精品解析：甘肃省张掖中学2026-2027学年高三上学期10月学业质量检测 数学试卷

2026-2027学年秋学期10月学业质量检测 高三数学考试试卷 注：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题） 一、单选题（10小题，每题5分，共40分） 1. 已知，是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法与模长公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 2. 若有一组数据为、、、、、、、，则该组数据的中位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将该组数据按从小到大的顺序排列为：、、、、、、、，该组数据共有个， 所以中位数为排序后第位和第位数据的算术平均值，即. 3. 命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】原命题“”为假命题，等价于它的否定“”为真命题， 即对于，​成立. 设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减， 最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为. 充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有 ，满足条件， 因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. 4. 曲线在处的切线的倾斜角为，曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出倾斜角，进而求出结果. 【详解】，所以曲线在处的切线的斜率为0，故倾斜角. ，所以曲线在处的切线的斜率， 可得切线倾斜角，所以. 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 命题：，，则命题的否定是：， B. “”是“”的充分不必要条件 C. 方程的两根都大于1的充要条件是 D. 是关于的不等式对一切实数恒成立的充要条件 【答案】B 【解析】 【分析】对A，直接求出命题的否定，即可判断A的正误；对B，利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解；对C和D，根据条件，直接求出和的取值范围，再结合充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】对于A，命题：，的否定为，，所以A错误， 对于B，当时，，当时，，即， 所以推不出，故“”是“”的充分不必要条件，所以B正确， 对于C，若方程的两根都大于1，则，解得，所以C错误， 对于D，若关于的不等式对一切实数恒成立，则或， 解得，所以是关于的不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件，故D错误. 6. 如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，从而得解． 【详解】由题意可知，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，，则线段的长度为． 故选：A． 7. 函数在上有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对原式化简后通过零点个数对其定义域求解并判断范围即可. 【详解】， 若，则. 依题意，在上的零点个数，即函数与直线在上的交点个数， 又因为以及,， 可得能取到这三个点而取不到， 因此，解得. 8. 已知函数的定义域为为的导函数，，．若，则（ ） A. 2026 B. 1013 C. 1 D. -1 【答案】D 【解析】 【详解】因为且，所以， 因为，所以关于直线对称， 则原函数关于点对称，所以 所以， 令，则，即， 所以， 所以的周期为， 又，即，所以的周期也为， 由得， 由得，所以， 由得，所以， 又，所以， 所以， 所以， 又， 所以. 二、多选题（3小题，每题6分，共18分） 9. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题正确的是（　　） A. 若A＝30°，，，则△ABC有两解 B. 若，则角A最大值为30° C. 若，则△ABC为锐角三角形 D. 若，则直线AP必过△ABC内心 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：判断bsinA，a，b的大小关系，从而确定△ABC的个数；对于B：以为基底，利用向量的线性运算和数量积整理得，再根据余弦定理结合基本不等式运算处理；对于C：利用余弦定理可得C为锐角，但不确定C是否为最大角；对于D：利用向量线性运算理解可得直线AP为角A的角平分线． 【详解】对于选项A：bsinA＝4sin30°＝2，则bsinA＜a＜b， 所以，△ABC有两解，A选项正确； 对于选项B：设（以为基底），则， ∵∴=0 则，即 ∴ ∵，∴，B选项正确； 对于选项C：∵，∴，又∴C为锐角 若C为最大角， 则△ABC为锐角三角形，否则△ABC为锐角三角形或直角三角形或钝角三角形，C选项错误； 对于选项D：∵表示与同向的单位向量，表示与同向单位向量 又∵与不共线 ∴与菱形对角线向量共线 ∴直线AP为角A的角平分线，即直线AP必过△ABC内心， D选项正确． 故选：ABD． 10. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线围成的图形有条对称轴 B. 曲线围成的图形的周长是 C. 曲线上的任意两点间的距离不超过 D. 若是曲线上任意一点，的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断各选项即可. 【详解】当，时，曲线的方程可化为， 当，时，曲线的方程可化为， 当，时，曲线的方程可化为， 当，时，曲线的方程可化为， 所以曲线的图象如图所示， 对于选项A，由图可知曲线围成的图形有条对称轴， 对称轴方程分别为，故A正确； 对于选项B，曲线由4个半圆组成，圆的半径为，其周长为，故B错误； 对于选项C，由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C正确； 对于选项D，到直线的距离， 点到直线的距离为， 由圆的性质得曲线上一点到直线的最小距离为， 故的最小值为，故D正确. 11. 已知函数有三个不同的零点，，，其中，则（ ） A. 的取值范围为 B. 存在实数，使得，，成等差数列 C. 的取值范围为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据零点个数，利用导数确定参数范围即可；对于B，根据题意可得，再列方程求解；对于C，易得，结合即可判断；对于D，对进行平方，结合即可求解． 【详解】由已知， 令，解得或， 时，，函数单调递增； 时，，函数单调递减； 时，，函数单调递增； 又函数有三个不同的零点，，， ，解得，故A正确； 由题可知：， 若，，成等差数列，且， ，解得，故B正确； 易得，则，故C错误； 由， 则，故D正确． 第II卷（非选择题） 三、填空题（3小题，每题5分，共15分） 12. 已知向量，满足，则__________________. 【答案】0 【解析】 【详解】由，得，整理得， 所以. 13. 记公差不为零的等差数列前项和为，若，则正整数的值为______. 【答案】15 【解析】 【详解】因为是等差数列，设公差为d， 因为， 所以， 即， 所以解得. 14. 设函数，若恒成立，求的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，问题转化为这两个函数在定义域内同正同负或同为0，结合函数图象得出它们的图象与轴交点重合，从而得出关系，代入，再由基本不等式得最小值． 【详解】由已知的定义域是， 设，，显然它们在定义域内都是增函数， 因此恒成立，则与在定义域内同正同负或同为0， 作出的图象，要求，只要它们的图象与轴的交点重合，如图所示， 由，由， 所以，， 所以，当且仅当，即时等号成立， 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 已知数列的前n项和为，且满足，，，数列的前n项和为. （1）求数列的通项公式. （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 根据题意，数列的前n项和为，且， 即，也就是， 所以数列为首项为1，公差为2的等差数列，则， 【小问2详解】 由（1）可得：，所以， 可得， 两式相减得 所以； 16. 在中，内角，，的对边分别是，，，且． （1）求角的大小； （2）若点满足，且，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，转化为边的关系，再与余弦定理比较，即可求出. （2）由可知，点将边按内分，以点为起点表示，利用 和得到关于的约束条件，再求乘积的最大值，从而得到△ABC面积的最大值. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 整理得，则， 因为，所以． 【小问2详解】 以点为起点，记，，则，， 且由，有， 因为，所以， 由，得， 解得，即， 则，即， 当且仅当，即，时取等号， 则， 故面积的最大值为． 17. 如图1，在矩形ABCD中，，，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥，其中平面平面ABCE． （1）设F为的中点，在AB上是否存在一点M，使得平面．若存在，请证明；若不存在，请说明理由； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）存在，理由见详解. （2） 【解析】 【分析】（1）先分析确定点M位置，再取D1E的中点L，根据平面几何知识得AMFL为平行四边形，最后根据线面平行判定定理得结果. （2）取的中点，的中点，连接，以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积即可求解. 【小问1详解】 存在，且AM＝AB， 取D1E的中点L，连接AL，FL， ∵FLEC，ECAB，∴FLAB且FL＝AB， ∴FLAM，FL=AM ∴AMFL为平行四边形，∴MFAL， 因为MFAD1E上， AL⊂平面AD1E，所以MF平面AD1E. 故线段AB上存在满足题意的点M，且＝. 【小问2详解】 取的中点，的中点，连接， ， ， 因为平面平面ABCE， 则平面ABCE， 故以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，，，， ,, 设平面的一个法向量为， 由，即， 令，解得，所以， 设直线与平面所成角为， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为 18. 一个箱子中有一批外观完全相同的纸盒，每个纸盒中有除颜色外完全相同的4个小球，其中有2个红球2个白球的纸盒占，有3个红球1个白球的纸盒占． （1）从箱子中随机抽取一个纸盒，再从纸盒中随机抽取一个小球，求抽到红球的概率； （2）从箱子中随机抽取一个纸盒，再从纸盒中随机一次性抽取2个或3个小球，抽取2个小球的概率为，抽取3个小球的概率为，在抽到的小球中，每个红球记2分，每个白球记分，用表示抽到的小球的分数之和，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据离散型随机变量的性质结合条件概率求解即可； （2）由题意先找出随机变量的值，分别求出各自的概率，即可列出其分布列，进而求出其数学期望． 【小问1详解】 记事件表示“抽取的一个小球为红球”． 事件表示“抽取的纸盒中有2个红球2个白球”， 事件表示“抽取的纸盒中有3个红球1个白球”， 则． 【小问2详解】 由题意得的可能取值为，，，，，， 则， ， ， ， ， ， 所以的分布列为： 故的数学期望为． 19. 圆给人以“半径越小越弯曲”“同一个圆在各处的弯曲程度都相同”的直观印象，我们通常用“曲率”来刻画曲线在某处的弯曲程度．设函数的定义域为，其导数为的导数为，将称为曲线在处的曲率，曲率越大弯曲程度越大． （1）求在处的曲率； （2）用半圆的曲率，说明圆“半径越小越弯曲”的原理； （3）设，若存在，使在处的曲率为0，求证：． 【答案】（1） （2） 解：由半圆，可得， 则， 所以曲率， 即曲率是半径的倒数，由反比例函数的性质知，圆的半径越小曲率越大． （3） 由函数， 可得，则， 由已知得，所以， 所以，， 两式相除，令， 则，，， 所以，同理可得：， 由， 所以即证，只需证（注意）， 设， 可得， 所以在递增，所以，所以成立， 所以成立． 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别求得和，结合曲率的定义，即可求解； （2）根据题意，求得和，结合曲率的计算公式，求得，即可得到结论； （3）求得和，根据，得到，，令，得到和，转化为证明（注意），构造函数，利用导数求得函数的单调性，结合，即可得证. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 则， 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年秋学期10月学业质量检测 高三数学考试试卷 注：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题） 一、单选题（10小题，每题5分，共40分） 1. 已知，是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 1 2. 若有一组数据为、、、、、、、，则该组数据的中位数为（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 曲线在处的切线的倾斜角为，曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 命题：，，则命题的否定是：， B. “”是“”的充分不必要条件 C. 方程的两根都大于1的充要条件是 D. 是关于的不等式对一切实数恒成立的充要条件 6. 如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 函数在上有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为为的导函数，，．若，则（ ） A. 2026 B. 1013 C. 1 D. -1 二、多选题（3小题，每题6分，共18分） 9. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题正确的是（　　） A. 若A＝30°，，，则△ABC有两解 B. 若，则角A最大值为30° C. 若，则△ABC为锐角三角形 D. 若，则直线AP必过△ABC内心 10. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线围成的图形有条对称轴 B. 曲线围成的图形的周长是 C. 曲线上的任意两点间的距离不超过 D. 若是曲线上任意一点，的最小值是 11. 已知函数有三个不同的零点，，，其中，则（ ） A. 的取值范围为 B. 存在实数，使得，，成等差数列 C. 的取值范围为 D. 第II卷（非选择题） 三、填空题（3小题，每题5分，共15分） 12. 已知向量，满足，则__________________. 13. 记公差不为零的等差数列前项和为，若，则正整数的值为______. 14. 设函数，若恒成立，求的最小值为___________. 四、解答题（共77分） 15. 已知数列的前n项和为，且满足，，，数列的前n项和为. （1）求数列的通项公式. （2）求数列的前n项和. 16. 在中，内角，，的对边分别是，，，且． （1）求角的大小； （2）若点满足，且，求面积的最大值． 17. 如图1，在矩形ABCD中，，，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥，其中平面平面ABCE． （1）设F为的中点，在AB上是否存在一点M，使得平面．若存在，请证明；若不存在，请说明理由； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 一个箱子中有一批外观完全相同的纸盒，每个纸盒中有除颜色外完全相同的4个小球，其中有2个红球2个白球的纸盒占，有3个红球1个白球的纸盒占． （1）从箱子中随机抽取一个纸盒，再从纸盒中随机抽取一个小球，求抽到红球的概率； （2）从箱子中随机抽取一个纸盒，再从纸盒中随机一次性抽取2个或3个小球，抽取2个小球的概率为，抽取3个小球的概率为，在抽到的小球中，每个红球记2分，每个白球记分，用表示抽到的小球的分数之和，求的分布列及数学期望． 19. 圆给人以“半径越小越弯曲”“同一个圆在各处的弯曲程度都相同”的直观印象，我们通常用“曲率”来刻画曲线在某处的弯曲程度．设函数的定义域为，其导数为的导数为，将称为曲线在处的曲率，曲率越大弯曲程度越大． （1）求在处的曲率； （2）用半圆的曲率，说明圆“半径越小越弯曲”的原理； （3）设，若存在，使在处的曲率为0，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $