1.2 常用逻辑用语讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦常用逻辑用语核心考点，涵盖充分必要条件判断、含量词命题的否定与真假判断等题型，按“概念梳理-方法提炼-真题训练”逻辑架构知识点，通过考点分类讲解、解题策略指导及高考真题演练，帮助学生构建逻辑推理体系，突破参数求解等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料突出“数学思维”与“数学语言”素养培养，创新采用定义法、集合法等分层突破策略，如用集合法直观判断充分必要条件关系，明确含量词命题否定的“量词改写-结论否定”步骤。设置基础巩固与能力提升题组，配合即时方法总结，确保学生高效掌握逻辑推理与参数问题解法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

§1.2 常用逻辑用语·复习讲义 目录 题型1：充分必要条件的判断 2 题型2：根据充分必要条件关系求参数 5 题型3：含量词命题的否定与真假判断 8 题型4：根据全称量词命题、存在量词命题的真假求参数 11 1. 充分条件与必要条件 命题 真假 “若，则”为真命题 “若，则”为假命题 “若，则”和“若，则”都是真命题 推出 关系 ⇏ 条件 关系 是的充分条件，是的必要条件 不是的充分条件，不是的必要条件 是的充分必要条件，简称充要条件 2. 全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“所有”、“任意”、“一切”、“每一个”、“任给”、“全部”等在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． （2）存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”、“有一个”、“某个”、“有些”、“某些”等在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． 3. 全称量词命题与存在量词命题 （1） 全称量词命题：对中任意一个，成立，简记为:∀x∈M，p(x). （2） 存在量词命题：存在中的元素个，成立，简记为:. 4. 全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）命题：∀x∈M，p(x)，它的否定p：∃x0∈M，p(x0). （2）命题：，它的否定p：. 题型1：充分必要条件的判断 方法提炼 充分、必要条件的判断方法： (1) 定义法 直接判断“若，则”与“若，则”的真假性，例如为真，则是的充分条件； (2) 集合法 若，则是的充分条件，是的必要条件； 若，则是的充要条件；若、没有任何包含关系，则是的既不充分又不必要条件； (3) 等价法 利用与，与，与的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法. 【例1.1.】 已知向量，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.88 【知识点】判断命题的必要不充分条件、向量垂直的坐标表示 【详解】由，，可得， 若，则，即，解得或， 无法推出一定是，故充分性不成立； 当时，，则，即成立，故必要性成立。 因此“”是“”的必要不充分条件. 【例1.2.】 已知，，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【详解】由，且，可得； 反之，由不一定得到，且，比如，时，， 所以“”是“，且”的必要不充分条件． 【例1.3.】 （2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【详解】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 【例1.4.】 记等差数列的前n项和为，则“的公差为2”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】求等差数列前n项和、判断等差数列、充要条件的证明 【详解】若的公差，则， 故， 记，则为常数，故是等差数列，充分性成立； 若为等差数列，则为常数，而， 故常数，故，即，必要性成立， 因此“的公差为2”是“为等差数列”的充要条件. 【例1.5.】 已知函数（），则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、充要条件的证明 【分析】根据充分必要条件的定义，结合二次函数的图象及性质即可得到答案． 【详解】由函数是开口向上的二次函数，且， 若，，即方程有正实根， 则，解得，所以充分性成立； 若，则，即方程有实根， 又二次函数的对称轴，即该方程必有正实根， 即，，所以必要性成立， 故“，”是“”的充分必要条件． 【例1.6.】 设p：，q：，则p是q的（   ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】既不充分也不必要条件、几何意义解绝对值不等式、分式不等式 【分析】解两命题对应不等式，然后由充分，必要条件与集合包含之间的关系可得答案. 【详解】，， 注意到与集合之间无包含关系，则命题是命题的既不充分也不必要条件. 题型2：根据充分必要条件关系求参数 方法提炼 根据条件关系求参数取值范围的解题方法: (1) 根据有关性质和定理得到关于参数的方程或不等式，然后通过解方程或不等式来求解. (2) 把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解． (3) 等价命题法：原命题和逆否命题是等价的，逆命题和否命题是等价的，利用命题的等价关系转化，将复杂的命题简单化. 【例2.1.】 已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分式不等式、解含有参数的一元二次不等式、根据充分不必要条件求参数 【分析】解分式不等式，再结合充分不必要条件建立关于的不等式求解即可. 【详解】由，可得且. 因为，所以，故不等式的解集为. 由是不等式成立的充分不必要条件，可得是的真子集， 故，解得， 所以的取值范围是. 【例2.2.】 若集合，，其中为实数． （1）若是的充要条件，则________； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：________. 【答案】 / 【难度】0.75 【知识点】根据充要条件求参数、根据充分不必要条件求参数 【详解】（1）由已知可得， 当时，，与矛盾， 当，，与矛盾， 当时，， 结合可得，解得； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以，，得， 故的取值范围是. 【例2.3.】 (1)已知，非空集合．若是的必要条件，则m的取值范围是________. (2)在(1)的条件下，若把“是的必要条件”改为“是的必要不充分条件，”则m的取值范围是________. 【答案】 【难度】0.62 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、必要条件、根据必要不充分条件求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】(1)先解集合，由题可得，再列不等式求解； (2) 由题可知是的真子集，再列不等式求解即可． 【详解】(1)由，得，所以， 由是的必要条件，知， 则，所以, 所以当时，是的必要条件， 即所求m的取值范围是． (2)由已知可得，因为是的必要不充分条件， 所以S是P的必要不充分条件，所以⇒，且不能推出, 所以是的真子集， 所以，或， 所以，即m的取值范围是． 【例2.4.】 已知：，：，若是的既不充分又不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.83 【知识点】根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式、既不充分也不必要条件 【详解】解，得， 因为是的既不充分又不必要条件，所以和互不包含， 所以，所以的取值范围是. 题型3：含量词命题的否定与真假判断 方法提炼 1. 含量词命题的否定步骤： 第一步：改写量词：，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写. 第二步：否定结论：对原命题的结论进行否定. 2. 常见词语的否定： 正面词语 是 都是 大于 小于 等于 至多有一个 否定词语 不是 不都是 不大于 不小于 不等于 至少有两个 正面词语 至少有一个 任意的 任意的 所有的 一定 否定词语 一个也没有 某个 某个 某些 不一定 或． 3. 含量词命题真假的判断方法 (1) 判定全称量词命题是假命题，只需举反例；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可． (2) 当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假，与真假相反． 【例3.1.】 已知命题，则命题的真假以及否定分别为（   ） A．真， B．真， C．假， D．假， 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断全称命题的真假 【分析】根据命题的真假判断即可. 【详解】，故命题为真． 又，． 【例3.2.】 命题“，，使得”的否定是（   ） A．，，使得 B．，，使得 C．，，使得 D．，，使得 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【详解】命题“，，使得”的否定是“，，使得”. 【例3.3.】 下列命题中，既是全称量词命题，又是真命题的是（    ） A． B． C．任何实数都有算术平方根 D．任意两个无理数之和仍为无理数 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题是否为全称命题、判断命题的真假 【分析】对于A，含有全称量词，再根据指数函数的值域即可判断；对于B，不含有全称量词，故可判断；对于C，含有全称量词，负数没有算术平方根即可判断；对于D，含有全称量词，举例说明即可判断. 【详解】对于A，含有全称量词，而，所以，故A正确； 对于B，不含有全称量词，故B错误； 对于C，含有全称量词，负数没有算术平方根即可判断，故C错误； 对于D，含有全称量词，是无理数，而，而是有理数，故D错误. 故选：A 【例3.4.】 下列命题中为真命题的是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断特称（存在性）命题的真假、判断全称命题的真假、判断命题的真假 【分析】对四个选项进行一一分析，即可求得答案. 【详解】对于A：,都有，所以，故不存在使得成立，所以是假命题，故A错误. 对于B：当时，，所以是假命题，故B错误. 对于C：，为非负整数，且自然数集包含所有非负整数，故该命题是真命题，故C正确. 对于D：，，故不存在，所以是假命题，故D错误. 故选：C 【例3.5.】 已知命题：，，则命题的真假以及否定分别为（    ） A．真，：， B．假，：， C．真，：， D．假，：， 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】特称命题的否定及其真假判断、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】先通过特殊整数验证命题的真假，再依据特称命题的否定规则得出的形式. 【详解】取，此时，，满足，因此命题p为真命题， 根据特称命题的否定规则，特称命题的否定为全称命题， 因此命题的否定为. 题型4：根据全称量词命题、存在量词命题的真假求参数 方法提炼 含量词的命题真假求参数的方法： (1) 解决与全称量词或存在量词命题有关的参数取值范围问题，分离参数法是有效方法. (2) 将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系（或两个函数最值之间的关系）. 【例4.1.】 若“”是假命题，则的取值范围为__________． 【答案】 【难度】0.62 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、二倍角的正弦公式 【分析】由对任意恒成立，变换，根据三角函数的值域即可得到答案. 【详解】由于“”是假命题，则有对任意恒成立， 由于时，，因此， 又因为当时，，且在内可无限趋近，为满足恒成立， 故的取值范围是. 【例4.2.】 若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】由命题“”为真命题，利用判别式，即可确定实数的取值范围． 【详解】由命题“”为真命题， ， 解得：. 【例4.3.】 命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】题意说明：“，恒成立”是真命题，然后对分类讨论可得. 【详解】命题“，使得不等式成立”为假命题，则命题：“，恒成立”是真命题， 时，不等式为恒成立，满足题意， 时，则，解得， 综上，的范围是. 【例4.4.】 已知命题：关于的方程有两个不相等的实根，若为真命题，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程根的分布问题、全称命题的否定及其真假判断、根据全称命题的真假求参数 【详解】若为真命题，则命题为假命题，所以关于的方程没有两个不相等的实根， 即：有两个相等的实根或者没有实根，则， 解得：，所以的取值范围是. 【例4.5.】 已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立，若p为真命题，则实数m的取值范围为____________；若q和p一真一假，则实数m的取值范围为____________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】对，不等式恒成立，令，则，求出，解不等式即可得出答案.若q为真命题，则存在，使得成立，所以，即可求出q为真命题时m的取值范围，再讨论q和p一真一假的情况，即可得出答案. 【详解】对，不等式恒成立， 令，则， 当时，即，解得. 因此，当p为真命题时，m的取值范围是. 若q为真命题，则存在，使得成立，所以； 故当命题q为真时，. 又∵p，q中一个是真命题，一个是假命题. 当p真q假时，由，得； 当p假q真时，由或，且，得. 综上所述，m的取值范围为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §1.2 常用逻辑用语·复习讲义 目录 题型1：充分必要条件的判断 2 题型2：根据充分必要条件关系求参数 3 题型3：含量词命题的否定与真假判断 4 题型4：根据全称量词命题、存在量词命题的真假求参数 6 1. 充分条件与必要条件 命题 真假 “若，则”为真命题 “若，则”为假命题 “若，则”和“若，则”都是真命题 推出 关系 ⇏ 条件 关系 是的充分条件，是的必要条件 不是的充分条件，不是的必要条件 是的充分必要条件，简称充要条件 2. 全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“所有”、“任意”、“一切”、“每一个”、“任给”、“全部”等在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． （2）存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”、“有一个”、“某个”、“有些”、“某些”等在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． 3. 全称量词命题与存在量词命题 （1） 全称量词命题：对中任意一个，成立，简记为:∀x∈M，p(x). （2） 存在量词命题：存在中的元素个，成立，简记为:. 4. 全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）命题：∀x∈M，p(x)，它的否定p：∃x0∈M，p(x0). （2）命题：，它的否定p：. 题型1：充分必要条件的判断 方法提炼 充分、必要条件的判断方法： (1) 定义法 直接判断“若，则”与“若，则”的真假性，例如为真，则是的充分条件； (2) 集合法 若，则是的充分条件，是的必要条件； 若，则是的充要条件；若、没有任何包含关系，则是的既不充分又不必要条件； (3) 等价法 利用与，与，与的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法. 【例1.1.】 已知向量，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例1.2.】 已知，，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例1.3.】 （2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例1.4.】 记等差数列的前n项和为，则“的公差为2”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例1.5.】 已知函数（），则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件 【例1.6.】 设p：，q：，则p是q的（   ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型2：根据充分必要条件关系求参数 方法提炼 根据条件关系求参数取值范围的解题方法: (1) 根据有关性质和定理得到关于参数的方程或不等式，然后通过解方程或不等式来求解. (2) 把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解． (3) 等价命题法：原命题和逆否命题是等价的，逆命题和否命题是等价的，利用命题的等价关系转化，将复杂的命题简单化. 【例2.1.】 已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________. 【例2.2.】 若集合，，其中为实数． （1）若是的充要条件，则________； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：________. 【例2.3.】 (1)已知，非空集合．若是的必要条件，则m的取值范围是________. (2)在(1)的条件下，若把“是的必要条件”改为“是的必要不充分条件，”则m的取值范围是________. 【例2.4.】 已知：，：，若是的既不充分又不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型3：含量词命题的否定与真假判断 方法提炼 1. 含量词命题的否定步骤： 第一步：改写量词：，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写. 第二步：否定结论：对原命题的结论进行否定. 2. 常见词语的否定： 正面词语 是 都是 大于 小于 等于 至多有一个 否定词语 不是 不都是 不大于 不小于 不等于 至少有两个 正面词语 至少有一个 任意的 任意的 所有的 一定 否定词语 一个也没有 某个 某个 某些 不一定 或． 3. 含量词命题真假的判断方法 (1) 判定全称量词命题是假命题，只需举反例；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可． (2) 当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假，与真假相反． 【例3.1.】 已知命题，则命题的真假以及否定分别为（   ） A．真， B．真， C．假， D．假， 【例3.2.】 命题“，，使得”的否定是（   ） A．，，使得 B．，，使得 C．，，使得 D．，，使得 【例3.3.】 下列命题中，既是全称量词命题，又是真命题的是（    ） A． B． C．任何实数都有算术平方根 D．任意两个无理数之和仍为无理数 【例3.4.】 下列命题中为真命题的是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【例3.5.】 已知命题：，，则命题的真假以及否定分别为（    ） A．真，：， B．假，：， C．真，：， D．假，：， 题型4：根据全称量词命题、存在量词命题的真假求参数 方法提炼 含量词的命题真假求参数的方法： (1) 解决与全称量词或存在量词命题有关的参数取值范围问题，分离参数法是有效方法. (2) 将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系（或两个函数最值之间的关系）. 【例4.1.】 若“”是假命题，则的取值范围为__________． 【例4.2.】 若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例4.3.】 命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例4.4.】 已知命题：关于的方程有两个不相等的实根，若为真命题，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例4.5.】 已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立，若p为真命题，则实数m的取值范围为____________；若q和p一真一假，则实数m的取值范围为____________. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $