精品解析：广东中山市第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

2025-2026年广东省中山市第一中学高二上学期数学10月考 一、单选题 1. 设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（ ） A. 1 B. 17 C. 1或17 D. 5或13 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，然后根据双曲线的定义结合可求得. 【详解】双曲线的， 由双曲线的定义可得． 因为，所以，得或17， 若，则在右支上，应有，不成立； 若，则在左支上，应有，成立． 故选：B． 2. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线一般式中平行满足的系数关系，即可结合充分不必要条件的定义求解. 【详解】直线与直线平行,则满足 ，解得或， 因此“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件， 故选：C 3. 设，向量，，，且，，则（ ）． A. B. C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合垂直向量的坐标表示和平行向量的坐标关系求，由此可求的坐标，再求其模即可. 【详解】因为，，， 所以，所以， 因为，，，所以，所以， 所以， 所以. 故选：D. 4. 椭圆：的上顶点为，点，均在上，且关于轴对称，若直线，的斜率之积为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设P点坐标，Q点与P点关于x轴对称，坐标可用P点坐标表示，代入斜率之积的关系式，再结合椭圆方程，化简可得a与b的关系，即可求出离心率. 【详解】，设，则， 则，， ， 又，则， 所以，即， 所以椭圆的离心率， 故选：C. 5. 已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】的圆心为，半径，的圆心为，半径，由动圆与圆内切，设动圆半径为，求出，动圆与圆外切，求出，则有为定值，结合椭圆的定义得解. 【详解】 的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 动圆与圆内切，设动圆半径为，， 动圆与圆外切，， ，， ，动圆的轨迹是以为焦点的椭圆， ，， 动圆的轨迹方程为. 故选：C. 6. 已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可证直线l恒过的定点在圆内，当时直线l被圆C截得的弦长最小，结合勾股定理计算即可求解. 【详解】直线l：， 令，解得，所以直线l恒过定点， 圆C：的圆心为，半径为， 且，即P在圆内， 当时，圆心C到直线l的距离最大为， 此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为． 故选：A． 7. 在平行六面体中，已知，，则下列选项中错误的一项是（ ） A. 直线与BD所成的角为90° B. 线段的长度为 C. 直线与所成的角为90° D. 直线与平面ABCD所成角的正弦值为 【答案】D 【解析】 【分析】在平行六面体中，取，利用空间向量的线性运算及数量积运算，逐一分析选项，即可得出答案. 【详解】在平行六面体中，令，，， 由，， 得，， 对于，显然，， 则，即， 因此直线与所成的角为，A正确； 对于B，，即，B正确； 对于C，，即， 因此直线与所成的角为，C正确； 对于D，在平行六面体中，四边形是菱形，即， 又，，平面，于是平面， 又平面，则平面平面， 连接交于点，在平面内过点作于点，如图， 由平面平面，因此平面，即直线与平面所成角为， ，则，即， 由及选项C知，，则，D错误. 故选：D 8. 若椭圆和的方程分别为和（且）则称和为相似椭圆．已知椭圆，过上任意一点P作直线交于M，N两点，且，则的面积最大时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得为的中点，当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，求得，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由为的中点可得，利用弦长公式求出，表示出，根据，判断求解. 【详解】当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，， 联立，可得， 所以， 所以的面积为， 由，可得为的中点，所以， 因为点在椭圆上，所以，所以， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，消去得，， ， 设，，则，， ， 所以点坐标为， 因为点在椭圆上，所以， 因为原点到直线的距离为， ， 所以的面积为 ， 综上，，又， 又， 所以当时，的面积最大. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：由可得为的中点，由此得到，将此关系代入并化简可将表示为一个变量的函数，从而利用二次函数求最值. 二､多选题 9. 已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 椭圆离心率为 B. C. 若，则的面积为 D. 最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由椭圆方程得到的值，根据离心率的定义可判断A，根据椭圆的定义可判断B， 根据勾股定理和椭圆的定义可得到，从而由三角形面积公式可判断C，由对勾函数可判断D. 【详解】由椭圆方程可知，，，， 所以椭圆的离心率，故A错误； 由椭圆定义知，故B正确； 又，因为，所以， ， 解得：，所以的面积为，故C正确； 因为，即， 设，由对勾函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增，且， 所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 过点作曲线的切线，则切线方程为 D. 的最小值是 【答案】BC 【解析】 【分析】由表示圆上的点到定点距离的平方可得其最大值为可判断A项，由表示圆上的点与点的连线的斜率，设，由圆心到直线的距离求出k的范围即可判断B项，由斜截式方程设出切线方程，结合圆心到切线距离即可判断C项，由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，结合圆上任意一点到直线的距离的最小值为（为圆心C到直线的距离），进而可判断D项. 【详解】因为， 所以圆C的圆心，半径为. 对于A项，表示圆上的点到定点距离的平方，如图所示， 所以的最大值为，故A项错误； 对于B项，表示圆上的点与点的连线的斜率，如图所示， 设，即， 由圆心到直线的距离， 即，解得， 所以的最大值为，故B项正确； 对于C项，设过点作曲线C的切线，则其斜率存在，故可设切线方程为， 由圆心到直线的距离可得，解得， 所以切线方程为，即，故C项正确； 对于D项，表示圆上任意一点到直线的距离的倍，如图所示， 又圆心C到直线的距离， 所以圆上任意一点到直线的距离的最小值为， 所以的最小值为，故D项错误. 故选：BC. 11. 如图，设正方体的棱长为，点是的中点，点为空间内两点，且，则（ ） A. 若平面，则点与点重合 B. 设，则动点的轨迹长度为 C. 平面与平面的夹角的余弦值为 D. 若，则平面截正方体所得截面的周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】假设点不与重合，根据平面，平面，可得，而，故假设不成立，A正确；根据已知判断出动点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆的，，进而判断选项B；建立空间直角坐标系，利用向量法求解面面夹角余弦值即可判断选项C；根据已知条件做出图形，即可求出周长判断选项D. 【详解】由正方体的性质知，平面， 若点不与重合，因为平面， 则，与矛盾， 故当平面时，点与重合，故A正确； 因为， 所以点在平面上， 因为， 所以， 则动点的轨迹是以点为圆心， 以为半径的圆的，故其长度为，故B正确； 对于C，以点为坐标原点， 分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以. 设平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为， 则得， 令，，所以， 同理结合得， 因为， 所以平面与平面的夹角的余弦值为，故C错误； 对于D，过的直线分别交的延长线于点， 然后再分别连接，交侧棱于点， 交侧棱于点，连接和，如图所示：    则得截面为五边形， 截面的周长为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 12. 若方程表示的曲线为椭圆，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用椭圆的标准方程形式，列出不等式组，即可求解. 【详解】由方程表示的曲线为椭圆，则满足， 解得或，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设条件得到时，最小，从而得到的方程为，进而得到，即可求出结果. 【详解】由，得到，所以圆心，半径， 如图，， 所以四边形的面积， 所以当最小时，也最小，此时，， 故的方程为，即， 联立解得：，，即， 所以直线的方程为， 化简得：. 故答案为：. 14. 如图所示，用一束与平面成角的平行光线照射球O，在平面上形成的投影为椭圆C及其内部，则椭圆C的离心率为___________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先根据投影的特点确定椭圆C的a，b的取值与球O半径长之间的关系，即可求离心率. 【详解】设球O半径为r，由题意知：， ，椭圆的长半轴长， 椭圆短半轴长为球的半径，即， 所以， 椭圆的离心率为， 故答案为：. 四、解答题 15. 已知直线，试求： （1）点关于直线的对称点的坐标； （2）直线关于直线对称的直线方程； （3）直线关于点对称的直线方程． 【答案】15. 16. 17. 【解析】 【分析】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解. （2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程. （3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可. 【小问1详解】 设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． 【小问2详解】 由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． 【小问3详解】 在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， （1）若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程，求出即可得出答案； （2）设，利用双曲线的定义，结合余弦定理，求得，再由求解 【小问1详解】 椭圆的焦点为和， 所以双曲线的，所以， 又双曲线过点，所以， 由，解得， 双曲线的标准方程为 【小问2详解】 设，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理， 得， 所以， 则的面积， 17. 如图1，在边长为2的菱形ABCD中，于点，将沿DE折起到的位置，使，如图2． （1）求多面体的体积； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段BD上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直判定证平面，再由线面垂直性质有，由线面垂直判定平面，最后应用三棱锥体积公式计算求解； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再应用向量法求二面角余弦值； （3）令，,根据面面垂直及相关面的法向量列方程求参数，即可得答案. 【小问1详解】 因为，即, 又,平面， 所以平面，平面，所以. 又,平面，所以平面， 所以. 【小问2详解】 因为平面，，以为原点，为轴，建立空间直角坐标系， 则，所以, 设平面的法向量，由，得， 因为平面，所以平面的法向量，所以. 因为所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 假设存在线段上存在一点，使得平面平面, 设，，则. 所以，设平面的法向量， 由，令，得， 因为平面平面，所以，解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且. 18. 在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，，圆M为的外接圆． （1）求圆M的方程； （2）直线过点与圆M相交于两点，，求直线的方程； （3）若圆M上存在点P，满足，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程，利用待定系数法即可求解； （2）根据和圆M的半径解出圆心到直线的距离，再分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合点到直线距离公式列出方程即可求解； （3）设的坐标，根据，分析出P点满足另一圆的方程，结合两圆存在交点即可求解． 【小问1详解】 设圆的一般方程为， 将A、B、C三点坐标分别代入方程可得， 解得，所以圆的一般方程为，整理为标准方程为． 【小问2详解】 已知圆的方程为，则圆心，半径， 设圆心到直线的距离为，所以，解得， 分两种情况讨论直线的斜率， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，满足，所以是直线的一个方程； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离， 解得，所以直线的方程为，整理得； 综上，直线的方程为或． 【小问3详解】 设的坐标，因为， 所以， 整理得，， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 又因为点在圆，所以两个圆有公共点， 故有， 解得． 19. 已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同的两点M，N. （1）求曲线的方程； （2）若以线段为直径的圆经过点. ①求证：直线过定点，并求出的坐标； ②求三角形面积的最大值. 【答案】（1）， （2） ①设点、， 若轴，则且，，， 此时，，不合题意. 设直线的方程为， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， ， ， 因为直线不过点，则，整理可得，解得. 直线的方程为，∴直线过定点. ② 【解析】 【分析】（1）设，则有即可求解； （2）①设直线的方程为，联立方程组，由韦达定理有，，由即可求解； ②点到直线的方程为，，代入，利用二次函数即可求解. 【小问1详解】 设，动点满足直线和直线的斜率乘积为， ，即 即，. 曲线的方程为，. 【小问2详解】 ①略 ②直线的方程为. 点到直线的距离为， ， 令， 则， 因为时，故当时，取最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年广东省中山市第一中学高二上学期数学10月考 一、单选题 1. 设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（ ） A. 1 B. 17 C. 1或17 D. 5或13 2. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，向量，，，且，，则（ ）． A. B. C. 5 D. 6 4. 椭圆：的上顶点为，点，均在上，且关于轴对称，若直线，的斜率之积为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 在平行六面体中，已知，，则下列选项中错误的一项是（ ） A. 直线与BD所成的角为90° B. 线段的长度为 C. 直线与所成的角为90° D. 直线与平面ABCD所成角的正弦值为 8. 若椭圆和的方程分别为和（且）则称和为相似椭圆．已知椭圆，过上任意一点P作直线交于M，N两点，且，则的面积最大时，的值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 椭圆离心率为 B. C. 若，则的面积为 D. 最大值为 10. 已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 过点作曲线的切线，则切线方程为 D. 的最小值是 11. 如图，设正方体的棱长为，点是的中点，点为空间内两点，且，则（ ） A. 若平面，则点与点重合 B. 设，则动点的轨迹长度为 C. 平面与平面的夹角的余弦值为 D. 若，则平面截正方体所得截面的周长为 三、填空题 12. 若方程表示的曲线为椭圆，则的取值范围为________. 13. 已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为______. 14. 如图所示，用一束与平面成角的平行光线照射球O，在平面上形成的投影为椭圆C及其内部，则椭圆C的离心率为___________． 四、解答题 15. 已知直线，试求： （1）点关于直线的对称点的坐标； （2）直线关于直线对称的直线方程； （3）直线关于点对称的直线方程． 16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， （1）若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； （2）若，，求的面积． 17. 如图1，在边长为2的菱形ABCD中，于点，将沿DE折起到的位置，使，如图2． （1）求多面体的体积； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段BD上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存请说明理由． 18. 在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，，圆M为的外接圆． （1）求圆M的方程； （2）直线过点与圆M相交于两点，，求直线的方程； （3）若圆M上存在点P，满足，求实数m的取值范围． 19. 已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同的两点M，N. （1）求曲线的方程； （2）若以线段为直径的圆经过点. ①求证：直线过定点，并求出的坐标； ②求三角形面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $