1.4 基本不等式讲义-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦基本不等式核心考点，涵盖不等式性质、均值定理及八大求最值模型，按“知识点-题型-训练”逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题演练环节，帮助学生系统构建知识网络，突破解题难点。 资料以题型分类为特色，针对“1的代换”“凑配法”等高频技巧设计专题训练，培养学生数学思维与应用意识。设置巩固训练与三年真题分层练习，确保复习实效，助力学生提升解题速度与准确率，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

1.4　基本不等式 目录 知识点一、基本不等式 1 知识点二、几个重要的不等式 2 知识点三、均值定理 2 知识点四.常见求最值模型 3 题型一：基本不等式及其应用 4 题型二：直接法求最值 6 题型三：常规凑配法求最值 8 题型四：“1”的代换求最值 10 题型五：消参法求最值 14 题型六：双换元求最值 16 题型七：齐次化求最值 17 题型八：利用基本不等式证明不等式 18 题型九：基本不等式的综合应用 19 巩固训练 22 三年真题演练 27 知识点一、基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 知识点二、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”). 特例：（同号）. （3）其他变形： ①(沟通两和与两平方和的不等关系式) ②(沟通两积与两平方和的不等关系式) ③(沟通两积与两和的不等关系式) ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 知识点三、均值定理 已知. （1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 知识点四.常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立. 题型一：基本不等式及其应用 1. 下列不等式恒成立的是（       ） A． B． C． D． 2. (多选)下列说法不正确的是(　　) A.若a，b∈R，且ab>0，则a+b≥2 B.x+的最小值是4 C.+的最小值为2 D.存在a，使得a+<2成立 3. （多选题）下列函数中最小值为6的是（       ） A． B． C． D． 4. （多选题）设，，下列结论中正确的是（       ） A． B． C． D． 题型二：直接法求最值 5. 设x>0，y>0，且xy=4，则+的最小值为　　　　.  6. 若x，y为实数，且，则的最小值为（       ） A．18 B．27 C．54 D．90 7. （2026·湖北十堰·三模）函数的最小值为（       ） A．4 B． C．3 D． 8. 若，且，则的最大值是_______________. 9. 若实数a，b满足，则ab的最大值为（       ） A．2 B．1 C． D． 10. 已知x∈(-1，3)，则y=(1+x)(3-x)的最大值为　　　　，此时x=　　　　.  11. 已知0<x<1，则x(4-3x)的最大值为　　　　.  12. 已知二次函数（）的值域为，则的最小值为（       ） A． B．4 C．8 D． 题型三：常规凑配法求最值 【解题技巧】 1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2．注意验证取得条件． 13. 函数的最小值是（       ） A． B． C． D． 14. 若x<2，则x+的最大值为　　　　. 15. 若 ，则有（       ） A． 最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 16. 函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 17. 若，且，则的最小值为（       ） A．3 B． C． D． 18. 已知，且，则最大值为______． 题型四：“1”的代换求最值 【解题技巧】 1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 1．根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法． 2．注意验证取得条件． 19. (2025·上海)设a，b>0，a+=1，则b+的最小值为　　　　.  20. 已知正数a，b满足，则的最小值为___________. 21. （2026·辽宁·模拟预测）已知正实数x，y满足，则的最小值为（       ） A．2 B．4 C．8 D．12 22. 若实数，满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 23. 函数图象过定点，点在直线上，则最小值为___________. 24. （2026·天津·南开中学模拟预测）设，，，则的最小值为______． 25. 已知，且，则的最小值是(       ) A．49 B．50 C．51 D．52 26. 已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 题型五：消参法求最值 【解题技巧】 消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 27. 已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　） A．2 B． C． D．6 【练习】若正实数，满足，则的最大值为______． 28. （2026·浙江绍兴·模拟预测）若直线过点，则的最大值为___________. 题型六：双换元求最值 【解题技巧】 若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 1．代换变量，统一变量再处理． 2．注意验证取得条件 29. （2026·浙江省江山中学高三期中）设，，若，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 30. （2026·天津南开·一模）若，，，，则的最小值为______． 题型七：齐次化求最值 【解题技巧】 齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解． 31. (2026·新余模拟)已知x，y为正实数，且x+y=2，则的最小值为(　　) A.12 B.3+2 C. D. 32. 已知x>0，y>0，且2x+y=1，则的最小值为　　　　.  题型八：利用基本不等式证明不等式 33. 已知，． (1)若，证明：； (2)若，证明：． 34. 设函数． (1)求不等式的解集． (2)若的最大值为，证明：． 题型九：基本不等式的综合应用 35. (2025·达州模拟)已知a>0，b>0，若不等式≤恒成立，则实数m的最大值为(　　) A.64 B.25 C.13 D.12 36. 若正实数x，y满足x+y=1，且不等式+<m2+m有解，则实数m的取值范围为　　　　　　.  37. 设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积是（            ） A．（38－3 m3 B．16 m3 C．4 m3 D．14 m3 38. 随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势.某医疗公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为80台.每生产x(x∈N*)台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)=x∈N*，由市场调研知，该产品的售价为每台200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润W(x)(万元)关于年产量x(台)的函数解析式(利润=销售收入-成本)； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 巩固训练 (1) （2026·天津红桥·一模）设，，若，则的最小值为（       ） A．6 B．9 C． D．18 (2) 若两个正实数x，y满足x+2y=xy，且存在这样的x，y使不等式2x+y<m2+8m有解，则实数m的取值范围是(　　) A.(-1，9) B.(-9，1) C.(-∞，-9)∪(1，+∞) D.(-∞，-1)∪(9，+∞) (3) （多选）（2026·河北张家口·三模）已知，（m是常数），则下列结论正确的是（       ） A．若的最小值为，则 B．若的最大值为4，则 C．若的最大值为m，则 D．若，则的最小值为2 (4) (多选)下列说法正确的是(　　) A.y=2-3x-(x>0)的最大值是2-4 B.函数y=(x>-1)的最小值为2 C.已知x+y=1，x>0，y>0，则+的最小值为 D.若正数m，n，满足m+n=2，则+的最大值为2 (5) （多选）下列说法正确的是(　　) A.函数y=2x+(x<0)的最大值是-4 B.函数y=的最小值是2 C.函数y=x+(x>-2)的最小值是6 D.若x+y=4，则x2+y2的最小值是8 (6) （多选）(2025·苏州模拟)已知a>0，b>0，满足a+2b=4，则下列说法正确的是(　　) A.ab≤2 B.+≤1 C.a2+b2≥ D.3a+9b≥18 (7) 已知，则的最小值是______． (8) 函数f(x)=的最小值为　　　　.  (9) 已知a>-1，b<2，+=，则a-b的最小值为　　　　.  (10) 已知正实数x，y满足x+y+xy=8，求： (1)x+y的最小值；(4分) (2)xy的最大值；(4分) (3)x-y的取值范围.(5分) 三年真题演练 1) （2026·天津卷T7）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 2) （2025·北京卷T6）已知，则（   ） A． B． C． D． 3) （2022·新高考全国Ⅱ卷T12）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4　基本不等式 目录 知识点一、基本不等式 1 知识点二、几个重要的不等式 2 知识点三、均值定理 2 知识点四.常见求最值模型 3 题型一：基本不等式及其应用 4 题型二：直接法求最值 6 题型三：常规凑配法求最值 8 题型四：“1”的代换求最值 10 题型五：消参法求最值 14 题型六：双换元求最值 16 题型七：齐次化求最值 17 题型八：利用基本不等式证明不等式 18 题型九：基本不等式的综合应用 19 巩固训练 22 三年真题演练 27 知识点一、基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 知识点二、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”). 特例：（同号）. （3）其他变形： ①(沟通两和与两平方和的不等关系式) ②(沟通两积与两平方和的不等关系式) ③(沟通两积与两和的不等关系式) ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 知识点三、均值定理 已知. （1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 知识点四.常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立. 题型一：基本不等式及其应用 1. 下列不等式恒成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 解：对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于B选项，成立的条件为，故错误； 对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于D选项，由于，故，正确. 故选：D 2. (多选)下列说法不正确的是(　　) A.若a，b∈R，且ab>0，则a+b≥2 B.x+的最小值是4 C.+的最小值为2 D.存在a，使得a+<2成立 【答案】　ABC 【解析】　选项A，若a，b均为负数，不等式不成立，故A错误； 对于B，当x>0时，x+≥2=4(当且仅当x=2时取等号)，当x<0时，x+=-≤ -2=-4(当且仅当x=-2时取等号)，故B错误； 对于C，y=+≥2，等号成立的条件是=，即x2+2=1，显然不能取到，故C错误； 对于D，存在a=-1，使得a+<2成立，故D正确. 3. （多选题）下列函数中最小值为6的是（       ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A选项，当时，，此时，故A不正确. 对于B选项，，当且仅当，即时取“”，故B正确.对于C选项，，当且仅当，即时取“”，故C正确.对于D选项，， 当且仅当，即无解，故D不正确. 故选：BC. 4. （多选题）设，，下列结论中正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A选项，，当且仅当时，等号成立，A对；对于B选项，取，则，B错； 对于C选项，，， 所以，，即，当且仅当时，等号成立，C对； 对于D选项，因为，则， 所以，，当且仅当时，两个等号同时成立，D对. 故选：ACD. 题型二：直接法求最值 5. 设x>0，y>0，且xy=4，则+的最小值为　　　　.  【答案】　1 【解析】　∵x>0，y>0，且xy=4，∴+≥2=2=1， 当且仅当即x=y=2时，等号成立，∴+的最小值为1. 6. 若x，y为实数，且，则的最小值为（       ） A．18 B．27 C．54 D．90 【答案】C 【解析】由题意可得， 当且仅当时，即等号成立. 故选：C． 7. （2026·湖北十堰·三模）函数的最小值为（       ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】因为，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4. 故选：A 8. 若，且，则的最大值是_______________. 【答案】##. 【解析】，，，， 即（当且仅当，即，时取等号）， ，即的最大值为.故答案为：. 9. 若实数a，b满足，则ab的最大值为（       ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】∵，，∴，即， 当且仅当时等号成立，∴． 故选：D． 10. 已知x∈(-1，3)，则y=(1+x)(3-x)的最大值为　　　　，此时x=　　　　.  【答案】　4　1 【解析】　当x∈(-1，3)时，1+x>0，3-x>0. 由基本不等式可得≤=2， 从而(1+x)(3-x)≤4，即y≤4. 当且仅当1+x=3-x，即x=1时，等号成立. 从而当x=1时，y取得最大值4. 11. 已知0<x<1，则x(4-3x)的最大值为　　　　.  【答案】　 【解析】　当0<x<1时，0<3x<3，4-3x>0， 故x(4-3x)=×3x(4-3x)≤=，当且仅当3x=4-3x，即x=时取等号， 故x(4-3x)的最大值为. 12. 已知二次函数（）的值域为，则的最小值为（       ） A． B．4 C．8 D． 【答案】B 【分析】根据的值域求得，结合基本不等式求得的最小值. 【解析】由于二次函数（）的值域为， 所以，所以，所以， 当且仅当即时等号成立. 故选：B 题型三：常规凑配法求最值 【解题技巧】 1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2．注意验证取得条件． 13. 函数的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以函数的最小值是. 故选：D. 14. 若x<2，则x+的最大值为　　　　. 答案　-2 解析　因为x<2，所以2-x>0， 则x+=x-2++2=-+2≤-2+2=-2， 当且仅当2-x=即x=0时，等号成立， 所以x+的最大值为-2. 15. 若 ，则有（       ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】A 【解析】因，则， 于是得， 当且仅当，即时取“=”， 所以当时，有最大值. 故选：A 16. 函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 【答案】D 【解析】将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案； 【详解】 ， 当且仅当,即等号成立. 故选：D. 17. 若，且，则的最小值为（       ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用给定条件确定，变形并借助均值不等式求解即得. 【解析】因，且，则，即有，同理， 由得：， 于是得， 当且仅当，即时取“=”， 所以的最小值为. 故选：D 18. 已知，且，则最大值为______． 【答案】 【分析】由且，可得，可得，再将化为后利用基本不等式求解即可． 【解析】由且，可得，代入， 又， 当且仅当，即， 又，可得，时，不等式取等， 即的最大值为， 故答案为：． 题型四：“1”的代换求最值 【解题技巧】 1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 1．根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法． 2．注意验证取得条件． 19. (2025·上海)设a，b>0，a+=1，则b+的最小值为　　　　.  答案　4 解析　易知b+==ab++2≥2+2=4， 当且仅当ab=1，即a=，b=2时取等号，此时b+取得最小值4. 20. 已知正数a，b满足，则的最小值为___________. 【答案】9 【分析】由得，则，展开利用基本不等式可求得最值. 【解析】由得，所以， 当且仅当，即，时取等号，故的最小值为9. 故答案为：9 21. （2026·辽宁·模拟预测）已知正实数x，y满足，则的最小值为（       ） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】C 【分析】 依题意可得，则，再由乘“1”法及基本不等式计算可得； 【解析】由，且，可得， 所以 ，当且仅当， 即，时取等号． 故选：C 22. 若实数，满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以， 又 所以 当且仅当即，时，取等号 所以 故选：A 23. 函数图象过定点，点在直线上，则最小值为___________. 【答案】##4.5 【分析】根据指数函数过定点的求法可求得，代入直线方程可得，根据，利用基本不等式可求得最小值. 【解析】当时，，过定点， 又点在直线上，，即， ，，， （当且仅当，即，时取等号）， 的最小值为. 故答案为：. 24. 2026·天津·南开中学模拟预测）设，，，则的最小值为______． 【答案】#. 【分析】两次运用“1”进行整体代换，结合基本不等式，即可得结果. 【解析】因为，所以 当且仅当时，等号成立，即的最小值为， 故答案为：. 25. 已知，且，则的最小值是(       ) A．49 B．50 C．51 D．52 【答案】B 【分析】将中分子1替换为a+b，将中分子8替换为8(a+b)，化简即可利用基本不等式求该式子的最小值． 【解析】由已知，得 ， 当且仅当，即，时等号成立． 因此，的最小值是50． 故选：B． 26. 已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】因为为正实数且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 题型五：消参法求最值 【解题技巧】 消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 27. 已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　） A．2 B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据变形得，进而转化为， 用凑配方式得出，再利用基本不等式即可求解. 【解析】由，得， 所以， 当且仅当，即取等号. 故选：B. 【练习】若正实数，满足，则的最大值为______． 【答案】 【分析】由已知得a＝，代入＝＝＝﹣2 （）2+，然后结合二次函数的性质可求． 【解析】因为正实数a，b满足b+3a＝2ab，所以a＝， 则＝＝＝﹣2 （）2+， 当，即b＝2 时取得最大值． 故答案为：． 28. （2026·浙江绍兴·模拟预测）若直线过点，则的最大值为___________. 【答案】 【分析】将点代入直线方程可得，将平方，结合均值不等式可得答案. 【解析】直线过点，则 又，设，则 由，当且仅当，即时等号成立. 所以，即 所以的最大值为，当且仅当时等号成立. 故答案为： 题型六：双换元求最值 【解题技巧】 若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 1．代换变量，统一变量再处理． 2．注意验证取得条件 29. （2026·浙江省江山中学高三期中）设，，若，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：设，进而将问题转化为已知，求的最大值问题，再根据基本不等式求解即可； 法二：由题知进而根据三角换元得，再根据三角函数最值求解即可. 【解析】法一：（基本不等式）设，则， 条件，所以，即. 故选：D. 法二：（三角换元）由条件， 故可设，即， 由于，，故，解得 所以，， 所以,当且仅当时取等号. 故选：D. 30. （2026·天津南开·一模）若，，，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】令 ，则，由此可将变形为，结合基本不等式，即可求得答案。 【解析】由题意，，，，得：， 设 ，则 ， 故 ， 当且仅当 ，即 时取得等号， 故的最小值为， 故答案为： 题型七：齐次化求最值 【解题技巧】 齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解． 31. (2026·新余模拟)已知x，y为正实数，且x+y=2，则的最小值为(　　) A.12 B.3+2 C. D. 【答案】　C 【解析】　由x+y=2，则====++， ∵x，y为正实数，∴>0，>0， ∴++≥2+=， 当且仅当=，即x=，y=时，等号成立. 故的最小值为. 32. 已知x>0，y>0，且2x+y=1，则的最小值为　　　　.  答案　7 解析　∵x>0，y>0，2x+y=1， ∴===++1 ≥2+1=7，当且仅当=，且2x+y=1，即x=y=时，等号成立， ∴的最小值为7. 题型八：利用基本不等式证明不等式 33. 已知，． (1)若，证明：； (2)若，证明：． 【分析】（1）把所求式转化为，再利用二次函数去求其值域即可； （2）利用均值定理“1”的代换去求的最小值即可. 【解析】(1)因为，所以，又，，所以， 所以， 当时，取得最小值，即取得最小值； 当时，，即， 所以． (2)由得，       所以，         ．           当且仅当，时等号成立． 所以 34. 设函数． (1)求不等式的解集． (2)若的最大值为，证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】分类讨论去绝对值，并解不等式即可； 求出函数的最大值，进而利用基本不等式求证即可. 【解析】(1)当时，原不等式等价于，解得； 当时，原不等式等价于，解得； 当时，原不等式等价于，解得． 综上所述，原不等式的解集是． (2)解：证明：因为，所以， 则． 因为，， 所以，即， 当且仅当时，等号成立，故． 题型九：基本不等式的综合应用 35. (2025·达州模拟)已知a>0，b>0，若不等式≤恒成立，则实数m的最大值为(　　) A.64 B.25 C.13 D.12 【答案】　B 【解析】　a>0，b>0，则a+b>0， 不等式≤恒成立，即m≤·(a+b)恒成立， ·(a+b)=(a+b)=13++≥13+2=25， 当且仅当=，即b=a时，等号成立， 所以m≤25，即实数m的最大值为25. 36. 若正实数x，y满足x+y=1，且不等式+<m2+m有解，则实数m的取值范围为　　　　　　.  【答案】　(-∞，-3)∪ 【解析】　因为x+y=1，所以+=1， 所以+==2+++≥+2=，当且仅当=时，等号成立，因为x+y=1，所以此时x=，y=，所以+的最小值为，由题可得m2+m>，解得m<-3或m>. 37. 设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积是（            ） A．（38－3 m3 B．16 m3 C．4 m3 D．14 m3 【答案】B 【解析】 设长方体车厢的长为xm，高为hm，则，即， ∴， 即， 解得， ∴． ∴车厢的容积为．当且仅当且，即时等号成立． ∴车厢容积的最大值为．选B． 38. 随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势.某医疗公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为80台.每生产x(x∈N*)台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)=x∈N*，由市场调研知，该产品的售价为每台200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润W(x)(万元)关于年产量x(台)的函数解析式(利润=销售收入-成本)； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 解　(1)由该产品的年固定成本为300万元， 另投入成本G(x)万元， 且G(x)=x∈N*， 当0<x≤40时，W(x)=200x-300-G(x) =-2x2+120x-300， 当40<x≤80时，W(x)=200x-300-G(x)=-x-+1 720， 所以利润W(x)(万元)关于年产量x(台)的函数解析式为 W(x)=x∈N*. (2)当0<x≤40时，W(x)=-2x2+120x-300=-2(x-30)2+1 500， 故当x=30时，W(x)最大，最大值为1 500； 当40<x≤80时，W(x)=-+1 720≤1 720-2=1 600， 当且仅当x=，即x=60时等号成立， 综上可得，当年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润为1 600万元. 巩固训练 (1) （2026·天津红桥·一模）设，，若，则的最小值为（       ） A．6 B．9 C． D．18 【答案】B 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得； 【解析】，，且， 且， ， 当且仅当，即且时取等号，故的最小值为9； 故选：B (2) 若两个正实数x，y满足x+2y=xy，且存在这样的x，y使不等式2x+y<m2+8m有解，则实数m的取值范围是(　　) A.(-1，9) B.(-9，1) C.(-∞，-9)∪(1，+∞) D.(-∞，-1)∪(9，+∞) 答案　C 解析　由x>0，y>0，x+2y=xy得+=1， 2x+y=(2x+y)=5++≥5+2=9， 当且仅当x=y=3时，等号成立， 则要使不等式2x+y<m2+8m有解，只需满足m2+8m>9即可， 解得m<-9或m>1，即m的取值范围为(-∞，-9)∪(1，+∞). (3) （多选）（2026·河北张家口·三模）已知，（m是常数），则下列结论正确的是（       ） A．若的最小值为，则 B．若的最大值为4，则 C．若的最大值为m，则 D．若，则的最小值为2 【答案】BC 【解析】由已知得， ，解得，当时取等号，故A错误； ，，当时取等号，故B正确； ，，当时取等号，故C正确； 对于D， ，当时取等号，又，且，所以等号取不到，故D错误， 故选：BC. (4) (多选)下列说法正确的是(　　) A.y=2-3x-(x>0)的最大值是2-4 B.函数y=(x>-1)的最小值为2 C.已知x+y=1，x>0，y>0，则+的最小值为 D.若正数m，n，满足m+n=2，则+的最大值为2 答案　ACD 解析　当x>0时，y=2-3x-=2-≤2-2=2-4，当且仅当3x=，即x=时，等号成立，所以y=2-3x-(x>0)的最大值是2-4，故A正确； 因为x>-1，则x+1>0，所以y===x+1++1≥2+1=3，当且仅当x+1=， 即x=0时，等号成立，故B错误； 因为x+y=1，x>0，y>0，所以+=+=++≥+2=， 当且仅当=，即x=，y=时，等号成立，故C正确； 由(+)2=m+n+2=2+2≤2+(m+n)=4，当且仅当m=n=1时等号成立， 则+的最大值为2，故D正确. (5) （多选）下列说法正确的是(　　) A.函数y=2x+(x<0)的最大值是-4 B.函数y=的最小值是2 C.函数y=x+(x>-2)的最小值是6 D.若x+y=4，则x2+y2的最小值是8 答案　ACD 解析　A选项，对于函数y=2x+(x<0)，2x+=-≤-2=-4， 当且仅当-2x=，即x=-1时等号成立，所以A选项正确； B选项，y==+≥2=2， 当=时，无实数解，所以等号不成立，所以B选项错误； C选项，对于函数y=x+(x>-2)，x+2>0，x+=x+2+-2≥2-2=6， 当且仅当x+2=，即x=2时等号成立，所以C选项正确； D选项，由基本不等式得≥， 所以x2+y2≥2·=2×22=8， 当且仅当x=y=2时等号成立，所以D选项正确. (6) （多选）(2025·苏州模拟)已知a>0，b>0，满足a+2b=4，则下列说法正确的是(　　) A.ab≤2 B.+≤1 C.a2+b2≥ D.3a+9b≥18 【答案】　ACD 【解析】　ab=·a·2b≤=2，当且仅当a=2b=2时取等号，故A正确； +=(a+2b)=≥=，当且仅当a=b=时取等号，故B错误； a2+b2=(4-2b)2+b2=5b2-16b+16=5+≥，当b=，a=时取等号，故C正确； 3a+9b=3a+32b≥2=2=18， 当且仅当a=2b=2时取等号，故D正确. (7) 已知，则的最小值是______． 【答案】6 【解析】，则， 当且仅当，即时取“=”，所以的最小值是6. 故答案为：6 (8) 函数f(x)=的最小值为　　　　.  【答案】　4 【解析】　函数f(x)=的定义域为(1，+∞)，f(x)==+≥2=4，当且仅当=，即x=5时取等号，故当x=5时，f(x)取得最小值，最小值为4. (9) 已知a>-1，b<2，+=，则a-b的最小值为　　　　.  【答案】　9 【解析】　设a+1=x>0，2-b=y>0，则+=，a-b=x+y-3 =3(x+y)-3=3-3≥3-3=9. 当且仅当 即x=y=6，即a=5，b=-4时等号成立. (10) 已知正实数x，y满足x+y+xy=8，求： (1)x+y的最小值；(4分) (2)xy的最大值；(4分) (3)x-y的取值范围.(5分) 【解析】　由题意，正实数x，y满足x+y+xy=8， (1)由x+y=8-xy≥8-， 可得(x+y)2+4(x+y)-32≥0， 解得x+y≥4， 当且仅当x=y=2时，等号成立， 故x+y的最小值为4. (2)方法一　因为x+y+xy=8，x>0，y>0， 所以8-xy=x+y≥2， 所以()2+2-8≤0， 所以(+4)(-2)≤0， 所以≤2，即xy≤4，当且仅当x=y=2时，等号成立，所以xy的最大值为4. 方法二　由x+y≥4，可得xy=8-(x+y)≤4，当且仅当x=y=2时，等号成立， 所以xy的最大值为4. (3)由x+y+xy=8，可得y=， 由可得0<x<8， 且x-y=x-=x+1-， 令t=x+1，则t∈(1，9)，构造函数f(t)=t-，t∈(1，9)，由于函数f(t)在(1，9)上单调递增， 所以f(t)的值域为(-8，8)， 故x-y的取值范围为(-8，8). 三年真题演练 1) （2026·天津卷T7）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【解析】因为， 当且仅当，即，时，等号成立, 所以的最小值为9. 2) （2025·北京卷T6）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 3) （2022·新高考全国Ⅱ卷T12）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为（R），由变形为，得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由变形为，得，当且仅当时取等号，C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式， 但是不成立，所以D错误．故选：BC． 1 学科网（北京）股份有限公司 $