黑龙江大庆市肇源县西部五校联考2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年黑龙江省大庆市肇源县西部五校联考九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项书写在相应的位置上）． 1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2+y＝2 C．x2＝﹣1 D． 2．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 3．（3分）用配方法解一元二次方程x2+4x＝1时，此方程可变形为（　　） A．（x+2）2＝1 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5 4．（3分）下列判断正确的是（　　） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 5．（3分）如图，在一块长30m，宽20m的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为468m2．设道路的宽为xm，可列方程是（　　） A．（30﹣x）（20﹣2x）＝468 B．20×30﹣30x﹣2×20x+2x2＝468 C．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 D．20×30﹣30x﹣20x＝468 6．（3分）如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．若要使四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD必须满足条件（　　） A．AB＝AD B．AB⊥AD C．AC＝BD D．AC⊥BD 7．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别是边AD，CD的中点，连接MN，OM．若MN＝3，S菱形ABCD＝24，则OM的长为（　　） A．3 B．3.5 C．2 D．2.5 8．（3分）九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了870份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝870 D．x（x+1）＝870 9．（3分）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜6 B．k＜6且k≠1 C． D．且k≠1 10．（3分）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③∠PFE＝∠BAP；④PDEC，其中正确的是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应的位置上）． 11．（3分）如图，要使▱ABCD是菱形，需添加的条件是　 　 ． 12．（3分）已知a、b是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则a2+ab+2a的值为　 　 ． 13．（3分）已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为 　 　 ． 14．（3分）已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm2，则此长方形的周长为　 　 ． 15．（3分）已知﹣3是关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根，则9a﹣3b+c＝　 　 ． 16．（3分）一个等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣11x+30＝0的两根，则该等腰三角形的周长是　 　 ． 17．（3分）如图，已知在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠BAE：∠EAD＝3：2，则∠CAE的度数是　 　 ． 18．（3分）如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若AB＝2，∠A＝120°，则PM+PC的最小值为 　 　 ． 三、解答题： 19．（7分）解方程： （1）2（x﹣2）2＝128； （2）； （3）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）； （4）（x+1）2﹣10（x+1）+25＝0． 20．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0．求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根． 21．（7分）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）求证：EO＝FO； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？为什么？ （3）△ABC进行怎样的变化才能使AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形？为什么？ 22．（7分）某中学开展以“为校园增添一点绿色”为主题的植树活动，组织七年级，八年级，九年级分别在12日，13日，14日进行植树活动．七年级学生在12日种植了25棵树苗，九年级学生在14日种植了49棵树苗．已知每天植树的增长率相同．求平均每天植树的增长率． 23．（7分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC＝2，E在BC边上的一点，BC＝3BE，将矩形ABCD沿着AE所在的直线折叠，B点恰好落在AC上的B′处，求AB． 24．（7分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）证明：四边形ADCF是菱形； （2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积． 25．（7分）杭州亚运会顺利召开，吉祥物江南忆公仔爆红．市场调查发现，某一间店铺江南忆公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 26．（7分）设x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）（x1+1）（x2+1）； （2）． 27．（10分）如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）． （1）当t为何值时，△PDQ的面积为6cm2？ （2）是否存在t使△PDQ为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 2025-2026学年黑龙江省大庆市肇源县西部五校联考九年级（上）月考数学试卷（10月份） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C B C D D C D D 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项书写在相应的位置上）． 1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2+y＝2 C．x2＝﹣1 D． 【分析】根据一元二次方程的定义判断是否是一元二次方程即可． 【解答】解：A、ax2+bx+c＝0未说明a≠0，错误，不符合题意； B、x2+y＝2有两个未知数，不是一元二次方程，错误，不符合题意； C、x2＝﹣1，含有1个未知数，最高次数是2，两边都是整式，是一元二次方程，正确，符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，错误，不符合题意， 故选：C． 2．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 【分析】根据旋转的性质可得AE＝CE，DE＝EF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形ADCF是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出∠ADC＝90°，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形解答． 【解答】解：∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE， ∴AE＝CE，DE＝EF， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AC＝BC，点D是边AB的中点， ∴∠ADC＝90°， ∴四边形ADCF是矩形． 故选：A． 3．（3分）用配方法解一元二次方程x2+4x＝1时，此方程可变形为（　　） A．（x+2）2＝1 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5 【分析】方程配方变形后得到结果，即可作出判断． 【解答】解：原方程配方得：x2+4x+4＝1+4， 变形得：（x+2）2＝5． 故选：C． 4．（3分）下列判断正确的是（　　） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【分析】根据菱形的判定、正方形的判定、矩形的判定判断即可． 【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，说法错误，不符合题意； B、对角线相等的菱形是正方形，说法正确，符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，说法错误，不符合题意； D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，说法错误，不符合题意； 故选：B． 5．（3分）如图，在一块长30m，宽20m的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为468m2．设道路的宽为xm，可列方程是（　　） A．（30﹣x）（20﹣2x）＝468 B．20×30﹣30x﹣2×20x+2x2＝468 C．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 D．20×30﹣30x﹣20x＝468 【分析】设道路的宽度为xm，则六块菜地可合成长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据矩形的面积公式结合种植蔬菜的面积为468m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：由题意，设道路的宽度为xm，则矩形田地的长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m， ∴（30﹣2x）（20﹣x）＝468． 故选：C． 6．（3分）如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．若要使四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD必须满足条件（　　） A．AB＝AD B．AB⊥AD C．AC＝BD D．AC⊥BD 【分析】首先利用三角形的中位线定理证得四边形EFGH为平行四边形，然后利用对角线互相垂直可得：有一个角是直角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可． 【解答】证明：∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点， ∴EFAC，GHAC， ∴EF＝GH，同理EH＝FG ∴四边形EFGH是平行四边形； 当对角线AC、BD互相垂直时，如图所示， ∴EF与FG垂直． ∴四边形EFGH是矩形． 故选：D． 7．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别是边AD，CD的中点，连接MN，OM．若MN＝3，S菱形ABCD＝24，则OM的长为（　　） A．3 B．3.5 C．2 D．2.5 【分析】由三角形中位线定理得AC＝2MN＝6，再由菱形的性质和勾股定理求出CD＝5，然后由三角形中位线定理即可得出结论． 【解答】解：∵点M，N分别是边AD，CD的中点， ∴MN是△ACD的中位线， ∴AC＝2MN＝2×3＝6， ∵四边形ABCD是菱形，S菱形ABCD＝24， ∴OA＝OCAC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，AC•BD＝24， 即6×BD＝24， ∴BD＝8， ∴ODBD＝4， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD5， ∵点M是AD的中点，OA＝OC， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OMCD＝2.5， 故选：D． 8．（3分）九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了870份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝870 D．x（x+1）＝870 【分析】假设全班有x名学生，根据留言的数量，列出方程即可． 【解答】解：根据题意得x（x﹣1）＝870， 故选：C． 9．（3分）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜6 B．k＜6且k≠1 C． D．且k≠1 【分析】根据方程有两个不相等的实数根得到Δ＞0，结合二次项的系数不为0，以及二次根式有意义的条件，进行求解即可． 【解答】解：由题意得，k﹣1≠0且且2+3k≥0， 解得且k≠1， 故选：D． 10．（3分）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③∠PFE＝∠BAP；④PDEC，其中正确的是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE后即可证明①AP＝EF，③∠PFE＝∠BAP，在此基础上，通过等量代换可证明③，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，求得结论④正确． 【解答】解：过P作PG⊥AB于点G，如图， ∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点， ∴GP＝EP， 在△GPB中，∠GBP＝45°， ∴∠GPB＝45°， ∴GB＝GP， 同理，得 PE＝BE， ∵AB＝BC＝GF， ∴AG＝AB﹣GB，FP＝GF﹣GP＝AB﹣GB， ∴AG＝PF， ∴△AGP≌△FPE（SAS）， ∴AP＝EF， ∴结论①正确； ∵△AGP≌△FPE， ∴∠PFE＝∠GAP ∴∠PFE＝∠BAP， ∴结论③正确； ②延长AP到EF上于一点H， ∴∠PAG＝∠PFH， ∵∠APG＝∠FPH， ∴∠PHF＝∠PGA＝90°， 即AP⊥EF； ∴结论②正确； ∵GF∥BC， ∴∠DPF＝∠DBC， 又∵∠DPF＝∠DBC＝45°， ∴∠PDF＝∠DPF＝45°， ∴PF＝EC， 在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2， ∴PDEC， ∴结论④正确； 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应的位置上）． 11．（3分）如图，要使▱ABCD是菱形，需添加的条件是AB＝BC或AC⊥BD ． 【分析】一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， 添加AB＝BC， ∴▱ABCD是菱形； ∵四边形ABCD是平行四边形， 添加AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形； 故答案为：AB＝BC或AC⊥BD 12．（3分）已知a、b是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则a2+ab+2a的值为　0　 ． 【分析】由a、b是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，可得ab＝﹣5，a2+2a﹣5＝0，推出a2+2a＝5，由此即可解决问题； 【解答】解：∵a、b是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根， ∴ab＝﹣5，a2+2a﹣5＝0， ∴a2+2a＝5， ∴a2+ab+2a＝5﹣5＝0， 故答案为0． 13．（3分）已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为 　2或6　 ． 【分析】题中没有指明该对角线是较长的对角线还是较短的对角线，所以就分两种情况进行分析． 【解答】解：①当较长对角线长为2时，则另一对角线长为：22＝2； ②当较短对角线长为2时，则另一对角线长为2tan60°2＝6； 故另一条对角线的长为2或6． 14．（3分）已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm2，则此长方形的周长为　12　 ． 【分析】设矩形的长为xcm，则宽为（x﹣2）cm，根据题意列出方程即可． 【解答】解：设矩形的长为xcm， 由题意得：x（x﹣2）＝8， 解得：x＝4，即可得矩形的长为4cm，宽为2cm， 故矩形周长＝12cm．故答案为12． 15．（3分）已知﹣3是关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根，则9a﹣3b+c＝　0　 ． 【分析】依据题意，把x＝﹣3代入ax2+bx+c＝0可得答案． 【解答】解：由题意，∵方程ax2+bx+c＝0的一个根是﹣3， ∴9a﹣3b+c＝0． 故答案为：0． 16．（3分）一个等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣11x+30＝0的两根，则该等腰三角形的周长是　16或17　 ． 【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝5，x2＝6，再利用三角形三边的关系得到答案． 【解答】解：x2﹣11x+30＝0， （x﹣5）（x﹣6）＝0， x﹣5＝0或x﹣6＝0， x1＝5，x2＝6， ∴等腰三角形的两边长分别为5或6， ①等腰三角形的腰为5，则底边为6时， ∴等腰三角形的周长为5+5+6＝16， ②等腰三角形的腰为6，则底边为5， ∴等腰三角形的周长为6+6+5＝17， ∴该等腰三角形的周长是16或17， 故答案为：16或17． 17．（3分）如图，已知在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠BAE：∠EAD＝3：2，则∠CAE的度数是　18°　 ． 【分析】由四边形ABCD是矩形，则∠BAD＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OD＝OB，根据∠BAE：∠EAD＝3：2，得∠BAE＝54°，∠EAD＝36°，又AE⊥BD，则∠BEA＝∠DEA＝90°，然后由三角形内角和定理得∠ABE＝∠OAB＝36°，最后由角度和差即可求解． 【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于O， ∴∠BAD＝90°，AC＝BD（矩形的对角线相等），OA＝OC，OD＝OB（矩形的对角线互相平分）， ∴OA＝OB， ∴∠ABE＝∠OAB， ∵∠BAE：∠EAD＝3：2， ∴，， ∵AE⊥BD， ∴∠BEA＝∠DEA＝90°， ∴∠ABE＝90°﹣∠EAB＝∠OAB＝36°， ∴∠CAE＝∠BAE﹣∠OAB＝54°﹣36°＝18°， 故答案为：18°． 18．（3分）如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若AB＝2，∠A＝120°，则PM+PC的最小值为 　　 ． 【分析】连接PA，AC，AM，由菱形的性质和两点之间线段最短，得出PM+PC的最小值为线段AM的长，再求出AM的长即可． 【解答】解：连接PA，AC，AM， ∵四边形ABCD是菱形， ∴对角线BD是其一条对称轴， ∴PA＝PC， ∴PM+PC＝PM+PA≥AM， ∴PM+PC的最小值为线段AM的长； ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°， ∴AB＝CB＝2，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵M是BC的中点， ∴AM⊥BC，BM＝1， 在Rt△ABM中， AM， ∴PM+PC的最小值为：， 故答案为：． 三、解答题： 19．（7分）解方程： （1）2（x﹣2）2＝128； （2）； （3）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）； （4）（x+1）2﹣10（x+1）+25＝0． 【分析】（1）利用开平方法进行解一元二次方程即可； （2）利用配方法进行解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法进行解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法进行解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）2（x﹣2）2＝128， （x﹣2）2＝64， 则x﹣2＝±8， 所以x1＝﹣6，x2＝10； （2）， ， ， 则 所以； （3）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）， 3x（x﹣2）+2（x﹣2）＝0， （x﹣2）（3x+2）＝0， 则3x+2＝0或x﹣2＝0， 所以； （4）（x+1）2﹣10（x+1）+25＝0， （x+1﹣5）2＝0， （x﹣4）2＝0， 所以x1＝x2＝4． 20．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0．求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【分析】求出根的判别式即可求解． 【解答】证明：∵x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0， ∴a＝1，b＝﹣（m+2），c＝m﹣1， ∴Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4（m﹣1） ＝m2+8＞0， ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根． 21．（7分）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）求证：EO＝FO； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？为什么？ （3）△ABC进行怎样的变化才能使AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形？为什么？ 【分析】（1）由已知MN∥BC得到两对内错角相等，再由CE、CF分别平分∠BCO和∠GCO，根据等量代换可推出∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，分别根据“等角对等边”得证； （2）由（1）得出的EO＝CO＝FO，点O运动到AC的中点时，则由EO＝CO＝FO＝AO，根据对角线互相平分且相等的四边形为矩形得证； （3）由已知和（2）得到的结论，点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，所以四边形AECF是正方形． 【解答】（1）证明：∵MN∥BC， ∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF， 又已知CE平分∠BCO，CF平分∠GCO， ∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF， ∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC， ∴EO＝CO，FO＝CO， ∴EO＝FO； （2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形． ∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，又EO＝FO， ∴四边形AECF为平行四边形， 又CE为∠ACB的平分线，CF为∠ACG的平分线， ∴∠BCE＝∠ACE，∠ACF＝∠GCF， ∴∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠GCF＝2（∠ACE+∠ACF）＝180°，即∠ECF＝90°， ∴四边形AECF是矩形； （3）解：当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形． ∵由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形， 已知MN∥BC，当∠ACB＝90°，则 ∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°， ∴AC⊥EF， ∴四边形AECF是正方形． 22．（7分）某中学开展以“为校园增添一点绿色”为主题的植树活动，组织七年级，八年级，九年级分别在12日，13日，14日进行植树活动．七年级学生在12日种植了25棵树苗，九年级学生在14日种植了49棵树苗．已知每天植树的增长率相同．求平均每天植树的增长率． 【分析】设平均每天植树的增长率为x，利用九年级学生在14日植树的棵数＝七年级学生在12日植树的棵数×（1+平均每天植树的增长率）2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设平均每天植树的增长率为x，每天植树的增长率相同， 25（1+x）2＝49， 解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4 （舍去）． 答：平均每天植树的增长率为40%． 23．（7分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC＝2，E在BC边上的一点，BC＝3BE，将矩形ABCD沿着AE所在的直线折叠，B点恰好落在AC上的B′处，求AB． 【分析】先根据折叠得出BE＝B′E，且∠AB′E＝∠B＝90°，可知△EB′C是直角三角形，由已知的BC＝3BE得EC＝2B′E，得出∠ACB＝30°，从而得出AC与AB的关系，求出AB的长． 【解答】解：由折叠得：BE＝B′E，∠AB′E＝∠B＝90°， ∴∠EB′C＝90°， ∵BC＝3BE， ∴EC＝2BE＝2B′E， ∴∠ACB＝30°， 在Rt△ABC中，AC＝2AB， ∴ABAC2， 故答案为：． 24．（7分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）证明：四边形ADCF是菱形； （2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积． 【分析】（1）首先根据题意画出图形，由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，即可得AF＝BD，又由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，可得AD＝BD＝CD＝AF，证得四边形ADCF是平行四边形，继而判定四边形ADCF是菱形； （2）首先连接DF，易得四边形ABDF是平行四边形，即可求得DF的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案． 【解答】（1）证明：如图，∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， ∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线， ∴AE＝DE，BD＝CD， 在△AFE和△DBE中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）； ∴AF＝DB． ∵DB＝DC， ∴AF＝CD， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴AD＝DCBC， ∴四边形ADCF是菱形； （2）解：连接DF， ∵AF∥BC，AF＝BD， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴DF＝AB＝5， ∵四边形ADCF是菱形， ∴SAC•DF＝10． 25．（7分）杭州亚运会顺利召开，吉祥物江南忆公仔爆红．市场调查发现，某一间店铺江南忆公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【分析】设售价应降价x元，则每件的销售利润为（100﹣60﹣x）元，每天的销售量为（20+2x）件，利用每天销售该公仔获得的利润＝每件销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要尽量减少库存，即可得到答案． 【解答】解：设售价应降低x元，则每件的销售利润为（100﹣60﹣x）元，每天的销售量为（20+2x）件，根据题意得： ∴（100﹣60﹣x）（20+2x）＝1200， 整理得：x2﹣3x+200＝0， 解之得：x1＝10，x2＝20， 又∵要尽量减少库存， ∴x＝20， 答：售价应降价20元． 26．（7分）设x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）（x1+1）（x2+1）； （2）． 【分析】（1）根据根与系数的关系，得到x1+x2＝﹣2，，整体代入法进行计算即可； （2）利用根与系数的关系结合整体代入法进行计算即可． 【解答】解：（1）∵x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个根， ∴，， ∴原式＝x1x2+x1+x2+1 ； （2）∵， ∴原式 ＝10． 27．（10分）如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）． （1）当t为何值时，△PDQ的面积为6cm2？ （2）是否存在t使△PDQ为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，可得DQ＝4﹣t，AP＝6﹣2t，∠A＝90°，结合，再解方程并检验即可； （2）由题意可得：DQ＝4﹣t，AP＝6﹣2t，AQ＝t，可得PQ2＝AQ2+AP2＝t2+（6﹣2t）2，由△PDQ为钝角三角形；且为等腰三角形，可得DQ＝PQ，建立方程（4﹣t）2＝t2+（6﹣2t）2，再利用方程根的判别式可得答案． 【解答】解：（1）由题意可得：AQ＝t，BP＝2t， ∵四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm， ∴DQ＝4﹣t，AP＝6﹣2t，∠A＝90°， ∴， ∴t2﹣7t+6＝0， 解得：t＝1或t＝6； ∵0≤t≤3， ∴t＝6不符合题意，则t＝1， ∴当t＝1s时，△PQD的面积为6cm2． （2）不存在t使△PDQ为等腰三角形． 由题意可得：DQ＝4﹣t，AP＝6﹣2t，AQ＝t， ∴PQ2＝AQ2+AP2＝t2+（6﹣2t）2， ∵△PDQ为钝角三角形；且为等腰三角形， ∴DQ＝PQ， ∴（4﹣t）2＝t2+（6﹣2t）2， ∴t2﹣4t+5＝0， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×5＝16﹣20＝﹣4＜0， ∴方程无解， ∴不存在t使△PDQ为等腰三角形． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/23 8:06:23；用户：聂伟；邮箱：15284038568；学号：44743775 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $