甘肃省平凉市第一中学2026-2027学年高三上学期第二次阶段性考试数学试题

平凉一中2027届高三第一学期第二次阶段性考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知角的终边过点，则点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．当时，函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 4．在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间，其中为常数．在此条件下，训练个单位的数据量所需要的时间是训练个单位的数据量所需要的时间的（ ） A．8倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍 5．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．设函数，记，，，则（ ） A． B． C． D． 7．已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．定义域为的函数的导函数记作，满足，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．函数的导函数的图像如图所示，以下命题正确的是（ ） A．是函数的最小值 B．是函数的极值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 10．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A．的最小正周期为 B．为奇函数 C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减 11．已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则不等式的解集为_________． 13．已知，则的值为_________． 14．设，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知等比数列的各项均为正数，记为的前项和，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16．（本小题满分15分）已知函数，． （1）讨论函数的极值； （2）设函数，若在上单调递增，求的取值范围． 17．（本小题满分15分）如图，在三棱锥中，点在上，，，． （1）证明：平面平面； （2）若，，，，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（本小题满分17分）已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）证明：在上单调递减． （3）若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值． 19．（本小题满分17分）若圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线．当点在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线；当在圆锥曲线外时，其极线是圆锥曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）．已知点是双曲线上第一象限内的一点，，分别为的左、右焦点，直线为点处的切线，直线与轴的交点为． （1）证明：直线l的方程为； （2）若点，，直线上是否存在点，使得过点作双曲线的两条切线互相垂直？若存在，请写出一个符合条件的直线的方程；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 平凉一中2027届高三第一学期第二次阶段性考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．B 2．D 3．B 4．C 5．B 6．C 7．A 8．D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．BCD 10．AD 11．BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【详解】（1）设等比数列的公比为，则， 由题意知，所以，解得或（舍去），所以， 所以． （2），所以， 所以， 所以． 16．【详解】（1）的定义域为，易得， 若，则，则在上单调递增，无极值； 若，则得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 则有极小值，无极大值． （2）因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立，则在上恒成立， 令，，则，则在上单调递增， 则，则，故的取值范围为． 17．【详解】（1）因为，，，平面，， 所以平面，而平面，则， 因为，，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）如图，在平面内过点作交于点， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示空间直角坐标系， 由题意得，，，， 则，，，，， 由题意得，， 设平面的法向量为， 可得，取，得，， 所以平面的一个法向量为， 由题意得，，设平面的法向量为， 可得，取，得，， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18．【详解】（1）因为，所以， ，又，即切点为，切线的斜率， 所以切线方程为，即． （2）令，，则， 所以当时，，因此函数在上单调递增， 当时，，因此函数在上单调递减， 故函数的最大值为， 即在上恒成立，则在上单调递减． （3）关于的不等式恒成立，即恒成立， 由于，所以恒成立，设，则， 由（2）知在上单调递减，且，， 所以存在唯一，使得，即， 则当时，，因此函数在上单调递增， 当时，，因此函数在上单调递减， 故函数的最大值为， 因为在上单调递增，则， 要使恒成立，且为整数，所以的最小值为1． 19．【答案】（1）由题意知，点与直线是双曲线的一对极点和极线， 故直线的方程为，即． （2）由直线，知，又，，则， 故，即，故双曲线的方程为． 假设存在点，使得过点的双曲线的两条切线互相垂直． 由双曲线的几何性质可知，切线的斜率不为0，则两条切线的斜率都存在且不为0， 设切点分别为，， 则切线，． 由点和直线是双曲线的一对极点和极线， 得直线的方程为，即． 又，则． 因为点在直线上，所以， 切点在双曲线上，则， 化简可得， 同理可得， 则与是方程的两个解． 由韦达定理可得，得，故点的轨迹方程为． 又直线， 圆心到直线的距离， 令，则， 由均值不等式，得，因此，即， 故，所以直线与曲线无交点， 故不存在点，使得过点作双曲线的两条切线互相垂直． 学科网（北京）股份有限公司 $