线的性质及其尺规作图． 9．等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于F，若BF＝12，则△FBC的面积为（　　） A．40 B．46 C．48 D．50 【分析】求出∠ABD＝∠ACF，根据ASA证△ABD≌△ACF，推出AD＝AF，得出AB＝AC＝2AD＝2AF，求出AF长，求出AB、AC长，根据三角形的面积公式得出△FBC的面积等于BF×AC，代入求出即可． 【解答】解：∵CE⊥BD， ∴∠BEF＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠CAF＝90°， ∴∠FAC＝∠BAD＝90°，∠ABD+∠F＝90°，∠ACF+∠F＝90°， ∴∠ABD＝∠ACF， ∵在△ABD和△ACF中 ， ∴△ABD≌△ACF（ASA）， ∴AD＝AF， ∵AB＝AC，D为AC中点， ∴AB＝AC＝2AD＝2AF， ∵BF＝AB+AF＝12， ∴3AF＝12， ∴AF＝4， ∴AB＝AC＝2AF＝8， ∴△FBC的面积是BF×AC12×8＝48， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的面积，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的应用，关键是求出AF＝AD，主要考查学生运用性质进行计算的能力． 10．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝30°，点D为AC中点，连接BD，点E、点F分别为BD、AB上两动点，过点F作FH⊥BC于点H，当AE+EF+FH取最小值时，，则△ABC的面积是（　　） A． B． C． D． 【分析】由AB＝BC、D为AC中点，得BD垂直平分AC，故AE＝CE；作C关于AB的对称点O，得BO＝BC、∠ABO＝∠ABC＝30°，且由FH⊥BC、FN⊥BO得FH＝FN，将AE+EF+FH转化为CE+EF+FN；根据垂线段最短，当C、E、F、N共线且垂直BO时和最小，由△FBN≌△FBH得；因∠OBC＝60°、BO＝BC，故△OBC为等边三角形，CP⊥BO得，即；由对称得CQ⊥AB且，最后用△ABC面积公式计算． 【解答】解：连接CE，过点C作AB的对称点O，连接OB，过点F作FN⊥BO于点N，作CP⊥BO于点P， ∴∠ABO＝∠ABC，BO＝BC， ∵AB＝BC，∠ABC＝30°，点D为AC中点， ∴BD⊥AC， ∴BD垂直平分AC， ∴AE＝CE， ∵∠ABO＝∠ABC，FH⊥BC，FN⊥BO， ∴FN＝FH， ∴AE+EF+FH＝CE+EF+FN≥CP， 当点C，E，F，N，P共线时，AE+EF+FH取得最小值，如图： 记CO，AB交于点Q， ∵FN⊥BO，FH⊥BC， ∴∠FNB＝∠FHB＝90° ∵BF＝BF，∠ABO＝∠ABC， ∴△FBN≌△FBH（AAS）， ∴此时， ∵∠ABO＝∠ABC＝30°， ∴∠OBC＝60°， 又∵BO＝BC， ∴△OBC为等边三角形， ∴CO＝BO， ∴BO＝BC＝BA＝CO， ∵CP⊥BO， ∴， ∴， ∵C，O关于AB对称， ∴， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质（三线合一）、轴对称的性质、等边三角形的判定（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）、全等三角形的判定与性质（AAS）、垂线段最短定理及三角形面积公式，解题的关键是通过轴对称转化折线AE+EF+FH为垂线段，利用全等和等边三角形性质求出等腰三角形的边长与高，进而计算面积． 二．填空题（共6小题） 11．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，2）关于y轴对称的点的坐标是　（2，2）　 ． 【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征解答即可． 【解答】解：P（﹣2，2）关于y轴对称的点的坐标是（2，2）， 故答案为：（2，2）． 【点评】本题考查了关于x、y轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数． 12．如图，在等边△ABC中，AB＝4，D是AB中点，DE⊥BC于E，则BE＝　1　 ． 【分析】先利用等边三角形的性质可得∠B＝60°，再利用线段的中点定义可得BD＝2，然后根据垂直定义可得∠DEB＝90°，从而可得∠BDE＝30°，最后在Rt△BDE中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∵AB＝4，D是AB中点， ∴BDAB＝2， ∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝90°， ∴∠BDE＝90°﹣∠B＝30°， ∴BEBD＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，等边三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 13．如图，三角形纸片中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm．点D是AC上一点，沿着BD折叠，使点C落在AB上的点E处，则△AED的周长为 　7　 cm． 【分析】根据翻折变换的性质可得DE＝CD，BE＝BC，然后求出AE，再根据三角形的周长列式求解即可． 【解答】解：∵BC沿BD折叠点C落在AB边上的点E处， ∴DE＝CD，BE＝BC， ∵AB＝8cm，BC＝6cm， ∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝8﹣6＝2cm， 又∵AC＝5cm， ∴△ADE的周长＝AD+DE+AE ＝AD+CD+AE ＝AC+AE， ＝5+2， ＝7cm． 故答案为：7． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），熟记翻折前后两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键． 14．在△ABC中，AB＝3，AC＝5，则中线AD长度的取值范围是 　1＜AD＜4　 ． 【分析】延长AD到E，使ED＝AD，连接BE，则AE＝2AD，根据三角形中线定义得BD＝CD，进而依据“SAS”判定△BDE和△CDA全等得BE＝AC＝5，在△ABE中，由三角形三边之间的关系得BE﹣AB＜AE＜BE+AB，则5﹣3＜2AD＜5+3，由此即可得出中线AD长度的取值范围． 【解答】解：延长AD到E，使ED＝AD，连接BE，如图所示： 则AE＝ED+AD＝2AD， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDA中， ， ∴△BDE≌△CDA（SAS）， ∴BE＝AC， ∵AB＝3，AC＝5， ∴BE＝AC＝5， 在△ABE中，由三角形三边之间的关系得：BE﹣AB＜AE＜BE+AB， ∴5﹣3＜2AD＜5+3， ∴1＜AD＜4， ∴中线AD长度的取值范围是1＜AD＜4． 故答案为：1＜AD＜4． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形三边之间的关系是解决问题的关键． 15．汉代初期《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就．如图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小圳固定镜面BC，将镜面BA绕点B逆时针转动（30°＜∠ABC＜180°），在光源P处发出的一束光射到水平镜面BC后沿DM反射到镜面AB上，随后沿MN反射出去．已知∠PDC＝28°，当反射光线MN所在直线与镜面BC所在直线的夹角为60°时，∠ABC＝ 　46或106或136　 度． 【分析】根据∠ABC的变化可知反射光线MN所在直线与镜面BC所在直线得交点可能在CB或CB延长线上，分类讨论，然后利用反射角等于入射角求解即可． 【解答】解：①如图所示，∠MNB＝60°， ∵∠PDC＝28°， ∴∠BDM＝∠CDP＝28°， ∵∠MNB＝60°， ∴∠DMN＝∠BNM﹣∠BDM＝32°， ∴∠AMD＝∠BMN74°， 在△BMN中，∠ABC＝180°﹣74°﹣60°＝46°； ②如图所示，当∠ABC是钝角时，此时设反射光线MN所在直线与镜面BC所在直线交点为点Q，且∠MQD＝60°， ∠BDM＝∠BDC＝28°， 设∠DMB＝∠AMN＝α，则∠BMQ＝∠AMN＝α， 在△QMD中，∠MQD+∠QMD+∠BDM＝180°， ∴2α+60+28＝180， 解得α＝46°， ∴∠ABC＝∠BMQ+∠MQD＝106°； ③如图所示，当∠ABC是钝角时，此时设反射光线MN所在直线与镜面BC所在直线交点为点Q，且∠MQD＝120°， ∠BDM＝∠BDC＝28°， 设∠DMB＝∠AMN＝α，则∠BMQ＝∠AMN＝α， 在△QMD中，∠MQD+∠QMD+∠BDM＝180°， ∴2α+120+28＝180， 解得α＝16°， ∴∠ABC＝∠BMQ+∠MQD＝136°； 综上，∠ABC＝46°或106°或136°； 故答案为：46或106或136． 【点评】本题主要考查了角的计算，熟知反射角等于入射角以及分类讨论是解题的关键． 16．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，D，E分别为AC，AB上的点，∠DBC＝60°，∠ECB＝50°，则∠BDE＝　30°　 ． 【分析】根据等腰三角形的性质求出∠ABC＝∠ACB，过点B作BF＝BC，连接EF，然后求出∠BEC＝∠ECB＝50°，根据等角对等边可得BC＝BE，再求出∠CBF＝20°，然后求出∠EBF＝60°，判断出△BEF是等边三角形，根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质求出∠EFD＝40°，再求出∠EDF＝70°，然后根据∠BDE＝∠EDF﹣∠BDF代入数据计算即可得解． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝20°， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠A）（180°﹣20°）＝80°， 过点B作BF＝BC，连接EF， ∵∠ECB＝50°， ∴∠BEC＝180°﹣80°﹣50°＝50°， ∴∠BEC＝∠ECB， ∴BC＝BE， 又∵∠CBF＝180°﹣2∠ACB＝180°﹣2×80°＝20°， ∴∠EBF＝∠ABC﹣∠CBF＝80°﹣20°＝60°， ∴△BEF是等边三角形， ∴∠EFB＝60°，BF＝EF， ∴∠EFD＝180°﹣∠EFB﹣∠CFB＝180°﹣60°﹣80°＝40°， ∵∠DBC＝60°， ∴∠DBF＝∠DBC﹣∠CBF＝60°﹣20°＝40°， ∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣80°＝40°， ∴∠DBF＝∠BDC， ∴BF＝DF， ∴EF＝DF， ∴∠EDF（180°﹣∠EFD）（180°﹣40°）＝70°， ∴∠BDE＝∠EDF﹣∠BDF＝70°﹣40°＝30°． 故答案为：30°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等边对等角和等角对等边的性质，三角形的内角和定理，作出辅助线构造成等边三角形是解题的关键，难点在于根据角的度数相等得到相等的角． 三．解答题（共8小题） 17．在△ABC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝60°，求∠DAC的度数． 【分析】由三角形的内角和定理，等量代换可得∠CAD＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣4∠1，又∠DAC＝∠BAC﹣∠2＝60°﹣∠1，可得∠1，易得结果． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4＝∠1+∠2＝2∠2， ∴在△CAD中， ∠CAD＝180°﹣∠4﹣∠3＝180°﹣4∠1， ∵∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝60°﹣∠2， ∴180°﹣4∠2＝60°﹣∠2， ∴∠2＝40°， ∴∠DAC＝60°﹣40°＝20°． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，利用三角形内角和定理解得∠2是解答此题的关键． 18．如图，已知点A、F、C、D在同一条直线上，且AF＝DC，若AB＝DE，AB∥DE．求证：∠B＝∠E． 【分析】由AB∥DE得∠A＝∠D．由AF＝DC得AC＝DF，证明△ABC≌△DEF（SAS），即可得出∠B＝∠E． 【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠A＝∠D． ∵AF＝DC， ∴AF+CF＝DC+CF，即AC＝DF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠B＝∠E． 【点评】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 19．如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：OE垂直平分BD． 【分析】先利用ASA证明△AOB≌△COD，得出OB＝OD，根据线段垂直平分线的判定可知点O在线段BD的垂直平分线上，再由BE＝DE，得出点E在线段BD的垂直平分线上，即O，E两点都在线段BD的垂直平分线上，从而可证明OE垂直平分BD． 【解答】证明：在△AOB与△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（ASA）， ∴OB＝OD， ∴点O在线段BD的垂直平分线上， ∵BE＝DE， ∴点E在线段BD的垂直平分线上， ∴OE垂直平分BD． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的判定：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，同时考查了全等三角形的判定与性质． 20．已知△ABC，AD是一条角平分线． 【探究发现】如图①，若AD是∠BAC的角平分线．可得到结论：．小红的解法如下： 过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G， ∵AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝EF ． ∴　　 ． ， ∴　　 ． 【类比探究】如图②，若AD是∠BAC的外角平分线，AD与BC的延长线交于点D． 求证：． 【分析】[探究发现]根据过程填写即可； [类比探究]证明过程同[探究发现]． 【解答】[探究发现]证明：∵AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝EF． ∴． 又∵， ∴． 故答案为：DE＝EF，，； [类比探究] 证明：如图②，过点D作DN⊥BA于N，过点D作DM⊥AC于M，过点A作AP⊥BD于点P． ∵AD平分∠MAN， ∴DN＝DM． ∴， 又∵． ∴． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 21．如图，在7×7的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（本题共2问，每问不超过5条线） （1）在图1中，①画出△ABC的中线AE； ②在AC上找一点F，使∠ABF＝45°； （2）在图2中，①作射线CQ，使得CA为∠BCQ的角平分线； ②P是BC上一点，在AC上找一点H，使PH⊥AC． 【分析】（1）①取格点J，K，连接JK交BC于点E，连接AE，线段AE即为所求； ②构造等腰直角三角形ABF即可； （2）①构造等腰三角形BCQ，作射线CQ即可； ②连接PQ交AC于点J，连接BJ，延长BJ交CQ于点K，连接PK交AC于点H，点H即为所求． 【解答】解：（1）①如图，线段AE即为所求； ②如图，点F即为所求； （2）①如图，射线CQ即为所求； ②如图，点H即为所求． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 22．已知AB＝12cm，AC＝BD＝10cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t秒． （1）如图1，若AC⊥AB，BD⊥AB，且点Q的运动速度与点P的运动速度相同，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系和数量关系，请分别说明理由； （2）如图2，若∠A＝∠B＝60°，设点Q的运动速度为vcm/s，是否存在实数v，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出v，t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）当t＝1时，依题意得∠A＝∠B＝90°，AP＝BQ＝2cm，进而得AC＝BP＝10cm，由此可依据“SAS”判定△ACP和△BPQ全等得PC＝PQ，∠C＝∠BPQ，再根据∠C+∠APC＝90°得∠BPQ+∠APC＝90°，继而得∠CPQ＝90°，则PC⊥PQ； （2）依题意得AP＝2tcm，BQ＝vtcm，则BP＝（12﹣2t）cm，再根据∠A＝∠B＝60°得当△ACP与△BPQ全等时，有以下两种情况：①当AC＝BP，AP＝BQ时，则△ACP≌△BPQ（SAS），由AC＝BP得10＝12﹣2t，解得t＝1，由AP＝BQ，得2t＝vt，将t＝1代入得v＝2，②当AC＝BQ，AP＝BP时，则△ACP≌△BQP（SAS），由AP＝BP得2t＝12﹣2t，解得t＝3，由AC＝BQ得10＝vt，将t＝3代入得v，综上所述即可得出答案． 【解答】解：（1）当t＝1时，△ACP与△BPQ全等， 线段PC和线段PQ的位置关系是：PC⊥PQ，数量关系是：PC＝PQ，理由如下： ∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动， ∴AP＝2cm， ∵AB＝12cm，AC＝BD＝10cm， ∴BP＝AB﹣AP＝10（cm）， ∴AC＝BP＝10cm， 又∵且点Q的运动速度与点P的运动速度相同， ∴BQ＝2cm， ∴AP＝BQ＝2cm， 在△ACP和△BPQ中， ， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）， ∴PC＝PQ，∠C＝∠BPQ， 在Rt△ACP中，∠C+∠APC＝90°， ∴∠BPQ+∠APC＝90°， ∴∠CPQ＝180°﹣（∠BPQ+∠APC）＝90°， ∴PC⊥PQ； （2）依题意得：AP＝2tcm，BQ＝vtcm， ∵AB＝12cm，AC＝BD＝10cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（12﹣2t）cm， 又∵∠A＝∠B＝60°， ∴当△ACP与△BPQ全等时，有以下两种情况： ①当AC＝BP，AP＝BQ时，则△ACP≌△BPQ（SAS）， 由AC＝BP，得：10＝12﹣2t， 解得：t＝1， 由AP＝BQ，得：2t＝vt， ∵t＝1， ∴v＝2， 即当t＝1s，v＝2cm/s时，△ACP与△BPQ全等； ②当AC＝BQ，AP＝BP时，则△ACP≌△BQP（SAS）， 由AP＝BP，得：2t＝12﹣2t， 解得：t＝3， 由AC＝BQ，得：10＝vt， ∵t＝3， ∴v， 即当t＝3s，v＝10/3cm/s时，△ACP与△BPQ全等， 综上所述：v，t的值分别为t＝1s，v＝2cm/s或t＝3s，vcm/s． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 23．探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 已知在△ABC中，∠B＝α，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O． 【初步感知】如图1，α＝60°，求∠AOC的度数； 【问题探究】如图2，α＝60°，S△AOC＝4S四边形OEBD＝3，求△ABC的面积． 【拓展延伸】如图3，α＝90°，AB＝6，BC＝8，AC＝10，在AB的延长线上取一点F，连接OF，使得∠DOF＝∠CAB，则EF＝ 　　 ． 【分析】【初步感知】先根据角平分线的定义可得∠1+∠3＝60°，再由三角形的内角和定理即可解答； 【问题探究】如图2，在AC上取一点Q，使CQ＝CD，连接OQ，证明△CQO≌△CDO（SAS），△AOQ≌△AOE（ASA），则S△AOC＝S△AOQ+S△COQ＝3，S四边形OEBD，即可解答； 【拓展延伸】如图3，先证明OA＝OF，过点O作OG⊥AB于点G，作OH⊥BC于点H，作OM⊥AC于点M，过点E作EP⊥AC于点P，根据等腰三角形的性质可得AG＝FG，由角平分线的性质得：OG＝OH＝OM，BE＝PE，设OG＝m，BF＝a，则FG＝AG＝a+2，由面积法可得m和a的值，即可解答． 【解答】解：【初步感知】如图1， ∵AD，CE分别平分∠CAB，∠ACB， ∴，∠1∠ACB， 又∵在△ABC中，∠B＝60°， ∴∠CAB+∠ACB＝180°﹣60°＝120°， ∴∠1+∠3120°＝60°， ∴∠AOC＝180°﹣（∠3+∠1）＝180°﹣60°＝120°； 【问题探究】如图2，在AC上取一点Q，使CQ＝CD，连接OQ， ∵CE平分∠ACB， ∴∠1＝∠2， 在△CQO和△CDO中， ， ∴△CQO≌△CDO（SAS）， ∴∠QOC＝∠COD，S△QOC＝S△COD， 由上问知∠AOC＝120°， ∴∠COD＝∠QOC＝60°， ∴∠QOA＝60°＝∠AOE， 又∵AO平分∠CAB， ∴∠3＝∠4， 在△AOQ和△AOE中， ， ∴△AOQ≌△AOE（ASA）， ∵S△AOC＝4S四边形OEBD＝3， ∴S△AOC＝S△AOQ+S△COQ＝3，S四边形OEBD， ∴S△ABC＝3+3； 【拓展延伸】如图3，∵AO平分∠CAB， ∴∠CAD＝∠DAB， ∵∠DOF＝∠CAB，∠DOF＝∠DAB+∠OFA，∠CAB＝∠CAD+∠DAB， ∴∠OFA＝∠CAD＝∠DAB， ∴OA＝OF， 过点O作OG⊥AB于点G，作OH⊥BC于点H，作OM⊥AC于点M，过点E作EP⊥AC于点P， ∴AG＝FG， ∵△ABC的角平分线AD，CE相交于点O， ∴OG＝OH＝OM，BE＝PE， 设OG＝m， ∵S△ABC＝S△AOC+S△BOC+S△AOB， ∴6×810m8m6m， ∴m＝2， 设BF＝a，则FG＝AG＝a+2， ∵AB＝6， ∴a+2+2＝6， ∴a＝2， ∴BF＝2， ∵S△ABC＝S△BEC+S△ACE， ∴10PE， ∴BE， ∴EF＝BE+BF2． 故答案为：． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了角平分线的定义和性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识点，借助三角形的面积求线段的长． 24．在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，A，B两点坐标分别为（0，a），（b，0），且a，b满足|a﹣b|+（b﹣4）2＝0，点E，D分别是线段OA，AB上的动点． （1）直接写出点A、点B的坐标； （2）如图1，若点E为AO的中点，连接EB，ED，OD，过点D作y轴的平行线交EB于点P，ED＝EP，求证：OD⊥BE； （3）如图2，若点E，点D在运动的过程中，始终有OE＝AD．当BE+OD最小时，求BD的长度． 【分析】（1）根据非负数的性质即可得解； （2）作AQ⊥y轴，交ED延长线于Q，先证△AEQ≌△OEB（ASA），再证△AEQ≌△OEB（ASA），即可得证； （3）逆等线模型：作AQ⊥AB且AQ＝OB＝4，构造△ADQ≌△OEB（SAS），从而可得OD+EB＝OD+DQ≥OQ，当O、D、Q三点共线时，OD+EB最小，据此求解． 【解答】（1）解：由题可知a﹣b＝0，b﹣4＝0， ∴a＝b＝4， ∴A（0，4），B（4，0）； （2）证明：作AQ⊥y轴，交ED延长线于Q， ∵ED＝EP， ∴∠EDP＝∠EPD， ∵DP∥y轴， ∴∠1＝∠EDP，∠2＝∠EPD， ∴∠1＝∠2， 在△AEQ和△OEB中， ， ∴△AEQ≌△OEB（ASA）， ∴AQ＝OB＝4＝OA，∠Q＝∠4， 又∵∠OAB＝45°， ∴∠QAD＝45°＝∠OAD， ∴△QAD≌△OAD（SAS）， ∴∠3＝∠Q， ∴∠3＝∠4， ∴∠DOB＝90°﹣∠3， 则∠ONB＝90°，即OD⊥BE； （3）解：作AQ⊥AB且AQ＝OB＝4，连接DQ， ∵EO＝AD，∠QAD＝∠BOE， ∴△ADQ≌△OEB（SAS）， ∴DQ＝BE， ∴OD+EB＝OD+DQ≥OQ，当O、D、Q三点共线时，OD+EB最小， 此时AQ＝AO， ∴∠AQO＝22.5°， ∴∠ADB＝67.5°， 又∵∠ABO＝45°， ∴∠BOD'＝67.5°， ∴∠ODB＝∠DOB＝67.5°， ∴DB＝BO＝4， 当OD+BE最小时，BD＝4． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、非负数的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/20 21:02:20；用户：狼的诱惑；邮箱：UID_B6F2C37AC4BC0A081F64DF52B2C648C2@qq.jyeoo.com；学号：24278983 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $