精品解析：江苏徐州市第十中学2026-2027学年度第一学期第一次阶段性练习 八年级数学

2026-2027学年度第一学期第一次阶段性练习 八年级数学 （全卷共120分 考试时间90分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 用如下长度的三根木棒首尾相连，可以组成三角形的是（       ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行解答即可． 【详解】解：A、，故不能构成三角形； B、，故不能构成三角形； C、，故不能构成三角形； D、，故能构成三角形． 2. 图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，对应边所夹的角，即为，再根据全等三角形对应角相等，即可求解． 【详解】解：∵两个三角形全等，对应边所夹的角，即为，对应第一个三角形中的角， ∴． 故选：D． 3. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 4. 如图，已知 ，添加下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ ，， ∴， 故A能判定，不符合题意； ∵， ， ∴， 故B能判定，不符合题意； ∵， ∴， 又∵ ， ∴， 故D能判定，不符合题意； 不能判定的是． 5. 下列作图中，点到，两边距离相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，以及根据作图痕迹进行判断． 【详解】解：由作图得，选项A中点M在的平分线上， ∴点到，两边距离相等，符合题意； 选项B，C，D中点M不在的平分线上，不符合题意． 6. 如图，在方格中，以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判断，解题时需要通过尺规作图，找出第三个顶点的位置．掌握等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键．根据等腰三角形的定义，分别以A、B为圆心，长为半径画圆，两个圆与格点的交点，即可得出第三个顶点的位置． 【详解】解：如图所示，分别以A、B为圆心，长为半径画弧，则圆弧经过的格点、、、、、、即为第三个顶点的位置，故以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出个．   故选：C． 7. 如图，等腰三角形的底边的长为，面积为，腰的垂直平分线分别交，于点，若为底边的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为（ ）． A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一的性质得出，利用三角形面积公式求出的长，再根据线段垂直平分线的性质得出，将的周长转化为，利用两点之间线段最短可知当，，三点共线时周长最小，最小值为，由此求解． 【详解】解：连接，，如图， 是等腰三角形，点是底边的中点， ， ，且， ，解得， 是线段的垂直平分线，点在上， ， 的周长， 为定值， 要使的周长最小，只需最小， 根据两点之间线段最短，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 的周长的最小值． 8. 已知和是等边三角形，且B、C、D三点共线，连接交于点M，交于点N，交于点G，以下结论正确的个数是（） ①；②；③；④连接是的角平分线． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，角平分线的定义．由等边三角形的性质可得出，，，从而推出，即可利用证明，可判断①；由全等的性质可得出，再利用三角形外角的性质即可推出，即可判断②；由和B、C、D三点共线，可求出，即可证明，得出，即可判断③；过点作于点P，于点Q，易证，得出，即又易证，得出，即GC是的角平分线，可判断④． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴，故①正确； ∵， ∴． ∵， ∴，故②正确； ∵，B、C、D三点共线， ∴． ∴在和中， ， ∴， ∴，故③正确； 如图，过点作于点P，于点Q， 在和中， ， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即是的角平分线，不是的角平分线，故④错误． 综上可知正确的个数是3个． 故选C． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 9. 如图，小明的桌子坏了，于是他给桌子加了两根木条，这样桌子就比较牢固了．小明这样做的数学原理是利用了三角形的________． 【答案】稳定性 【解析】 【详解】给桌子加两根木条，构造出三角形，利用了三角形的稳定性． 10. 如图，在中，，，点D为的中点，则_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记直角三角形斜边中线性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得． 【详解】解：∵，点为的中点， ， 故答案为：7． 11. 已知一个等腰三角形的一边长为，另一边长为，则这个等腰三角形的周长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分腰长为和腰长为两种情况讨论，根据三角形三边关系验证能否构成三角形，再计算周长． 【详解】解： 分两种情况讨论： 情况1：当腰长为时，三角形三边长为，，， ，符合三角形三边关系，能构成三角形， 周长为． 情况2：当腰长为时，三角形三边长为，，， ，符合三角形三边关系，能构成三角形， 周长为． 因此这个等腰三角形的周长为或． 12. 如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键． 13. 如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，．若，则的长是____． 【答案】3 【解析】 【分析】过P作于点D，则，从而得到，根据含角的直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的“三线合一”求出，从而根据线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过P作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵，，， ∴， ∴． 14. 已知a，b，c是三角形的三边长，化简：=________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形三边之间的关系得出a、b、c之间的大小关系，再根据绝对值的性质化简． 【详解】解：∵a、b、c是三角形的三边长， ∴，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系以及绝对值的化简，掌握三角形三边关系是解题的关键．三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边． 15. 如图，在中，，平分，过点作，垂足为点，连接，若，，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，利用“角边角”判定，得到，从而可证明，即可求出答案． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵平分，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， 在中，，，， ∴ ． 16. 如图，在中，，是边上的两点，，，，，分别为的中点，直线与直线相交于点，则的度数是___________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，多边形的内角和．先根据等边对等角得到，，根据三角形内角和求出，根据四边形内角和即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， 由三角形内角和可知：， ∴， ∴， 由四边形内角和可知：， 即， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有8小题．，共72分） 17. 如图，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点称为格点．均在格点上，则是格点三角形，用无刻度的直尺按要求作图． （1）在图1中，画出与全等的格点（找到一个即可，且点C不与D重合）； （2）在图2中，画出与面积相等，但不与全等的格点（找到一个即可）； （3）在图3中，作出边上的高． 【答案】（1）如图1：即为所求（答案不唯一）； （2）如图2：为满足和面积相等的格点（答对一个即可）； （3）如图：即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用格点边长，找与三边对应相等的格点，使与全等． （2）根据三角形面积公式（底高），保持底或高与一致，调整另一边长，确定格点． （3）借助格点找的高（如），交于垂心，延长交得高． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：取格点、，连接交于，连接并延长交于， 理由： 由图可知，是的高， 是的垂心， 是的高． 18. 如图，为的角平分线，点E在的延长线上，，连接． （1）求证：． （2）已知，，则的长为__________． 【答案】（1）证明：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）1 【解析】 【分析】（1）利用三角形的角平分线的定义以及即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再利用线段的和差即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 19. 如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，，求证：． 【答案】 证明：，是的平分线，于， ， ， ， ． 【解析】 【分析】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，根据，是的平分线，于，得到，结合，证明即可． 【详解】略 20. 已知：如图，，、分别是、的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接、， ∵，是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴． （2）的长为4． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质和等边三角形的判定和性质； （1）连接、，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再根据等腰三角形的性质证明即可； （2）先证明是等边三角形，再根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 21. 如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【答案】；在三角形中，大边对大角；对顶角相等；；；在三角形中，大角对大边 【解析】 【分析】本题考查三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质，根据三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质解答即可． 【详解】证明：在中， （在三角形中，大边对大角） （对顶角相等） （在三角形中，大角对大边） 22. 如图，在中，平分，E为的中点，．求证：．     【答案】 证明：延长至点，使，连接，则：， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形：延长至点，使，证明，得到，再证明，即可得出结论． 【详解】略 23. 如图①所示为一条长的线段．已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为（请在图中标出已知角的度数和已知边的长度，尺规作图，保留作图痕迹）． （1）请在图②中画出一个满足题设条件的三角形． （2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请在图③中画出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． （3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有__________个． 【答案】（1）解：如图，取，在上截取，在上截取，连接，即为所求． （2）解：能，由图③知，在上截取，以为圆心以长为半径画弧交于点，连接，如图，即为所求． （3）4 【解析】 【分析】（1）确定的边和角正常尺规作图即可． （2）和（1）相同的条件，作不全等三角形，角度位置不变，改变长边位置即可． （3）需要分类讨论角度对应的边长，角度对应边不同三角形就不同，共有4个不同三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：以已知角为两线段的夹角，可画出一个三角形， 以长的边作角的对边，可画出两个满足条件的三角形， 以长的边作为角的对边，可画出一个满足条件的三角形， ∴满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有个． 24. 数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 【答案】 （1）证明：∵于D，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： 如图，过点D作于点T， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）60 【解析】 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答； （2）过点D作于点T，证明，推出，，再证明，即可得结论； （3）作辅助线，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴的面积等于60． 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期第一次阶段性练习 八年级数学 （全卷共120分 考试时间90分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 用如下长度的三根木棒首尾相连，可以组成三角形的是（       ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 2. 图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知 ，添加下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列作图中，点到，两边距离相等的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在方格中，以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7. 如图，等腰三角形的底边的长为，面积为，腰的垂直平分线分别交，于点，若为底边的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为（ ）． A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 已知和是等边三角形，且B、C、D三点共线，连接交于点M，交于点N，交于点G，以下结论正确的个数是（） ①；②；③；④连接是的角平分线． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 9. 如图，小明的桌子坏了，于是他给桌子加了两根木条，这样桌子就比较牢固了．小明这样做的数学原理是利用了三角形的________． 10. 如图，在中，，，点D为的中点，则_____． 11. 已知一个等腰三角形的一边长为，另一边长为，则这个等腰三角形的周长为________． 12. 如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则________． 13. 如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，．若，则的长是____． 14. 已知a，b，c是三角形的三边长，化简：=________． 15. 如图，在中，，平分，过点作，垂足为点，连接，若，，则的面积为________． 16. 如图，在中，，是边上的两点，，，，，分别为的中点，直线与直线相交于点，则的度数是___________． 三、解答题（本大题共有8小题．，共72分） 17. 如图，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点称为格点．均在格点上，则是格点三角形，用无刻度的直尺按要求作图． （1）在图1中，画出与全等的格点（找到一个即可，且点C不与D重合）； （2）在图2中，画出与面积相等，但不与全等的格点（找到一个即可）； （3）在图3中，作出边上的高． 18. 如图，为的角平分线，点E在的延长线上，，连接． （1）求证：． （2）已知，，则的长为__________． 19. 如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，，求证：． 20. 已知：如图，，、分别是、的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 22. 如图，在中，平分，E为的中点，．求证：．     23. 如图①所示为一条长的线段．已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为（请在图中标出已知角的度数和已知边的长度，尺规作图，保留作图痕迹）． （1）请在图②中画出一个满足题设条件的三角形． （2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请在图③中画出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． （3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有__________个． 24. 数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $